הזזה אנכית ו- $y = a x^{2} + c$

הקבוע מזיז את הפרבולה, והמקדם קובע את הפתיחה והרוחב

מה נבנה במודול?

אחרי שאנחנו מכירים את

y = x^{2}

, נראה מה קורה כשמוסיפים מספר. במודול הזה נעבוד ב-

y = x^{2} + k

ובהרחבה ל-

y = a x^{2} + c

, ונבחין מה הקבוע משנה ומה לא.

השפעת הקבוע

נבין ש-

k

או

c

מוסיפים אותו מספר לכל ערכי

y

קדקוד חדש

נזהה שהקדקוד של

y = x^{2} + k

וגם של

y = a x^{2} + c

הוא על ציר

y

שורשים לפי גובה

נבדוק מתי יש שתי נקודות אפס, נקודה אחת או אין נקודות אפס לפי

a

והקבוע.

איך לומדים את המודול הזה

המודול "הזזה אנכית ו- $y = a x^{2} + c$ " נלמד בשלושה סיבובים: קודם מזהים מה כתוב בביטוי, אחר כך קוראים את אותה עובדה בגרף, ולבסוף כותבים נימוק קצר שמחבר ביניהם.

סמנו את הייצוג הנתון: ביטוי, טבלה, גרף או תיאור מילולי.
כתבו מה אפשר לדעת בלי חישוב ומה דורש הצבה או פירוק.
בדקו כל תשובה בעזרת נקודת הצבה אחת או סקיצה קטנה.

תשובה טובה בהזזה אנכית כוללת גם את הקדקוד החדש וגם את הסבר התזוזה: לאן ולמה הפרבולה זזה.

$math/020-math book$ מה עושה $k$ לגרף?

בפונקציה $y = x^{2} + k$ , הערך $k$ נוסף לכל הפלטים. בצורה הרחבה יותר $y = a x^{2} + c$ , הקבוע $c$ מזיז את הפרבולה למעלה או למטה, והמקדם $a$ קובע אם היא נפתחת למעלה או למטה ועד כמה היא צרה או רחבה. בשתי הצורות ציר הסימטרייה נשאר $x = 0$ .

הזזה אנכית שומרת על צורה

הפונקציה $y = x^{2} - 4$ היא $y = x^{2}$ שהוזזה ארבע יחידות למטה. הפונקציה $y = 2 x^{2} - 8$ משלבת מתיחה אנכית והזזה למטה.

ב- $y = x^{2} - 4$ הקדקוד עובר מ- $(0, 0)$ ל- $(0, - 4)$ . ב- $y = a x^{2} + c$ הקדקוד הוא $(0, c)$ , וציר הסימטרייה עדיין $x = 0$ . כדי למצוא נקודות אפס פותרים $a x^{2} + c = 0$ .

y = a x^{2} + c

מספר נקודות האפס נקבע לפי היחס בין $a$ לבין $c$ : למשל $a > 0, c < 0$ נותן שתי נקודות אפס, ואילו $a > 0, c > 0$ לא נותן חיתוך עם ציר $x$ .

הזזה אנכית עם מקדם

y = a x^{2} + c

הזזות אנכיות עם ובלי מתיחה

קריאת מידע מהירה

שאלה	תשובה	איך יודעים
קדקוד	$(0, k)$ או $(0, c)$	הנקודה $(0, 0)$ זזה אנכית
ציר סימטרייה	$x = 0$	לא הייתה הזזה ימינה או שמאלה
חיתוך עם $y$	$(0, k)$ או $(0, c)$	מציבים $x = 0$
שורשים	פותרים $x^{2} + k = 0$ או $a x^{2} + c = 0$	תלוי בסימנים של $a$ והקבוע

מפת עובדות שחייבים לשלוט בה

קדקוד

$(0, k)$ או $(0, c)$ : הנקודה $(0, 0)$ זזה אנכית

ציר סימטרייה

$x = 0$ : לא הייתה הזזה ימינה או שמאלה

$math/030-equation$

חיתוך עם $y$

$(0, k)$ או $(0, c)$ : מציבים $x = 0$

שורשים

פותרים $a x^{2} + c = 0$ : תלוי בסימנים של $a$ והקבוע

דוגמה פתורה

הדוגמה מסבירה למה הקבוע $c$ מזיז את כל הפרבולה למעלה או למטה. שימו לב שציר הסימטרייה לא משתנה - רק גובה הקדקוד.

קריאת תכונות של $y = x^{2} - 4$

שלב 1 מתוך 3

y = x^{2} - 4

מהו הקדקוד?

חקירת $y = 3 x^{2} - 12$

שלב 1 מתוך 3

מצאו קדקוד, ציר סימטרייה, נקודות אפס ותחומי חיוביות עבור

y = 3 x^{2} - 12

מה הפעולה הראשונה בפתרון של "חקירת $y = 3 x^{2} - 12$ "?

