מהו חיתוך הוא שוויון ערכים?

בנקודת חיתוך של y=x^2-4 ושל y=x+2, שני הגרפים נותנים אותו פלט. כותבים x^2-4=x+2. פתרונות המשוואה הם ערכי x; את ערכי y מוצאים בהצבה באחת הפונקציות. אם למשוואה יש שני פתרונות, יש שתי נקודות חיתוך. אם פתרון אחד, הישר משיק לפרבולה. אם אין פתרונות ממשיים, אין חיתוך.

חיתוך פרבולה וישר

נקודת חיתוך היא פתרון שמשותף לשני ייצוגים

מה בונים במודול?

בפרק הזה האלגברה והגרפים עובדים יחד. בכל מודול נתרגם מצב לייצוג מתאים, נבדוק את התוצאה גם בחישוב וגם בסקיצה, ונלמד להסביר למה הדרך שבחרנו מתאימה.

משמעות החיתוך

נבין שנקודת חיתוך היא זוג

(x, y)

שמקיים גם את הישר וגם את הפרבולה.

תרגום למשוואה

נלמד להשוות את הביטויים של שתי הפונקציות כדי לקבל משוואה בנעלם אחד.

בדיקה כפולה

נבדוק כל פתרון גם בהצבה אלגברית וגם ביחס לסקיצה של הגרפים.

$math/020-math book$ למה משווים בין הפונקציות?

כאשר פרבולה וישר מצוירים באותה מערכת צירים, נקודת חיתוך היא מקום שבו יש אותו ערך $y$ לאותו ערך $x$ . לכן במקום לפתור שתי שאלות נפרדות, משווים את שתי נוסחאות ה- $y$ . התוצאה היא משוואה ריבועית ששורשיה הם שיעורי ה- $x$ של נקודות החיתוך.

$math/048-graphs$ חיתוך הוא שוויון ערכים

בנקודת חיתוך של $y = x^{2} - 4$ ושל $y = x + 2$ , שני הגרפים נותנים אותו פלט.

כותבים $x^{2} - 4 = x + 2$ . פתרונות המשוואה הם ערכי $x$ ; את ערכי $y$ מוצאים בהצבה באחת הפונקציות.

f (x) = g (x)

אם למשוואה יש שני פתרונות, יש שתי נקודות חיתוך. אם פתרון אחד, הישר משיק לפרבולה. אם אין פתרונות ממשיים, אין חיתוך.

תמונה הממחישה את חיתוך פרבולה וישר בעזרת שתי נקודות משותפות על גרף — נקודת חיתוך היא מקום שבו הפרבולה והישר נותנים אותו ערך לאותו $x$ .

תנאי חיתוך

x^{2} - 4 = x + 2

הפרבולה $y = x^{2} - 4$ והישר $y = x + 2$

דוגמה פתורה

בדוגמה הפתורה שימו לב לא רק לחישוב הסופי, אלא גם לסיבה של כל מעבר. המטרה היא לדעת לבחור ייצוג, לבדוק אותו, ולכתוב תשובה שאפשר להצדיק.

מציאת שתי נקודות חיתוך

שלב 1 מתוך 4

{y = x^{2} - 4 y = x + 2

מהו הצעד הראשון למציאת נקודות החיתוך?

אסטרטגיית עבודה

לפני שמתחילים לפתור, כדאי לעצור ולזהות את המבנה. כך לא משתמשים בכלי אלגברי מתוך הרגל, אלא מתוך התאמה אמיתית לתנאי השאלה.

שלבי החלטה

משווים

כותבים $f (x) = g (x)$ .

לא משווים את השיפועים, אלא את ערכי הפונקציות.

$math/030-equation$

פותרים

מעבירים לאגף אחד ופותרים משוואה ריבועית.

מספר פתרונות המשוואה מנבא את מספר נקודות החיתוך.

מציבים

כל ערך $x$ חייב לקבל ערך $y$ .

בודקים את הנקודות בשתי הפונקציות.

תרגול מודרך

התרגילים הבאים בודקים את אותה חשיבה בצורה מדורגת: קודם מזהים את המבנה, אחר כך מחשבים, ולבסוף מפרשים את התוצאה בהקשר.

פרבולה וישר פשוטים

בסיסי

מצאו את נקודות החיתוך של $y = x^{2}$ ושל $y = 2 x + 3$ .

{y = x^{2} y = 2 x + 3

חיתוך עם ישר אופקי

בינוני

מצאו את נקודות החיתוך של $y = x^{2} - 1$ ושל $y = 3$ .

{y = x^{2} - 1 y = 3

סימני זיהוי ודוגמאות

שתי נקודות

כאשר הישר חותך את הפרבולה בשני מקומות, למשוואה $f (x) = g (x)$ יש שני פתרונות.

