שאלות תנועה והקשר גרפי

מודל ריבועי עוזר לקרוא זמן, גובה, מרחק ונקודות מפגש

מה בונים במודול?

בפרק הזה האלגברה והגרפים עובדים יחד. בכל מודול נתרגם מצב לייצוג מתאים, נבדוק את התוצאה גם בחישוב וגם בסקיצה, ונלמד להסביר למה הדרך שבחרנו מתאימה.

קריאת גרף

נלמד לפרש צירים, נקודות אפס וקדקוד בהקשר של זמן וגובה.

חישוב קיצון

נחשב מתי גודל מגיע לערך מרבי או מזערי לפי קדקוד הפרבולה.

משמעות התשובה

נבדוק אילו פתרונות מתאימים לזמן ולסיפור, ואילו הם רק אלגברה.

$math/020-math book$ מה הופך שאלה מילולית לגרף?

בשאלות תנועה יש גדלים משתנים: זמן, מרחק, גובה או מהירות. כאשר אחד הגדלים משתנה לפי ביטוי ריבועי, הגרף הוא פרבולה. הצירים אינם רק ציור: ציר $x$ יכול לייצג זמן, וציר $y$ יכול לייצג גובה או מרחק.

קדקוד כגובה מרבי

נניח שמודל גובה של כדור הוא $h (t) = - 5 t^{2} + 30 t$ .

הפרבולה פונה למטה, ולכן הקדקוד מייצג את הגובה המרבי. נקודות האפס מייצגות את הזמנים שבהם הגובה הוא $0$ .

h (t) = - 5 t^{2} + 30 t

המודל מתאים רק לזמנים קבילים, למשל $0 \leq t \leq 6$ .

מודל גובה לפי זמן

h (t) = - 5 t^{2} + 30 t

גובה לפי זמן במודל $h (t) = - 5 t^{2} + 30 t$

דוגמה פתורה

בדוגמה הפתורה שימו לב לא רק לחישוב הסופי, אלא גם לסיבה של כל מעבר. המטרה היא לדעת לבחור ייצוג, לבדוק אותו, ולכתוב תשובה שאפשר להצדיק.

מתי הכדור מגיע לשיא?

שלב 1 מתוך 4

h (t) = - 5 t^{2} + 30 t

מה משמעות המקדם השלילי?

אסטרטגיית עבודה

לפני שמתחילים לפתור, כדאי לעצור ולזהות את המבנה. כך לא משתמשים בכלי אלגברי מתוך הרגל, אלא מתוך התאמה אמיתית לתנאי השאלה.

שלבי החלטה

$math/032-axis$

צירים

קודם מזהים מה מייצג כל ציר.

לא כל נקודה בגרף מתאימה לכל זמן מציאותי.

נקודות מיוחדות

קדקוד נותן קיצון.

נקודות אפס נותנות רגעים שבהם הגודל שווה לאפס.

משפט תשובה

כותבים זמן, גובה ויחידות.

מסבירים איזה פתרון נפסל אם הוא מחוץ להקשר.

תרגול מודרך

התרגילים הבאים בודקים את אותה חשיבה בצורה מדורגת: קודם מזהים את המבנה, אחר כך מחשבים, ולבסוף מפרשים את התוצאה בהקשר.

גובה לפי זמן

בינוני

נתון $h (t) = - 4 t^{2} + 24 t$ . מצאו מתי הגובה מרבי ומהו הגובה המרבי.

h (t) = - 4 t^{2} + 24 t

זמן חזרה לקרקע

בינוני

באותו מודל $h (t) = - 4 t^{2} + 24 t$ , מתי הגובה שווה לאפס אחרי תחילת התנועה?

- 4 t^{2} + 24 t = 0

סימני זיהוי ודוגמאות

קדקוד

במודל גובה, הקדקוד מתאר את הגובה המרבי ואת הזמן שבו הוא מתקבל.

נקודת אפס

גובה $0$ יכול לתאר התחלה או חזרה לקרקע, תלוי בהקשר.

תחום זמן

זמן שלילי בדרך כלל אינו מתאים לשאלה שמתחילה ברגע $t = 0$ .

קריאת יחידות

אם הציר האופקי הוא שניות והאנכי הוא מטרים, התשובה חייבת לשמור על היחידות.

שאלה לחשיבה

למה נקודת האפס $t = 0$ יכולה להיות פתרון נכון מבחינה אלגברית אבל לא התשובה המבוקשת?

כי $t = 0$ מתאר את רגע ההתחלה, שבו הגוף עדיין בנקודת המוצא. אם השאלה שואלת מתי הגוף חוזר לקרקע אחרי הזריקה, צריך לבחור את הפתרון החיובי האחר שמתאר את הרגע המאוחר.

שאלה לחשיבה

מה ההבדל בין 'הגובה המרבי' לבין 'הזמן שבו הגובה מרבי'?

הזמן הוא שיעור $x$ של הקדקוד, והגובה הוא שיעור $y$ . בשאלה מילולית צריך לעתים לתת את שניהם, אבל אלה גדלים שונים עם יחידות שונות.

טעות נפוצה: כל פתרון אלגברי מתאים

בבעיית תנועה חייבים לבדוק את משמעות הפתרון. זמן שלילי, גובה שלילי או פתרון שמתאר את רגע ההתחלה בלבד לא תמיד עונים על השאלה.

