ייצוג כמכפלה ונקודות אפס

כאשר הביטוי מפורק, השורשים גלויים

מה נבנה במודול?

במודול הזה השורשים נמצאים בתוך הביטוי. נראה איך לקרוא אותם מ-

y = a (x - r_{1}) (x - r_{2})

ולגזור משם את הציר ואת הקדקוד בלי לפתור משוואה.

שורשים גלויים

נראה כיצד גורמי המכפלה מגלים את נקודות האפס.

ציר מאמצע

נחשב את ציר הסימטרייה כאמצע בין שני שורשים.

קדקוד בהצבה

נמצא את שיעור

y

של הקדקוד לאחר מציאת הציר.

איך לומדים את המודול הזה

המודול "ייצוג כמכפלה ונקודות אפס" נלמד בשלושה סיבובים: קודם מזהים מה כתוב בביטוי, אחר כך קוראים את אותה עובדה בגרף, ולבסוף כותבים נימוק קצר שמחבר ביניהם.

סמנו את הייצוג הנתון: ביטוי, טבלה, גרף או תיאור מילולי.
כתבו מה אפשר לדעת בלי חישוב ומה דורש הצבה או פירוק.
בדקו כל תשובה בעזרת נקודת הצבה אחת או סקיצה קטנה.

תשובה טובה בייצוג מכפלה כוללת את השורשים מתוך הגורמים וגם הסבר: למה איפוס גורם נותן שורש בלי לפתור משוואה.

$math/020-math book$ למה מכפלה מגלה שורשים?

כאשר פונקציה כתובה בצורה $y = a (x - r_{1}) (x - r_{2})$ , מספיק לאפס כל גורם כדי למצוא את נקודות האפס. השורשים נמצאים על ציר $x$ , והציר של הפרבולה עובר בדיוק באמצע ביניהם.

אפס של מכפלה

ב- $y = (x - 1) (x - 5)$ , המכפלה מתאפסת כאשר $x = 1$ או $x = 5$ .

השורשים הם $1$ ו- $5$ . האמצע ביניהם הוא $3$ , ולכן ציר הסימטרייה הוא $x = 3$ . בהצבה מקבלים קדקוד $(3, - 4)$ .

y = a (x - r_{1}) (x - r_{2})

ייצוג כמכפלה הוא הייצוג המהיר ביותר לשורשים ולתחומי סימן.

פרבולה במכפלה

y = (x - 1) (x - 5)

$y = (x - 1) (x - 5)$

קריאת מידע מהירה

שאלה	תשובה	איך יודעים
שורשים	$1, 5$	מאפסים כל גורם
ציר	$x = 3$	אמצע בין $1$ ו- $5$
קדקוד	$(3, - 4)$	מציבים את ערך הציר
חיתוך עם $y$	$(0, 5)$	מציבים $x = 0$

מפת עובדות שחייבים לשלוט בה

שורשים

$1, 5$ : מאפסים כל גורם

ציר

$x = 3$ : אמצע בין $1$ ו- $5$

$math/030-equation$

קדקוד

$(3, - 4)$ : מציבים את ערך הציר

חיתוך עם $y$

$(0, 5)$ : מציבים $x = 0$

דוגמה פתורה

הדוגמה מאפסת כל גורם בנפרד. שימו לב שהשורש הוא הערך שמאפס את הגורם, ולכן הסימן בגורם הופך בשורש (גורם $x + 2$ נותן שורש $- 2) .$

שורשים, ציר וקדקוד ממכפלה

שלב 1 מתוך 3

y = (x - 1) (x - 5)

מהם השורשים?

שורשים, ציר וקדקוד מייצוג מכפלה

שלב 1 מתוך 3

נתונה

y = - (x - 1) (x - 5)

. מצאו שורשים, ציר סימטרייה, קדקוד ותחום חיוביות.

מה הפעולה הראשונה בפתרון של "שורשים, ציר וקדקוד מייצוג מכפלה"?

בניית ייצוג מכפלה מנתונים

שלב 1 מתוך 3

לפרבולה שורשים

x = - 2

x = 3

, והיא עוברת דרך

(0, - 6)

. מצאו את משוואתה.

מה הפעולה הראשונה בפתרון של "בניית ייצוג מכפלה מנתונים"?

אסטרטגיית עבודה

שלבי החלטה

מאפסים

כל גורם יכול להיות אפס.

כל פתרון הוא חיתוך עם ציר $x$ .

מוצאים אמצע

הציר הוא ממוצע השורשים.

הקדקוד נמצא על הציר.

מציבים

מציבים את הציר כדי לקבל $y$ .

בודקים את החיתוך עם $y$ ב- $x = 0$ .

מחברים ייצוגים

בייצוג מכפלה השורשים גלויים, אז למצוא ציר וקדקוד דורש רק מיצוע ושני הצבות. אל תפתחו את הסוגריים אם אתם לא חייבים.

מצפן ייצוגים למודול

$math/030-equation$

מה הביטוי מגלה

זהו את המקדמים, הסוגריים או הגורמים שמופיעים בביטוי.

שאלו איזה מידע גלוי מיד לפני שמבצעים חישוב ארוך.

$math/048-graphs$

מה הגרף מאשר

בדקו קדקוד, ציר סימטרייה, כיוון פתיחה וחיתוכים.

הגרף עוזר לזהות אם תשובה מספרית סבירה.

מה חייבים לנמק

כתבו מאיזה ייצוג קראתם כל פרט.

אם עברתם ייצוג, הסבירו למה המעבר קיצר את הפתרון.

