סיכום פרק 4

הפונקציה הריבועית: גרף, ביטוי, קדקוד, שורשים ותחומי סימן

מה צריך לקחת מהפרק

הפרק מלמד לראות פרבולה כמשפחה של ייצוגים. אותו גרף יכול להופיע בטבלה, בביטוי קדקודי, בביטוי סטנדרטי או בביטוי כמכפלה. כל ייצוג מגלה מידע אחר במהירות.

בכל שאלה מסכמת כדאי להתחיל בזיהוי הייצוג: קדקודי מגלה קדקוד, מכפלה מגלה נקודות אפס, סטנדרטי מגלה חיתוך עם ציר

y

, וגרף מגלה תחומי עלייה, ירידה, חיוביות ושליליות.

$math/048-graphs$

1. הפונקציה $y = x^{2}$

הגרף יורד כאשר

x < 0

, עולה כאשר

x > 0

, ונוגע בציר

x

בנקודה אחת.

2. סימטרייה, קדקוד וציר סימטרייה

כאשר הפרבולה פונה למעלה, הקדקוד הוא מינימום. כאשר היא פונה למטה, הקדקוד הוא מקסימום.

3. הזזה אנכית ו- $y = a x^{2} + c$

ב-

y = x^{2} + k

וב-

y = a x^{2} + c

, הקבוע קובע את גובה הקדקוד והמקדם קובע את כיוון הפתיחה והרוחב.

4. הזזה אופקית $y = (x - p)^{2}$

(x - p)^{2}

מזיז ימינה כאשר

p > 0

, ו-

(x + p)^{2}

מזיז שמאלה כי הוא שקול ל-

(x - (- p))^{2}

5. מתיחה, כיווץ ושיקוף $y = a x^{2}$

הקדקוד נשאר

(0, 0)

, הציר נשאר

x = 0

, והמקדם קובע פתיחה ורוחב.

6. ייצוג קדקודי $y = a (x - p)^{2} + k$

הייצוג הקדקודי מגלה מיד קדקוד, ציר סימטרייה, כיוון פתיחה וערך קיצון.

$math/030-equation$

7. ייצוג סטנדרטי $y = a x^{2} + b x + c$

הייצוג הסטנדרטי נוח לחיתוך עם

y

ולזיהוי כיוון פתיחה, אך לעיתים כדאי להמיר אותו כדי לראות קדקוד או שורשים.

8. ייצוג כמכפלה ונקודות אפס

ייצוג כמכפלה הוא הייצוג המהיר ביותר לשורשים ולתחומי סימן.

9. מעבר בין ייצוגים בדוגמאות מספריות

תלמיד חזק אינו נשאר בצורה אחת. הוא בוחר ייצוג לפי מה שהשאלה מבקשת.

10. תחומי חיוביות ושליליות

לתחומי סימן צריך שלושה פרטים: שורשים, כיוון פתיחה, וסוג הסימן המבוקש.

מצפן ייצוגים

איזה ייצוג כדאי לבחור?

הייצוג	מה רואים מיד	דוגמה
$y = a (x - p)^{2} + k$	קדקוד $(p, k)$ , ציר $x = p$ , כיוון פתיחה	$y = - 2 (x - 1)^{2} + 8$
$y = a x^{2} + b x + c$	חיתוך עם ציר $y$ הוא $c$	$y = x^{2} - 4 x + 3$
$y = a (x - r_{1}) (x - r_{2})$	נקודות אפס $r_{1}, r_{2}$	$y = (x - 1) (x - 3)$
גרף	תחומי עלייה, ירידה, חיוביות ושליליות	מעל או מתחת לציר $x$

מסלול פתרון לשאלה על פרבולה

מזהים ייצוג

קדקודי, סטנדרטי, מכפלה, גרף או טבלה.

לא מתחילים לחשב לפני שיודעים מה כבר גלוי.

$math/030-equation$

מוציאים מידע

קדקוד וציר.

נקודות אפס וחיתוך עם הצירים.

כיוון פתיחה ותחומי שינוי.

בודקים התאמה

השורשים צריכים להתאים לגרף.

הקדקוד צריך להיות בין שורשים סימטריים.

הצבה נקודתית מאשרת חישוב.

דוגמה מסכמת

שלושה ייצוגים לאותה פרבולה

$y = (x - 2)^{2} - 1 = x^{2} - 4 x + 3 = (x - 1) (x - 3)$ . הייצוג הראשון מגלה קדקוד, השני מגלה חיתוך עם $y$ , השלישי מגלה שורשים.

תחומי סימן

אם $y = (x - 1) (x - 3)$ והפרבולה פונה למעלה, היא חיובית עבור $x < 1$ או $x > 3$ , ושלילית עבור $1 < x < 3$ .

תרגול מסכם מלא

התרגול המסכם מערבב את כל ייצוגי הפרק. בכל שאלה בחרו תחילה את הייצוג שחוסך עבודה, ורק אחר כך חשבו.

חקירה מלאה מייצוג סטנדרטי

מאתגר

חקרו את הפונקציה $y = x^{2} - 6 x + 8$ : מצאו שורשים, ציר סימטרייה, קדקוד, חיתוך עם ציר $y$ ותחומי חיוביות.

y = x^{2} - 6 x + 8

בונים ייצוג קדקודי מנתונים

מאתגר

כתבו פונקציה ריבועית שקדקודה $(2, - 3)$ והיא עוברת דרך הנקודה $(4, 1)$ .

