מתיחה, כיווץ ושיקוף $y=a{x}^2$

מה המקדם $a$ עושה?

בפונקציה $y=a{x}^2$, המקדם $a$ מכפיל את כל ערכי $y$ של הפרבולה הבסיסית. אם $a$ חיובי, הפרבולה פונה למעלה. אם $a$ שלילי, היא משתקפת ופונה למטה. כאשר $|a|>1$ היא צרה יותר, וכאשר $0<|a|<1$ היא רחבה יותר.

מפת עובדות שחייבים לשלוט בה

כיוון פתיחה

$a>0$ למעלה, $a<0$ למטה: בודקים את סימן המקדם

רוחב

$|a|>1$ צרה, $0<|a|<1$ רחבה: בודקים את גודל המקדם

קדקוד

$(0,0)$: אין הזזה

ציר סימטרייה

$x=0$: המקדם אינו מזיז ימינה או שמאלה

דוגמה פתורה

הדוגמה משווה את הגרף לפרבולה הבסיסית בעזרת נקודת בדיקה אחת. שימו לב שמקדם בערך מוחלט גדול מאחד דוחס את הפרבולה לכיוון הציר, וההפך כשהוא קטן מאחד.

אסטרטגיית עבודה

שלבי החלטה

בודקים סימן

חיובי: פתיחה למעלה.

שלילי: פתיחה למטה ושיקוף.

בודקים גודל

$|a|>1$: מתיחה אנכית.

$0<|a|<1$: כיווץ אנכי.

משלימים תיאור

קדקוד וציר נשארים בראשית.

תחומי עלייה וירידה נקבעים לפי כיוון הפתיחה.

מחברים ייצוגים

בשאלות על מתיחה ושיקוף, נקודת בדיקה אחת חוסכת חישוב טבלה שלמה. בוחרים $x=1$ או $x=2$, מקבלים את $y$ ומשם משווים את רוחב הפרבולות.

מצפן ייצוגים למודול

מה הביטוי מגלה

זהו את המקדמים, הסוגריים או הגורמים שמופיעים בביטוי.

שאלו איזה מידע גלוי מיד לפני שמבצעים חישוב ארוך.

מה הגרף מאשר

בדקו קדקוד, ציר סימטרייה, כיוון פתיחה וחיתוכים.

הגרף עוזר לזהות אם תשובה מספרית סבירה.

מה חייבים לנמק

כתבו מאיזה ייצוג קראתם כל פרט.

אם עברתם ייצוג, הסבירו למה המעבר קיצר את הפתרון.

תרגול מודרך

התרגילים מתחילים בתיאור גרף לפי $a$, עוברים למציאת $a$ מנקודה בודדת, ומסיימים בהשוואת רוחב וכיוון של שלוש פרבולות.

פרבולה רחבה

בסיסי

תארו את $y=\frac{1}{2}{x}^2$.

$$y=\frac{1}{2}{x}^2$$

רמז (1/2)

פתרו את התרגיל

תחומי שינוי בפרבולה פונה למטה

בינוני

קבעו תחומי עלייה וירידה של $y=-x^2$.

$$y=-x^2$$

רמז (1/2)

פתרו את התרגיל

התאמת נקודה לקביעת $a$

מאתגר

הפרבולה $y=a{x}^2$ עוברת דרך הנקודה $(2,-12)$. מצאו את $a$ וקבעו את כיוון הפתיחה.

$$y=a{x}^2,(2,-12)$$

רמז (1/2)

פתרו את התרגיל

משימת שליטה: השוואת רוחב וכיוון

מאתגר

השוו בין $y=0.5x^2$, $y=3x^2$, ו-$y=-2x^2$: מי הרחבה ביותר, מי הצרה ביותר, ומי פתוחה כלפי מטה?

$$0.5x^2,3x^2,-2x^2$$

רמז (1/2)

פתרו את התרגיל

העמקה קצרה

לחץ להרחבה למתקדמים

↓

במודלים פיזיקליים, סימן ומקדם של פרבולה יכולים לייצג כיוון וכוח של שינוי. למשל מסלול של גוף שנזרק מעלה מיוצג לעיתים על ידי פרבולה שפונה למטה בגלל תאוצה כלפי מטה.

מזהים מתיחה ושיקוף מטבלה

מאתגר

לפונקציה $y=a{x}^2$ נתון $f(2)=-12$. מצאו את $a$ ותארו את הגרף.

$$-12=a\cdot 2^2$$

רמז (1/2)

הצג פתרון

שאלה 1 מתוך 14

מה עושה $|a|>1$?

א

מתיחה אנכית ופרבולה צרה יותר

ב

מחיקת שורשים

ג

הזזה ימינה

ד

כיווץ ופרבולה רחבה יותר

פוסטר סיכום

מתיחה, כיווץ ושיקוף {m}y=ax^2{/m}

הפונקציה הריבועית

למדו מתיחה, כיווץ ושיקוף y=ax^2 במתמטיקה לכיתה ט׳: פרבולה, קדקוד, סימטרייה, ייצוגים ותחומי סימן. שיעור אינטראקטיבי עם הסברים, דוגמאות, חידון ותרגול למבחן.