אימון מתמטיקה מודרך

תרגול: משפט צ.ז.צ

תרגלו משפט צ.ז.צ במתמטיקה לכיתה ח׳: דף עבודה אינטראקטיבי עם שאלות, תרגילים, משוב מיידי ופתרונות לחזרה למבחן.

להתחלת התרגול חזרה להסבר

תרגילים: 20
כיתה: כיתה ח׳
פרק: משולשים חופפים, תיכון במשולש, משולש שווה שוקיים

דף תרגולתרגול: משפט צ.ז.צ

ניקוד0

התקדמות0/20

ציון0/0

תרגול: משפט צ.ז.צ

בדקו שאתם יודעים לזהות את החלק הקריטי במשפט.

$math/020-math book$ כרטיסי צ.ז.צ

צ.ז.צ

לחצו לגלות

שתי צלעות והזווית הכלואה ביניהן.

לחצו לחזור

כלואה

לחצו לגלות

הזווית בקודקוד שבו שתי הצלעות נפגשות.

לחצו לחזור

לא מספיק

לחצו לגלות

שתי צלעות וזווית שאינה ביניהן.

לחצו לחזור

נימוק סיום

לחצו לגלות

המשולשים חופפים לפי צ.ז.צ.

לחצו לחזור

צלע משותפת

לחצו לגלות

כששני משולשים חולקים קטע, הוא צלע בשניהם: $A D = A D$ .

לחצו לחזור

AB ו-AC

לחצו לגלות

נפגשות בקודקוד A. הזווית הכלואה היא A.

לחצו לחזור

AB ו-BC

לחצו לגלות

נפגשות בקודקוד B. הזווית הכלואה היא B.

לחצו לחזור

מקור צ.ז.צ

לחצו לגלות

אאוקלידס באלכסנדריה לפני 2300 שנה.

לחצו לחזור

חזרה על החומר

בחרו אם הנתונים מתאימים למשפט.

טוען סימולציה...

חזרה על החומר

לכל זוג צלעות - איזו זווית כלואה ביניהן?

סוג התרגיל "scientific_table" אינו נתמך ישירות בדף התרגול. התצוגה מוצגת, סיום ידני.

חזרה על החומר

ענו על שאלות שבהן צריך לעצור ולבדוק כליאה.

שאלה 1 מתוך 4

בנתונים $A B = D E$ , $A C = D F$ , $∠ A = ∠ D$ , איזה משפט מתאים?

חזרה על החומר

קבעו אם הנתונים מאפשרים משפט צ.ז.צ.

בעיה קצרה - לא כל זווית מספיקה

בינוני

נתון $A B = D E$ , $A C = D F$ ו- $∠ C = ∠ F$ . האם אפשר לנמק צ.ז.צ?

A B = D E, A C = D F, ∠ C = ∠ F

חזרה על החומר

יישום של משפט החלקים המתאימים אחרי צ.ז.צ.

חישוב לפי חפיפה צ.ז.צ

בינוני

נתון $△ A B C ≅ △ D E F$ לפי צ.ז.צ. אם $A B = 9, A C = 12, ∠ A = 7 0^{\circ}$ , חשבו את $D E, D F, ∠ D$ .

A B = 9, A C = 12, ∠ A = 7 0^{\circ}

חזרה על החומר

בעיה שמשלבת צלע משותפת.

צלע משותפת בצ.ז.צ

מאתגר

במשולש $A B C$ , $A D$ הוא חוצה זווית של זווית $A$ , ו- $A B = A C$ . הוכיחו ש- $△ A B D ≅ △ A C D$ לפי צ.ז.צ.

A B = A C, ∠ B A D = ∠ C A D

חזרה על החומר

מצאו את הטעות בנימוק שגוי.

מצאו את הטעות

מאתגר

תלמידה כתבה: "נתון $A B = D E$ , $B C = E F$ , $∠ A = ∠ D$ . לפי צ.ז.צ, המשולשים חופפים." מהי הטעות?

A B = D E, B C = E F, ∠ A = ∠ D

חזרה על החומר

תלמיד שכח לרשום צלע משותפת.