V = (2, - 3), (4, 1)

בחירת הייצוג המתאים

מאתגר

נתונה אותה פונקציה בשלוש צורות: $(x - 3)^{2} - 4$ , $x^{2} - 6 x + 5$ , $(x - 1) (x - 5)$ . בחרו ייצוג מתאים למציאת קדקוד, שורשים וחיתוך עם ציר $y$ .

(x - 3)^{2} - 4 = x^{2} - 6 x + 5 = (x - 1) (x - 5)

שאלת חיבור פרק

מאתגר

בנו פונקציה ריבועית ששורשיה $- 1$ ו- $5$ , והיא עוברת דרך $(0, - 5)$ . לאחר מכן מצאו ציר סימטרייה, קדקוד ותחומי חיוביות.

y = a (x + 1) (x - 5), (0, - 5)

מרפאת טעויות של כל הפרק

לפני מבחן מסכם, רוב הטעויות אינן חישוביות בלבד אלא בחירת ייצוג לא יעיל או קריאת סימן לא מדויקת.

אם מבקשים קדקוד, חפשו ייצוג קדקודי או השלימו לריבוע.
אם מבקשים שורשים או תחומי סימן, ייצוג כמכפלה או פירוק יחסוך זמן.
אם מבקשים חיתוך עם ציר $y$ , הציבו $x = 0$ או קראו את $c$ .
בסוף כל פתרון ציירו סקיצה קטנה ובדקו אם הסימנים מתאימים לכיוון הפתיחה.

בדיקת מוכנות אחרונה

אם השאלה מבקשת	הייצוג היעיל	בדיקה בסוף
קדקוד וציר סימטרייה	$y = a (x - p)^{2} + k$	האם הציר עובר דרך הקדקוד?
שורשים ותחומי סימן	$y = a (x - r_{1}) (x - r_{2})$	האם הסימן מתאים לכיוון הפתיחה?
חיתוך עם ציר $y$	$y = a x^{2} + b x + c$	האם הצבת $x = 0$ נותנת את אותו ערך?
שקילות בין ייצוגים	מעבר לצורה סטנדרטית או הצבה	האם שתי הצורות נותנות אותו ערך בנקודת בדיקה?

מה שייך לפרק הבא

פרק 4 מסיים את בניית שפת הפרבולה: גרף, קדקוד, ציר סימטרייה, ייצוגים ותחומי סימן. בפרק הבא נשתמש באותה שפה כדי לפתור חיתוך פרבולה וישר, אי-שוויונות ריבועיים, מערכות לא ליניאריות, בעיות קיצון ומודלים מילוליים.

לכן אם שאלה דורשת להשוות פרבולה לישר או לבנות מודל מתוך סיפור מלא, זו כבר מיומנות ההמשך. כאן חשוב לוודא שכל המידע על הפרבולה עצמה נקרא נכון.

שאלה לחשיבה

למה לא כדאי לפתוח סוגריים מיד בכל שאלה?

פתיחת סוגריים יכולה להסתיר מידע שהיה גלוי. למשל בייצוג קדקודי רואים מיד את הקדקוד, ובייצוג כמכפלה רואים מיד את השורשים. רק אם צריך מידע אחר כדאי לעבור ייצוג.

בדיקת סבירות בסוף פתרון

אחרי כל חישוב שאלו אם התוצאה מתאימה לגרף: האם כיוון הפתיחה הגיוני, האם הקדקוד נמצא על ציר הסימטרייה, האם נקודות האפס סימטריות סביב הציר, והאם תחומי החיוביות מתאימים למיקום הגרף.

מציירים סקיצה קטנה.
מסמנים קדקוד, ציר ושורשים.
בודקים נקודת הצבה אחת.
כותבים תשובה מילולית קצרה.

משחק חזרה לפרק

טוען סימולציה...

שאלה 1 מתוך 25

פרבולה עם $a = 1$ , קדקוד $(4, 3)$ ונקודה $(6, 7)$ . מהי משוואתה בייצוג קדקודי?

תרגול מתקדם

מוכנים למבחן המסכם המלא?

עברו לחידון המורחב של הפרק לתרגול מקיף עם 173 שאלות מכל נושאי הלימוד.

למבחן המסכם

סיכום פרק 4

מה צריך לקחת מהפרק

1. הפונקציה y=x2

2. סימטרייה, קדקוד וציר סימטרייה

3. הזזה אנכית ו-y=ax2+c

4. הזזה אופקית y=(x−p)2

5. מתיחה, כיווץ ושיקוף y=ax2

6. ייצוג קדקודי y=a(x−p)2+k

7. ייצוג סטנדרטי y=ax2+bx+c

8. ייצוג כמכפלה ונקודות אפס

9. מעבר בין ייצוגים בדוגמאות מספריות

10. תחומי חיוביות ושליליות

מצפן ייצוגים

איזה ייצוג כדאי לבחור?

מסלול פתרון לשאלה על פרבולה

מזהים ייצוג

מוציאים מידע

בודקים התאמה

דוגמה מסכמת

שלושה ייצוגים לאותה פרבולה

תחומי סימן

תרגול מסכם מלא

חקירה מלאה מייצוג סטנדרטי

בונים ייצוג קדקודי מנתונים

בחירת הייצוג המתאים

שאלת חיבור פרק

מרפאת טעויות של כל הפרק

בדיקת מוכנות אחרונה

מה שייך לפרק הבא

שאלה לחשיבה

בדיקת סבירות בסוף פתרון

משחק חזרה לפרק

פרבולה עם a=1, קדקוד (4,3) ונקודה (6,7). מהי משוואתה בייצוג קדקודי?