פתרו את המשוואה.
קראו שוב את השאלה.
בדקו יחידות ותחום זמן.
כתבו איזה פתרון נבחר ולמה.

מודלים של תנועה בכיתה ט הם מודלים מתמטיים פשוטים. הם לא מחליפים ניסוי פיזיקלי מלא, אבל הם מאפשרים לתרגל קריאת גרף, קיצון, נקודות אפס ופירוש של יחידות.

דוגמאות פתורות נוספות

תנועה שמתחילה מעל הקרקע

שלב 1 מתוך 4

h (t) = - t^{2} + 4 t + 5

מהו הגובה ההתחלתי?

משווים שני מסלולים

שלב 1 מתוך 4

h_{1} (t) = - t^{2} + 6 t, h_{2} (t) = 2 t

מה עושים כדי להשוות מסלולים?

העמקה ותרגול מבחן

בשאלות תנועה עם פרבולה, כל מספר צריך לקבל משמעות: זמן, גובה, מרחק, שיא, חזרה לקרקע או פרק זמן שבו תנאי מתקיים.

תרגום נקודות בגרף לסיפור

בגרף	באלגברה	בסיפור
חיתוך עם ציר הזמן	$h (t) = 0$	התחלה או פגיעה בקרקע
קדקוד	$t = - \frac{b}{2 a}$	גובה מרבי או מרחק מרבי
חיתוך עם גובה קבוע	$h (t) = c$	זמנים שבהם הגודל שווה לערך נתון
תחום מעל גובה	$h (t) \geq c$	פרק זמן ולא רק נקודות

* זמן שלילי כמעט תמיד נפסל בהקשר של תנועה שמתחילה עכשיו.

שאלות שחייבים לשאול

$math/048-graphs$

מה הצירים?

$t$ הוא זמן.

$h$ או $d$ הוא גובה או מרחק.

מה מבקשים?

גובה מרבי, זמן פגיעה או טווח זמן.

סוג התשובה משתנה בהתאם.

איזה פתרון קביל?

פוסלים זמן שלילי.

בודקים יחידות.

מה מספרים במילים?

לא משאירים רק חישוב.

כותבים את משמעות הנקודה או התחום.

גובה מרבי וחזרה לקרקע

בינוני

גובה כדור נתון על ידי $h (t) = - 2 t^{2} + 8 t$ . מצאו את הגובה המרבי ומתי הכדור חוזר לקרקע.

h (t) = - 2 t^{2} + 8 t

זמן פגיעה עם פתרון לא קביל

בינוני

גובה עצם נתון על ידי $h (t) = - t^{2} + 6 t + 7$ . מתי העצם פוגע בקרקע?

h (t) = - t^{2} + 6 t + 7

פרק זמן מעל מרחק מסוים

מאתגר

מרחק מרכב נתון על ידי $d (t) = - t^{2} + 10 t$ . באילו זמנים המרחק לפחות $21$ ?

d (t) = - t^{2} + 10 t \geq 21

אותו גובה פעמיים

מאתגר

גובה כדור הוא $h (t) = - 5 t^{2} + 20 t + 1$ . מתי הגובה הוא $16$ מטר?

h (t) = 16

הסבר מילולי חובה

אחרי חישוב כתבו משפט כמו: הכדור היה בגובה 16 מטר אחרי שנייה אחת בדרכו למעלה ואחרי שלוש שניות בדרכו למטה. זה הופך פתרון אלגברי לתשובה מלאה.

שאלה 1 מתוך 14

במודל $h (t) = - 4 t^{2} + 24 t$ , מתי הגוף חוזר לגובה אפס אחרי ההתחלה?

המשך קריאה

עוד עמודים שיכולים לחבר את מה שלמדתם עכשיו

בפרקבעיות שטח ומקסימום בפרקבחירת משתנה ותרגום בעיה קשורשאלות מילוליות במשוואות קשוריישומים של מערכות משוואות

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של שאלות תנועה והקשר גרפי כבר מוכן.

פתחו תרגול

שאלות תנועה והקשר גרפי

מה בונים במודול?

מה הופך שאלה מילולית לגרף?

קדקוד כגובה מרבי

דוגמה פתורה

מתי הכדור מגיע לשיא?

אסטרטגיית עבודה

שלבי החלטה

צירים

נקודות מיוחדות

משפט תשובה

תרגול מודרך

גובה לפי זמן

זמן חזרה לקרקע

סימני זיהוי ודוגמאות

קדקוד

נקודת אפס

תחום זמן

קריאת יחידות

שאלה לחשיבה

שאלה לחשיבה

טעות נפוצה: כל פתרון אלגברי מתאים

העמקה קצרה

דוגמאות פתורות נוספות

תנועה שמתחילה מעל הקרקע

משווים שני מסלולים

העמקה ותרגול מבחן

תרגום נקודות בגרף לסיפור

שאלות שחייבים לשאול

מה הצירים?

מה מבקשים?

איזה פתרון קביל?

מה מספרים במילים?

גובה מרבי וחזרה לקרקע

זמן פגיעה עם פתרון לא קביל

פרק זמן מעל מרחק מסוים

אותו גובה פעמיים

הסבר מילולי חובה

במודל h(t)=−4t2+24t, מתי הגוף חוזר לגובה אפס אחרי ההתחלה?