השלמת נימוק

מאתגר

במשולש $A B D$ ו- $A C D$ (חולקים את $A D$ ), נתון $A B = A C$ ו- $∠ B A D = ∠ C A D$ . תלמיד כתב: "שני נתונים נתנו לי שני זוגות מתאמים, אבל זה לא מספיק לצ.ז.צ". מה הוא פספס?

A B = A C, ∠ B A D = ∠ C A D, A D = ?

חזרה על החומר

נסחו את בדיקת הכליאה שלכם.

שאלה לחשיבה

איך תסבירו לחבר מהי זווית כלואה בלי להשתמש בציור?

זווית כלואה היא הזווית שנמצאת בקודקוד המשותף לשתי הצלעות הנתונות. אם שתי הצלעות הן AB ו-AC, הן נפגשות ב-A, ולכן רק הזווית A כלואה ביניהן.

חזרה על החומר

צ.ז.צ ומדידות בעולם הממשי.

שאלה לחשיבה

מודד קרקע צריך למדוד מרחק בין שני סלעים שיש בין מהם נהר. איך יוכל להשתמש בצ.ז.צ?

המודד יבחר נקודה ניידת בצד אחד של הנהר. הוא ימדוד את המרחק מהנקודה הניידת לכל אחד משני הסלעים, ואת הזווית בין שני הקווים האלה. עכשיו יש לו: שני אורכים והזווית הכלואה ביניהם - בדיוק נתוני צ.ז.צ! מהמשולש שייווצר, הוא יחשב את הצלע השלישית - המרחק בין הסלעים. כל מודדי הקרקע במאות שעברו (לפני שהיו GPS) השתמשו בעקרון הזה.

חזרה על החומר

שאלה אנליטית מעמיקה.

שאלה לחשיבה

אם נתונים שתי צלעות בלבד (5, 7) במשולש, וכן זווית של $3 0^{\circ}$ . כמה משולשים שונים יכולים להתאים לנתונים? מה קורה אם הזווית כלואה לעומת לא כלואה?

הכל תלוי במיקום הזווית. אם הזווית של $3 0^{\circ}$ כלואה (בין הצלעות 5 ו-7), יש משולש יחיד - לפי צ.ז.צ. אם הזווית לא כלואה (למשל ליד הצלע 5 בלבד), יכולים להיות שני משולשים שונים שמתאימים לנתונים, או אחד או אפילו אפס - תלוי בגדלים. זו בדיוק הסיבה שצ.צ.ז (לא כלואה) אינו משפט חפיפה - הוא לא מבטיח משולש יחיד.

חזרה על החומר

השלימו כל שלב בפתרון המודרך.

$math/017-ruler$ דוגמה 2 - צלע משותפת בצ.ז.צ

שלב 1 מתוך 7

בציור שני המשולשים

A B D

ו-

A C D

. נתון

A B = A C

ו-

∠ B A D = ∠ C A D

. השלימו נימוק חפיפה והסיקו מסקנות נוספות.

זיהוי הנתונים מהציור: זוג צלעות נתון מהמשפט - $A B = A C$ .

A B = A C (נתון)

חזרה על החומר

השלימו כל שלב בפתרון המודרך.

דוגמה 3 - חישוב לפי חפיפה (אתגר)

שלב 1 מתוך 6

נתון

△ A B C ≅ △ D E F

לפי צ.ז.צ. ידוע ש-

A B = 8, A C = 10, ∠ A = 6 0^{\circ}

. חשבו את

D E, D F, ∠ D

כדי להשתמש בחפיפה, ראשית מזהים את ההתאמה בין הקודקודים. החפיפה כתובה $△ A B C ≅ △ D E F$ , כלומר הסדר שומר על ההתאמה: $A \leftrightarrow D, B \leftrightarrow E, C \leftrightarrow F$ .

A \leftrightarrow D, B \leftrightarrow E, C \leftrightarrow F

חזרה על החומר

השלימו כל שלב בפתרון המודרך.

דוגמה 4 - שני משולשים החולקים צלע באלכסון מלבן

שלב 1 מתוך 7

במלבן

A B C D

, האלכסון

A C

מחלק אותו לשני משולשים. הוכיחו ש-

△ A B C ≅ △ C D A

בעזרת צ.ז.צ.