פתיחה כלפי מטה והזזה למעלה

שלב 1 מתוך 3

נתונה

y = - x^{2} + 9

. מצאו את הקדקוד, נקודות האפס ותחום החיוביות.

מה הפעולה הראשונה בפתרון של "פתיחה כלפי מטה והזזה למעלה"?

אסטרטגיית עבודה

שלבי החלטה

קוראים את $k$

$k > 0$ : הזזה למעלה.

$k < 0$ : הזזה למטה.

ממקמים קדקוד

הקדקוד הוא $(0, k)$ .

ציר הסימטרייה נשאר $x = 0$ .

$math/030-equation$

בודקים חיתוכים

חיתוך עם $y$ : מציבים $x = 0$ .

חיתוך עם $x$ : פותרים $x^{2} + k = 0$ .

מחברים ייצוגים

בהזזה אנכית כדאי להחליף ייצוג בין הביטוי לבין סקיצה: הסקיצה מראה אם הפרבולה כולה מעל הציר, נוגעת בו או חוצה אותו, ובהתאם בוחרים את הצעד הבא.

מצפן ייצוגים למודול

$math/030-equation$

מה הביטוי מגלה

זהו את המקדמים, הסוגריים או הגורמים שמופיעים בביטוי.

שאלו איזה מידע גלוי מיד לפני שמבצעים חישוב ארוך.

$math/048-graphs$

מה הגרף מאשר

בדקו קדקוד, ציר סימטרייה, כיוון פתיחה וחיתוכים.

הגרף עוזר לזהות אם תשובה מספרית סבירה.

מה חייבים לנמק

כתבו מאיזה ייצוג קראתם כל פרט.

אם עברתם ייצוג, הסבירו למה המעבר קיצר את הפתרון.

תרגול מודרך

התרגילים מתחילים בקריאת קדקוד מהזזה, עוברים לבחירת $k$ שמספק מספר נקודות אפס מבוקש, ומסיימים בחקירה מלאה של $y = a x^{2} + c$ .

פרבולה מעל הציר

בסיסי

תארו את $y = x^{2} + 5$ : קדקוד, ציר סימטרייה ונקודות אפס.

y = x^{2} + 5

פרבולה נמוכה

בינוני

מצאו את נקודות האפס של $y = x^{2} - 9$ .

x^{2} - 9 = 0

בחירת $k$ לפי מספר שורשים

מאתגר

בחרו ערך של $k$ כך שלפונקציה $y = x^{2} + k$ יהיו שתי נקודות אפס. מצאו גם את נקודות האפס בדוגמה שבחרתם.

y = x^{2} + k

משימת שליטה: סיווג לפי $k$

מאתגר

סווגו את מספר נקודות האפס של $y = x^{2} + k$ עבור $k = - 9, 0, 5$ .

y = x^{2} + k

$math/030-equation$ גשר מפורש למפרט: $y = a x^{2} + c$

במפרט כיתה ט מופיעה גם הצורה $y = a x^{2} + c$ . זו אינה משפחה חדשה אלא שילוב של שני רעיונות: $a$ מותח, מכווץ או משקף, ו- $c$ מזיז את כל הפרבולה למעלה או למטה.

ב- $y = 3 x^{2} - 12$ , הקדקוד הוא $(0, - 12)$ והפרבולה פתוחה למעלה.
נקודות האפס מתקבלות מ- $3 x^{2} - 12 = 0$ , ולכן $x = \pm 2$ .
ב- $y = - 2 x^{2} + 8$ , הקדקוד הוא $(0, 8)$ והפרבולה פתוחה למטה.

משימת מפרט: חקירת $y = a x^{2} + c$

מאתגר

חקרו את $y = 3 x^{2} - 12$ : מצאו קדקוד, ציר סימטרייה, חיתוך עם ציר $y$ , נקודות אפס ותחומי חיוביות.

y = 3 x^{2} - 12

סימני זיהוי ודוגמאות

$y = x^{2} + 2$

הקדקוד $(0, 2)$ , אין נקודות אפס.

$y = x^{2} - 1$

הקדקוד $(0, - 1)$ , השורשים $\pm 1$ .

$y = x^{2}$

זה המקרה $k = 0$ , קדקוד בראשית.

אותה צורה

הזזה אנכית אינה משנה את רוחב הפרבולה.

מרפאת טעויות מתקדמת

הזזה אנכית נראית פשוטה, אבל היא משנה את השאלה החשובה ביותר: האם הגרף בכלל פוגש את ציר $x$ .

$k$ הוא גובה הקדקוד, לא הזזה ימינה או שמאלה.
מספר נקודות האפס נקבע לפי מיקום הקדקוד ביחס לציר $x$ .
חיתוך עם ציר $y$ אינו בהכרח נקודת אפס.

טעות נפוצה: $k$ אינו מזיז ימינה

בביטוי $x^{2} + k$ , המספר נוסף אחרי הריבוע ולכן הוא משנה את ערכי $y$ . כדי להזיז ימינה או שמאלה צריך לשנות את הביטוי שבתוך הסוגריים עם $x$ .