נקודה אחת

כאשר הישר משיק לפרבולה, מתקבל פתרון אחד. בדיקה גרפית עוזרת להבין למה.

אין נקודות

כאשר הישר כולו מעל או מתחת לפרבולה, למשוואה אין פתרונות ממשיים.

בדיקה

נקודה כמו $(3, 5)$ צריכה לעמוד בשתי המשוואות, לא רק באחת מהן.

שאלה לחשיבה

איך אפשר לדעת מסקיצה בלבד אם צפויות שתי נקודות חיתוך או נקודת חיתוך אחת?

מסתכלים על מספר המקומות שבהם הישר פוגש את הפרבולה. שתי פגישות מרמזות על שני פתרונות, נגיעה אחת מרמזת על פתרון כפול, ואין פגישה מרמזת שאין פתרונות ממשיים. הסקיצה אינה הוכחה מספרית, אבל היא בקרה טובה על התוצאה.

שאלה לחשיבה

מדוע מספיק להציב את ערך $x$ באחת הפונקציות כדי למצוא את $y$ ?

כי ערך $x$ נבחר מתוך פתרון המשוואה $f (x) = g (x)$ . לכן שתי הפונקציות נותנות אותו ערך $y$ . אם הצבה בשתי הפונקציות נותנת ערכים שונים, הייתה טעות בפתרון.

טעות נפוצה: חיתוך אינו חיתוך עם הצירים

חיתוך בין שני גרפים שונה מחיתוך עם ציר. כאן מחפשים נקודה ששני הגרפים עוברים דרכה יחד.

חיתוך עם ציר $x$ : מציבים $y = 0$ .
חיתוך בין פונקציות: משווים $f (x) = g (x)$ .
אחרי שמוצאים $x$ , מציבים כדי לקבל $y$ .

רעיון החיתוך מופיע גם מחוץ לפרבולות. בכל פעם שמשווים שתי תוכניות מחיר, שתי תנועות או שתי נוסחאות, נקודת החיתוך היא נקודת איזון שבה שתי האפשרויות נותנות אותה תוצאה.

דוגמאות פתורות נוספות

בודקים שאין חיתוך

שלב 1 מתוך 4

{y = x^{2} + 6 y = 2 x + 1

איזה שוויון פותרים?

משנים ישר בעזרת פרמטר

שלב 1 מתוך 4

y = 2 x + k ו y = x^{2}

מה בודקים כדי לדעת כמה חיתוכים יש?

העמקה ותרגול מבחן

במבחן לא מספיק למצוא ערכי $x$ . צריך לזהות כמה נקודות חיתוך יש, למצוא את ערכי $y$ , ולוודא שהסקיצה והחישוב מספרים את אותו סיפור.

$math/048-graphs$ מספר נקודות החיתוך נקבע כבר במשוואה

כשמשווים פרבולה וישר מתקבלת משוואה ריבועית אחת.

שני שורשים שונים נותנים שתי נקודות חיתוך, שורש כפול נותן נקודת השקה, ואין שורשים ממשיים פירושו שאין חיתוך בין הגרפים.

Δ = b^{2} - 4 a c

הגרף עוזר לצפות, והאלגברה מאשרת בדיוק.

שלושה מצבי חיתוך

מה מתקבל באלגברה	מה רואים בגרף	איך כותבים תשובה
שני שורשים	הישר חותך את הפרבולה פעמיים	שני זוגות סדורים
שורש כפול	הישר משיק לפרבולה	זוג סדור אחד
אין שורשים ממשיים	הישר והפרבולה לא נפגשים	אין נקודות חיתוך

* אחרי שמוצאים ערכי $x$ , תמיד מציבים באחת הפונקציות כדי למצוא $y$ .

בדיקת איכות לתשובה

השוואה נכונה

משווים בין שני ערכי $y$ .

לא מחברים פונקציות ולא משווים לאפס לפני שבונים משוואה.

$math/048-graphs$

נקודות מלאות

כל פתרון הוא $(x, y)$ .

ערך $x$ לבדו אינו נקודת חיתוך.

סקיצה מאשרת

בודקים אם מספר הפתרונות מתאים לציור.

נקודה עם $y$ שלילי לא יכולה להיות על ישר אופקי $y = 5$ .

נקודת השקה אחת

חיתוך עם ישר אופקי

בינוני

מצאו את נקודות החיתוך של $y = x^{2} - 4$ ושל $y = 5$ .