במלבן, הצלעות הנגדיות שוות. לכן $A B = C D$ וגם $B C = D A$ .

A B = C D, B C = D A (תכונת מלבן)

חזרה על החומר

השלימו כל שלב בפתרון המודרך.

דוגמה 5 - הוכחה במשולש שווה שוקיים על ידי תיכון

שלב 1 מתוך 7

במשולש שווה שוקיים

A B C

עם

A B = A C

, נמתח התיכון

A M

מ-

A

לאמצע הבסיס

B C

. הוכיחו

△ A B M ≅ △ A C M

מהנתון: $A B = A C$ (משולש שווה שוקיים).

A B = A C

חזרה על החומר

פתרו והגישו תשובה.

תרגול 4 - חישוב נתון חסר (בינוני)

בינוני

נתון $△ A B C ≅ △ X Y Z$ לפי צ.ז.צ, ו- $A B = 12, B C = 15, ∠ B = 7 0^{\circ}$ . מה $X Y, Y Z, ∠ Y$ ?

A B = 12, B C = 15, ∠ B = 7 0^{\circ}

חזרה על החומר

פתרו והגישו תשובה.

תרגול 5 - הוכחת צ.ז.צ במשולש שווה שוקיים (אתגר)

מאתגר

במשולש $A B C$ , $A B = A C$ . נמתח חוצה זווית מ- $A$ שחותך את $B C$ בנקודה $D$ . הוכיחו ש- $△ A B D ≅ △ A C D$ .

A B = A C, ∠ B A D = ∠ C A D

חזרה על החומר

פתרו והגישו תשובה.

תרגול 6 - חישוב מספרי מפורט (אתגר)

מאתגר

במשולש $A B C$ , $A B = 12$ ס"מ, $A C = 15$ ס"מ, $∠ A = 8 0^{\circ}$ . במשולש $D E F$ , $D E = 12$ ס"מ, $D F = 15$ ס"מ, $∠ D = 8 0^{\circ}$ , $∠ E = 4 2^{\circ}$ . (א) האם המשולשים חופפים? (ב) חשבו את $∠ B$ ואת $∠ C$ .

A B = 12, A C = 15, ∠ A = 8 0^{\circ}, D E = 12, D F = 15, ∠ D = 8 0^{\circ}, ∠ E = 4 2^{\circ}

חזרה על החומר

פתרו והגישו תשובה.

תרגול 7 - הוכחה במלבן (אתגר)

מאתגר

במלבן $A B C D$ נמתחים האלכסונים $A C$ ו- $B D$ שנפגשים בנקודה $O$ . הוכיחו ש- $△ A O B ≅ △ C O D$ בעזרת צ.ז.צ.

A B C D מלבן, A C ו- B D אלכסונים נפגשים ב- O

חזרה על החומר

תרגול: משפט צ.ז.צ

תרגול: משפט צ.ז.צ

כרטיסי צ.ז.צ

בנתונים AB=DE, AC=DF, ∠A=∠D, איזה משפט מתאים?

בעיה קצרה - לא כל זווית מספיקה

חישוב לפי חפיפה צ.ז.צ

צלע משותפת בצ.ז.צ

מצאו את הטעות

השלמת נימוק

שאלה לחשיבה

שאלה לחשיבה

שאלה לחשיבה

דוגמה 2 - צלע משותפת בצ.ז.צ

דוגמה 3 - חישוב לפי חפיפה (אתגר)

דוגמה 4 - שני משולשים החולקים צלע באלכסון מלבן

דוגמה 5 - הוכחה במשולש שווה שוקיים על ידי תיכון

תרגול 4 - חישוב נתון חסר (בינוני)

תרגול 5 - הוכחת צ.ז.צ במשולש שווה שוקיים (אתגר)

תרגול 6 - חישוב מספרי מפורט (אתגר)

תרגול 7 - הוכחה במלבן (אתגר)

$math/020-math book$ כרטיסי צ.ז.צ

בנתונים $A B = D E$ , $A C = D F$ , $∠ A = ∠ D$ , איזה משפט מתאים?

$math/017-ruler$ דוגמה 2 - צלע משותפת בצ.ז.צ