אימון מתמטיקה מודרך

תרגול: סיכום פרק 3 - חפיפה, שווה שוקיים ותיכון

תרגול מסכם מקיף לפרק 3: חפיפת משולשים, שלושת משפטי החפיפה, דוגמאות נגד, תיכון, שטחים שווים, משולש שווה שוקיים, ובניית הוכחות שלמות. הכנה למבחן.

להתחלת התרגול חזרה להסבר

תרגילים: 10
כיתה: כיתה ח׳
פרק: משולשים חופפים, תיכון במשולש, משולש שווה שוקיים

דף תרגולתרגול: סיכום פרק 3 - חפיפה, שווה שוקיים ותיכון

ניקוד0

התקדמות0/10

חלק א: זיהוי מהיר ומושגים

תרגיל

כרטיסי משפטים ומושגים

התאימו כל מצב למשפט או לאזהרה המתאימה.

$math/020-math book$ כרטיסי משפטים

צ.ז.צ (SAS)

לחצו לגלות

שתי צלעות והזווית הכלואה ביניהן.

לחצו לחזור

ז.צ.ז (ASA)

לחצו לגלות

שתי זוויות והצלע הכלואה ביניהן.

לחצו לחזור

צ.צ.צ (SSS)

לחצו לגלות

שלוש צלעות מתאימות.

לחצו לחזור

ז.ז.ז (AAA)

לחצו לגלות

לא מספיק לחפיפה - רק דמיון.

לחצו לחזור

SSA

לחצו לגלות

לא מספיק - המקרה הדו-משמעי.

לחצו לחזור

תיכון

לחצו לגלות

קטע מקודקוד אל אמצע הצלע מולו.

לחצו לחזור

תיכון ושטח

לחצו לגלות

מחלק את שטח המשולש לחצי.

לחצו לחזור

שווה שוקיים

לחצו לגלות

שתי צלעות שוות. זוויות בסיס שוות.

לחצו לחזור

ארבעה תפקידים

לחצו לגלות

במשולש שווה שוקיים מהראש: תיכון = גובה = חוצה זווית = אנך אמצעי.

לחצו לחזור

משפט הפוך

לחצו לגלות

אם זוויות בסיס שוות, אז המשולש שווה שוקיים.

לחצו לחזור

חזרה על החומר

תרגיל

השלמות חישוב מהירות

השלימו תשובות מספריות ומושגיות מכל הפרק.

טוען סימולציה...

חזרה על החומר

$math/030-equation$ חלק ב: שאלות מסכמות

תרגיל

חידון סיכום קצר

ענו על שאלות שמערבבות משפטים, תיכון ושווה שוקיים.

שאלה 1 מתוך 6

איזה משפט מתאים לשתי צלעות והזווית שביניהן?

חזרה על החומר

חלק ג: בעיות הוכחה מסכמות

תרגיל

בעיה מסכמת 1 - תיכון בשווה שוקיים

כתבו שרשרת נימוק מלאה.

בעיה מסכמת - תיכון בשווה שוקיים

מאתגר

במשולש שווה שוקיים $△ A B C$ , $A B = A C$ ו- $A D$ תיכון לבסיס. איזה משפט חפיפה מוכיח את חפיפת $△ A B D$ ו- $△ A C D$ ? כתבו את ההוכחה במלואה.

A B = A C, B D = D C, A D = A D

חזרה על החומר

תרגיל

בעיה מסכמת 2 - חוצה זווית

מחוצה זווית להוכחה מלאה.

בעיה מסכמת - חוצה זווית מוביל לתיכון

מאתגר

במשולש שווה שוקיים $△ A B C$ עם $A B = A C$ , הקטע $A D$ חוצה את זווית הראש. הוכיחו ש- $A D$ גם תיכון לבסיס.

A B = A C, ∠ B A D = ∠ C A D

חזרה על החומר

תרגיל

בעיה מסכמת 3 - דוגמה נגד

מתי הנתונים אינם מספיקים?

בעיה מסכמת - דוגמה נגד

מאתגר

תלמיד טוען: "שני משולשים בעלי אותן שלוש זוויות הם חופפים." הציגו דוגמה נגד מספרית להפריך את הטענה.

∠ A = ∠ D, ∠ B = ∠ E, ∠ C = ∠ F

חזרה על החומר

תרגיל

בעיה מסכמת 4 - שטח שווה ולא חפיפה

מבחינים בין שטח לחפיפה.

בעיה מסכמת - שטח שווה לא חפיפה

במשולש $△ A B C$ עם $A B = 4, A C = 7, B C = 8$ , $A D$ תיכון לצלע $B C$ . (א) האם המשולשים $△ A B D$ ו- $△ A C D$ שווי שטח? (ב) האם הם חופפים? נמקו.

