תרגול: תכונות משולש שווה שוקיים

מותר לומר זאת רק כאשר מתקיימים שני תנאים בו זמנית: (1) המשולש שווה שוקיים (לפחות שתי צלעות שוות), ו-(2) הקטע יוצא מקודקוד הראש (הקודקוד שבו השוקיים נפגשות, מול הבסיס) אל הבסיס. בלי שני התנאים האלה תיכון, גובה, חוצה זווית ואנך אמצעי הם ארבעה קטעים שונים. למשל, תיכון מקודקוד שבקצה הבסיס אינו בהכרח גובה או חוצה זווית, גם במשולש שווה שוקיים. לכן צריך לבדוק את שני התנאים לפני שמשתמשים בתכונת ההתלכדות בהוכחה.

כל התכונות נובעות מסימטריה. אם נקפל את המשולש שווה השוקיים לאורך הקו מקודקוד הראש לאמצע הבסיס, שני החצאים יתלכדו זה על זה בדיוק. הקיפול הזה מראה: (1) זווית הבסיס בצד שמאל מתלכדת עם זווית הבסיס בצד ימין, ולכן הן שוות. (2) חצי הבסיס בצד שמאל מתלכד עם חצי הבסיס בצד ימין, ולכן הקטע מהראש לאמצע הוא תיכון. (3) הקיפול מאונך לבסיס בנקודה שבה הוא חותך אותו, ולכן זה גם גובה. (4) זווית הראש מתחלקת לשני חצאים שווים, ולכן זה גם חוצה זווית. (5) הקטע מאונך לבסיס באמצעו, ולכן הוא גם אנך אמצעי. כל ארבעת התפקידים מתלכדים בגלל הסימטריה היחידה הזו.

במשולש כללי תיכון, גובה, חוצה זווית ואנך אמצעי הם ארבעה קטעים שונים זה מזה. למשל, במשולש עם צלעות $3,4,5$ (ישר זווית), התיכון מהקודקוד הישר הוא בעל אורך $2.5$ ומגיע לאמצע היתר. הגובה לאותו יתר הוא $2.4$ ומגיע לנקודה אחרת. חוצה הזווית מאותו קודקוד הוא קטע נוסף. לכן אם נסיק במשולש כללי שתיכון = גובה, נטעה ביציאה לכל המסקנות הבאות. רק בשווה שוקיים, ורק לקטע מקודקוד הראש לבסיס, הם מתלכדים. הבדיקה של התנאי היא חלק חיוני מההוכחה הגאומטרית.