אם המספר מחוץ לריבוע, זו הזזה אנכית.
אם המספר בתוך סוגריים עם $x$ , זו הזזה אופקית.
בדקו תמיד את הקדקוד.

שאלה לחשיבה

למה $y = x^{2} + 3$ אינה חותכת את ציר $x$ ?

כי $x^{2}$ תמיד לא שלילי. אחרי שמוסיפים 3, הערך הקטן ביותר הוא 3, ולכן הגרף כולו מעל ציר $x$ .

שאלה לחשיבה

מדוע ציר הסימטרייה נשאר $x = 0$ בהזזה אנכית?

כל נקודה בפרבולה עולה או יורדת באותו מספר יחידות. המרחקים האופקיים בין נקודות סימטריות אינם משתנים, ולכן הציר האנכי נשאר באותו מקום.

הזזה אנכית מופיעה כאשר מוסיפים גובה התחלתי או קבוע בסיס למודל. למשל מסלול שמתחיל מגובה 4 מטרים יכול להיות מתואר בעזרת פרבולה שמוזזת כלפי מעלה.

בדיקת שליטה לפני החידון

לפני החידון בדקו שאתם יודעים לקרוא קדקוד מ- $y = x^{2} + k$ , לזהות כמה נקודות אפס יש לפי הסימן של $k$ , ולחקור את הצורה הרחבה $y = a x^{2} + c$ .

אני יודע לזהות את המידע הגלוי בייצוג הנתון.
אני יכול להסביר את הקשר בין הביטוי לגרף במילים.
אני בודק תשובה באמצעות הצבה או סקיצה.
אני יודע להשתמש בסימוני המודול כדי לעקוב אחרי פתרון מדויק.

מזהים הזזה אנכית מהקדקוד

מאתגר

הפרבולה $y = x^{2} + c$ עוברת דרך הקדקוד $(0, - 6)$ . מצאו את $c$ וקבעו אם הגרף הוזז למעלה או למטה.

y = x^{2} + c

שאלה 1 מתוך 14

מהן נקודות האפס של $y = 2 x^{2} - 18$ ?

המשך קריאה

עוד עמודים שיכולים לחבר את מה שלמדתם עכשיו

בפרקסימטרייה, קדקוד וציר סימטרייה בפרקהזזה אופקית

y = (x - p)^{2}

קשורסימן השיפוע וישרים מקבילים קשורפתרון גרפי של מערכת

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של הזזה אנכית ו-{m}y=ax^2+c{/m} כבר מוכן.

פתחו תרגול

הזזה אנכית ו-y=ax2+c

מה נבנה במודול?

איך לומדים את המודול הזה

מה עושה k לגרף?

הזזה אנכית שומרת על צורה

קריאת מידע מהירה

מפת עובדות שחייבים לשלוט בה

קדקוד

ציר סימטרייה

חיתוך עם y

שורשים

דוגמה פתורה

קריאת תכונות של y=x2−4

חקירת y=3x2−12

פתיחה כלפי מטה והזזה למעלה

אסטרטגיית עבודה

שלבי החלטה

קוראים את k

ממקמים קדקוד

בודקים חיתוכים

מחברים ייצוגים

מצפן ייצוגים למודול

מה הביטוי מגלה

מה הגרף מאשר

מה חייבים לנמק

תרגול מודרך

פרבולה מעל הציר

פרבולה נמוכה

בחירת k לפי מספר שורשים

משימת שליטה: סיווג לפי k

גשר מפורש למפרט: y=ax2+c

משימת מפרט: חקירת y=ax2+c

סימני זיהוי ודוגמאות

y=x2+2

y=x2−1

y=x2

אותה צורה

מרפאת טעויות מתקדמת

טעות נפוצה: k אינו מזיז ימינה

שאלה לחשיבה

שאלה לחשיבה

העמקה קצרה

בדיקת שליטה לפני החידון

מזהים הזזה אנכית מהקדקוד

מהן נקודות האפס של y=2x2−18?

הזזה אנכית ו-{m}y=ax^2+c{/m}

עוד עמודים שיכולים לחבר את מה שלמדתם עכשיו

מעבר לדף התרגול של המודול

הזזה אנכית ו- $y = a x^{2} + c$

$math/020-math book$ מה עושה $k$ לגרף?

חיתוך עם $y$

קריאת תכונות של $y = x^{2} - 4$

חקירת $y = 3 x^{2} - 12$

קוראים את $k$

בחירת $k$ לפי מספר שורשים

משימת שליטה: סיווג לפי $k$

$math/030-equation$ גשר מפורש למפרט: $y = a x^{2} + c$

משימת מפרט: חקירת $y = a x^{2} + c$

$y = x^{2} + 2$

$y = x^{2} - 1$

$y = x^{2}$

טעות נפוצה: $k$ אינו מזיז ימינה

מהן נקודות האפס של $y = 2 x^{2} - 18$ ?