{y = x^{2} - 4 y = 5

משיק לפרבולה

בינוני

מצאו את נקודת החיתוך של $y = x^{2} - 2 x + 1$ עם ציר $x$ .

x^{2} - 2 x + 1 = 0

מקרה ללא חיתוך

מאתגר

האם יש נקודות חיתוך בין $y = x^{2} + 2$ לבין $y = 1$ ?

x^{2} + 2 = 1

מציאת פרמטר להשקה

מאתגר

עבור איזה ערך של $k$ הישר $y = 2 x + k$ משיק לפרבולה $y = x^{2}$ ?

x^{2} = 2 x + k

משפט תשובה מומלץ

בסוף פתרון כתבו: מספר נקודות החיתוך הוא..., והנקודות הן... כך הבודק רואה שגם פתרתם וגם פירשתם.

השוו.
פתרו.
הציבו ל- $y$ .
כתבו נקודות ופירוש גרפי.

שטח האזור שבין גרף לגרף

לאחר שמצאנו את נקודות החיתוך של ישר ופרבולה, אפשר לשאול: מה השטח של האזור הסגור שביניהם? זהו נושא שמחבר בין פתרון אלגברי לפרשנות גאומטרית. בכיתה ט לא נדרש אינטגרל, אך חשוב לדעת לזהות ולתאר את האזור הסגור ולקבוע איזה גרף גבוה יותר בתחום הרלוונטי.

$math/048-graphs$ אזור סגור בין ישר לפרבולה

כאשר ישר חותך פרבולה בשתי נקודות, שני הגרפים מגדירים אזור סגור בין נקודות החיתוך.

כדי לדעת איזה גרף גבוה יותר בין נקודות החיתוך, בוחרים נקודת בדיקה פנימית ומחשבים את הערך של כל פונקציה. הגרף עם הערך הגדול יותר הוא ה'גבוה'. האזור הסגור הוא האזור שמוקף על ידי הישר מלמעלה והפרבולה מלמטה, או להפך.

f (x) \geq g (x) בין נקודות החיתוך

זיהוי מי גבוה הוא הצעד הראשון לקראת תיאור ואפיון האזור הסגור.

זיהוי האזור הסגור: ישר ופרבולה

שלב 1 מתוך 4

{y = x^{2} y = x + 2

מהי המשוואה לחיתוך?

שאלה לחשיבה

כיצד ניתן לדעת, ללא בדיקת נקודה, איזה מהגרפים גבוה יותר בין שתי נקודות החיתוך של ישר ופרבולה?

ניתן להסתכל על הסקיצה: פרבולה שפונה למעלה תהיה מתחת לישר החותך אותה בין שתי נקודות החיתוך. אם הפרבולה פונה למטה, הרי שהיא תהיה מעל הישר בתחום שביניהן. כאשר אין סקיצה, בוחרים נקודת בדיקה פנימית ומשווים ערכים.

זיהוי האזור הסגור

בינוני

נתונה המערכת $y = x^{2} - 4$ , $y = 0$ (ציר $x$ ). מצאו את נקודות החיתוך ותארו את האזור הסגור.

{y = x^{2} - 4 y = 0

שאלה 1 מתוך 14

מה מייצגת נקודת חיתוך בין פרבולה וישר?

המשך קריאה

עוד עמודים שיכולים לחבר את מה שלמדתם עכשיו

בפרקאי-שוויונות ריבועיים בסקיצה בפרקמערכות לא ליניאריות קשוריישומים של מערכות משוואות קשורשאלות מילוליות במשוואות

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של חיתוך פרבולה וישר כבר מוכן.

פתחו תרגול

חיתוך פרבולה וישר

מה בונים במודול?

למה משווים בין הפונקציות?

חיתוך הוא שוויון ערכים

דוגמה פתורה

מציאת שתי נקודות חיתוך

אסטרטגיית עבודה

שלבי החלטה

משווים

פותרים

מציבים

תרגול מודרך

פרבולה וישר פשוטים

חיתוך עם ישר אופקי

סימני זיהוי ודוגמאות

שתי נקודות

נקודה אחת

אין נקודות

בדיקה

שאלה לחשיבה

שאלה לחשיבה

טעות נפוצה: חיתוך אינו חיתוך עם הצירים

העמקה קצרה

דוגמאות פתורות נוספות

בודקים שאין חיתוך

משנים ישר בעזרת פרמטר

העמקה ותרגול מבחן

מספר נקודות החיתוך נקבע כבר במשוואה

שלושה מצבי חיתוך

בדיקת איכות לתשובה

השוואה נכונה

נקודות מלאות

סקיצה מאשרת

חיתוך עם ישר אופקי

משיק לפרבולה

מקרה ללא חיתוך

מציאת פרמטר להשקה

משפט תשובה מומלץ

שטח האזור שבין גרף לגרף

אזור סגור בין ישר לפרבולה

זיהוי האזור הסגור: ישר ופרבולה

שאלה לחשיבה

זיהוי האזור הסגור

מה מייצגת נקודת חיתוך בין פרבולה וישר?