A B = 4, A C = 7, B C = 8

חזרה על החומר

חלק ד: רפלקציה ועומק

תרגיל

אסטרטגיה כללית להוכחת חפיפה

סכמו את האסטרטגיה במילים שלכם.

שאלה לחשיבה

מה תעשו כאשר תרגיל מבקש לנמק חפיפת משולשים? נסחו אסטרטגיה צעד אחר צעד.

האסטרטגיה שלי תהיה: (1) התאמה - אכתוב מי מתאים למי לפי סדר שמות המשולשים. $△ A B C ≅ △ D E F$ פירושו $A \leftrightarrow D, B \leftrightarrow E, C \leftrightarrow F . (2)$ נתונים - אסמן את כל השוויונות הנתונים, כולל מסקנות ביניים (תיכון נותן $B D = D C$ , חוצה זווית נותן זוויות שוות, וכו'). אכלול גם צלעות משותפות. (3) משפט - אבדוק אם הנתונים תואמים בדיוק לאחד משלושת משפטי החפיפה (צ.ז.צ, ז.צ.ז, צ.צ.צ). אבדוק כליאה אם זה משפט עם זווית או צלע כלואה. (4) חפיפה - אכתוב את החפיפה עם ההתאמה הנכונה. (5) חלקים מתאימים - רק אז אסיק שוויונות חדשים מהחפיפה. אם הנתונים אינם מספיקים, אחפש דוגמה נגד או נתון חסר במקום להמציא משפט.

חזרה על החומר

תרגיל

מקור הסימטריה והתכונות

למה כל ההוכחות בפרק נראות דומות.

שאלה לחשיבה

למה כל ההוכחות בפרק על שווה שוקיים נראות דומות מבחינת מבנה? מה המקור המשותף שלהן?

כל ההוכחות על שווה שוקיים נראות דומות כי הן נובעות ממקור אחד: סימטריה. ציר הסימטריה של משולש שווה שוקיים - הקו מקודקוד הראש לאמצע הבסיס - מחלק את המשולש לשני חצאים שמתלכדים בקיפול. הקיפול הזה הוא בעצם הוכחה ויזואלית של חפיפה. בכל הוכחה, המבנה זהה: (1) מצביעים על שלושה נתונים (או מסקנות מנתונים) שנותנים חפיפה לפי אחד ממשפטי החפיפה. (2) מוכיחים את החפיפה $△ A B D ≅ △ A C D$ . (3) מסיקים מהחפיפה את התכונה החדשה. כך מוכחים: זוויות בסיס שוות, התלכדות תיכון/גובה/חוצה זווית/אנך אמצעי, חוצי זווית הבסיס שווים, ועוד. כל הציר הזה - שני המשולשים החופפים שמסביבו - הוא התשובה לכל שאלה על שווה שוקיים. זה מראה שהבנה עמוקה של מתמטיקה אינה רק זכירת תכונות, אלא הבנה שכל התכונות נובעות מעקרונות מעטים.

חזרה על החומר

תרגיל

מבחן מהיר - הכנה למבחן

בדקו את עצמכם.

שאלה לחשיבה

לפני המבחן, סכמו את הדברים החשובים ביותר שצריך לזכור מפרק 3.

הדברים החשובים ביותר: (1) שלושה משפטי חפיפה בלבד: צ.ז.צ, ז.צ.ז, צ.צ.צ. ז.ז.ז ו-SSA אינם משפטי חפיפה. (2) סדר ההוכחה: התאמה ← נתונים ← משפט חפיפה ← חלקים מתאימים. אסור לדלג שלבים. (3) תיכון: קטע מקודקוד לאמצע הצלע מולו. נותן בסיסים שווים בלבד, לא מאונכות או חציית זווית בכל משולש. (4) תיכון מחלק שטח לחצי, אך לא בהכרח חפיפה. (5) שווה שוקיים: שתי צלעות שוות ← זוויות בסיס שוות (משפט). זוויות בסיס שוות ← שתי צלעות שוות (משפט הפוך). (6) במשולש שווה שוקיים מהראש לבסיס: תיכון = גובה = חוצה זווית = אנך אמצעי. ארבעה תפקידים בקטע אחד. (7) ציור הוא כלי עזר, לא נתון. צריך נתון אלגברי מפורש לכל מסקנה. (8) שטח שווה ≠ חפיפה. (9) סימטריה היא המקור - כל התכונות של שווה שוקיים נובעות מסימטריה אחת.

חזרה על החומר