תרגול: תיכון ושוויון שטחים

אסביר במונחים של נוסחת השטח, לא חפיפה: התיכון מחלק את הצלע לשני בסיסים שווים ($BD=DC$). שני המשולשים הקטנים משתמשים באותו גובה - הגובה מהקודקוד אל הישר של הצלע. נוסחת שטח משולש: $S=\frac{a\cdot h}{2}$. אם שני משולשים בעלי בסיסים שווים ($a_1=a_2$) וגובה שווה ($h_1=h_2$), אז $S_1=S_2$. אין צורך להוכיח חפיפה - הנימוק נשען רק על נוסחת השטח. למעשה, שני המשולשים בדרך כלל אינם חופפים: הצלעות מהקודקוד לקצוות שונות ($AB\ne AC$ בדרך כלל). שטח הוא תכונה גלובלית; חפיפה היא תכונה מקומית.

השוויון של ששת השטחים נובע משילוב של תכונות שראינו: (1) כל תיכון מחלק את המשולש לשני חלקים שווים. (2) שלושת התיכונים נפגשים במרכז הכובד. הוכחה אינטואיטיבית: התיכון $AD$ מחלק את המשולש לשני חלקים שווים. בכל אחד מהחלקים, התיכון השני שעובר דרכו (חלקית) מחלק אותו לחצי שווי שטח. וכך הלאה. התוצאה: שישה חלקים שווי שטח. למה זה מעניין? (1) זאת תכונה ייחודית לתיכונים - חוצי הזווית והגבהים לא יוצרים תכונה כזו. (2) היא קושרת בין גאומטריה לפיזיקה - מרכז הכובד הוא נקודת איזון פיזיקלי, ושטח שווה אומר מסה שווה (במשולש מנייר אחיד). (3) היא יפה ופשוטה: שטח של $\frac{1}{6}$ בכל משולש קטן, גם אם המשולש המקורי קהה זווית, חד זווית, או ישר זווית. תכונה אוניברסלית.