תרגול מודרך

התרגילים מתחילים בקריאת שורשים מהגורמים, עוברים לחישוב ציר וקדקוד, ומסיימים בבניית פונקציה משורשים ונקודה.

שורשים וציר

בסיסי

מצאו את השורשים ואת ציר הסימטרייה של $y = (x + 2) (x - 4)$ .

y = (x + 2) (x - 4)

קדקוד ממכפלה

בינוני

מצאו את קדקוד $y = (x + 1) (x - 3)$ .

y = (x + 1) (x - 3)

תחומי סימן מתוך מכפלה

מאתגר

מצאו באילו תחומים הפונקציה $y = - (x + 2) (x - 4)$ חיובית.

y = - (x + 2) (x - 4)

משימת שליטה: קדקוד מתוך שורשים

מאתגר

מצאו שורשים, ציר סימטרייה וקדקוד עבור $y = (x + 1) (x - 5)$ .

y = (x + 1) (x - 5)

סימני זיהוי ודוגמאות

$(x - 2) (x + 6)$

שורשים $2, - 6$ , ציר $x = - 2$ .

$- 2 (x - 1) (x - 4)$

שורשים $1, 4$ , פרבולה פונה למטה.

שורש כפול

$(x - 3)^{2}$ נותן שורש אחד $3$ ונגיעה בציר.

תחומי סימן

אחרי שמוצאים שורשים אפשר לקרוא חיוביות ושליליות.

מרפאת טעויות מתקדמת

ייצוג כמכפלה מפתה לעצור בשורשים, אבל חקירה מלאה דורשת גם ציר, קדקוד וסימן.

השורשים הם הערכים שמאפסים כל גורם.
ערך ה- $x$ של הקדקוד הוא האמצע בין השורשים.
המקדם שלפני המכפלה משפיע על כיוון הפתיחה ועל תחומי הסימן.

טעות נפוצה: השורש אינו המספר כמו שהוא בגורם

בגורם $x - 5$ השורש הוא $5$ , ובגורם $x + 2$ השורש הוא $- 2$ . מאפסים, לא מעתיקים.

כתבו כל גורם שווה אפס.
פתרו כל משוואה קצרה.
סמנו נקודות על ציר $x$ .

שאלה לחשיבה

למה הציר הוא אמצע בין השורשים?

השורשים הם שתי נקודות על אותו גובה $y = 0$ . בפרבולה נקודות באותו גובה סימטריות סביב הציר, ולכן הציר נמצא באמצע.

שאלה לחשיבה

מה קורה אם יש רק שורש אחד במכפלה?

אם הביטוי כולל ריבוע של גורם, כמו $(x - 3)^{2}$ , הפרבולה נוגעת בציר בנקודה אחת והקדקוד נמצא שם.

ייצוג כמכפלה מחבר בין אלגברה של פירוק לגורמים לבין קריאה גרפית של חיתוכים ותחומי סימן.

בדיקת שליטה לפני החידון

לפני החידון בדקו שאתם יודעים לקרוא שורשים מגורמים, למצוא ציר וקדקוד בלי לפתוח סוגריים, ולבנות פונקציה משורשים ונקודה נוספת.

אני יודע לזהות את המידע הגלוי בייצוג הנתון.
אני יכול להסביר את הקשר בין הביטוי לגרף במילים.
אני בודק תשובה באמצעות הצבה או סקיצה.
אני יודע להשתמש בסימוני המודול כדי לעקוב אחרי פתרון מדויק.

קוראים נקודות אפס וציר סימטרייה

מאתגר

נתונה $y = (x - 2) (x - 8)$ . מצאו את נקודות האפס ואת ציר הסימטרייה.

y = (x - 2) (x - 8)

שאלה 1 מתוך 14

מהו ציר הסימטרייה אם השורשים הם $2$ ו- $6$ ?

המשך קריאה

עוד עמודים שיכולים לחבר את מה שלמדתם עכשיו

בפרקייצוג סטנדרטי

y = a x^{2} + b x + c

בפרקמעבר בין ייצוגים בדוגמאות מספריות קשורמשוואה מתוך גרף קשורפתרון גרפי של מערכת

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של ייצוג כמכפלה ונקודות אפס כבר מוכן.

פתחו תרגול

ייצוג כמכפלה ונקודות אפס

מה נבנה במודול?

איך לומדים את המודול הזה

למה מכפלה מגלה שורשים?

אפס של מכפלה

קריאת מידע מהירה

מפת עובדות שחייבים לשלוט בה

שורשים

ציר

קדקוד

חיתוך עם y

דוגמה פתורה

שורשים, ציר וקדקוד ממכפלה

שורשים, ציר וקדקוד מייצוג מכפלה

בניית ייצוג מכפלה מנתונים

אסטרטגיית עבודה

שלבי החלטה

מאפסים

מוצאים אמצע

מציבים

מחברים ייצוגים

מצפן ייצוגים למודול

מה הביטוי מגלה

מה הגרף מאשר

מה חייבים לנמק

תרגול מודרך

שורשים וציר

קדקוד ממכפלה

תחומי סימן מתוך מכפלה

משימת שליטה: קדקוד מתוך שורשים

סימני זיהוי ודוגמאות

(x−2)(x+6)

−2(x−1)(x−4)

שורש כפול

תחומי סימן

מרפאת טעויות מתקדמת

טעות נפוצה: השורש אינו המספר כמו שהוא בגורם

שאלה לחשיבה

שאלה לחשיבה

העמקה קצרה

בדיקת שליטה לפני החידון

קוראים נקודות אפס וציר סימטרייה

מהו ציר הסימטרייה אם השורשים הם 2 ו-6?