תחומי חיוביות ושליליות

חיוביות היא מיקום מעל הציר

כאשר $f(x)>0$, הגרף נמצא מעל ציר $x$. כאשר $f(x)<0$, הגרף נמצא מתחת לציר. השורשים הם המקומות שבהם הגרף עובר דרך הציר או נוגע בו, ולכן הם גבולות טבעיים של התחומים.

מפת עובדות שחייבים לשלוט בה

שורשים

$1,4$: מאפסים כל גורם

כיוון פתיחה

למעלה: המקדם של $x^2$ חיובי

חיוביות

$x<1$ או $x>4$: מחוץ לשורשים

שליליות

$1<x<4$: בין השורשים

דוגמה פתורה

הדוגמה משתמשת בסקיצה מהירה כדי להחליט מתי הפונקציה חיובית. שימו לב שלפני שמסיקים תחום, חייבים לדעת לאן הפרבולה נפתחת, אחרת התחומים מתהפכים.

אסטרטגיית עבודה

שלבי החלטה

שורשים

פותרים $f(x)=0$.

מסמנים על ציר $x$.

כיוון

$a>0$: חיובי מחוץ לשורשים.

$a<0$: חיובי בין השורשים.

קצוות

בסימן חמור לא כוללים שורשים.

בסימן עם שוויון כוללים אותם.

מחברים ייצוגים

בתחומי סימן, סקיצה קצרה של הפרבולה מבדילה מיד בין "חיובי מחוץ לשורשים" לבין "חיובי בין השורשים". בלי הסקיצה, התשובה כמעט תמיד מתהפכת.

מצפן ייצוגים למודול

מה הביטוי מגלה

זהו את המקדמים, הסוגריים או הגורמים שמופיעים בביטוי.

שאלו איזה מידע גלוי מיד לפני שמבצעים חישוב ארוך.

מה הגרף מאשר

בדקו קדקוד, ציר סימטרייה, כיוון פתיחה וחיתוכים.

הגרף עוזר לזהות אם תשובה מספרית סבירה.

מה חייבים לנמק

כתבו מאיזה ייצוג קראתם כל פרט.

אם עברתם ייצוג, הסבירו למה המעבר קיצר את הפתרון.

תרגול מודרך

התרגילים מתחילים בקריאת תחומי סימן מצורת מכפלה, עוברים לפרבולות פתוחות למטה, ומסיימים בטבלת סימנים מלאה ובהבחנה בין סימן חמור לסימן מקיל.

פרבולה פונה למעלה

בסיסי

מצאו את תחומי החיוביות של $f(x)=(x+2)(x-3)$.

$$f(x)=(x+2)(x-3)$$

רמז (1/2)

פתרו את התרגיל

פרבולה פונה למטה

בינוני

מצאו איפה $g(x)=-(x-1)(x-5)$ חיובית.

$$g(x)=-(x-1)(x-5)$$

רמז (1/2)

פתרו את התרגיל

תחום אי-חיוביות מתוך גרף

מאתגר

קבעו עבור אילו ערכי $x$ הפונקציה $y=(x-2)(x+5)$ אינה חיובית, כלומר נמצאת על ציר $x$ או מתחתיו.

$$(x-2)(x+5)\le 0$$

רמז (1/2)

פתרו את התרגיל

משימת שליטה: טבלת סימנים מלאה

מאתגר

בנו טבלת סימנים עבור $y=-2(x-1)(x+3)$ וקבעו תחומי חיוביות ושליליות.

$$y=-2(x-1)(x+3)$$

רמז (1/2)

פתרו את התרגיל

העמקה קצרה

לחץ להרחבה למתקדמים

↓

תחומי חיוביות ושליליות הם הבסיס לפרק הבא, שבו נשתמש באותה קריאת גרף כדי לפתור אי-שוויונות, חיתוכים עם ישרים ושאלות יישומיות. כאן המטרה היא לתאר איפה הפונקציה מעל ציר $x$, מתחתיו או עליו.

קובעים סימן לפי שורשים וכיוון פתיחה

מאתגר

הפרבולה $y=(x+1)(x-5)$ פונה למעלה. באילו תחומים היא שלילית?

$$(x+1)(x-5)<0$$

רמז (1/2)

הצג פתרון

שאלה 1 מתוך 14

איזה מידע חייבים לדעת לפני קביעת תחומי סימן?

א

רק ערך מקסימום

ב

רק חיתוך עם ציר $y$

ג

רק שם המשתנה

ד

שורשים וכיוון פתיחה

פוסטר סיכום

תחומי חיוביות ושליליות

הפונקציה הריבועית

למדו תחומי חיוביות ושליליות במתמטיקה לכיתה ט׳: פרבולה, קדקוד, סימטרייה, ייצוגים ותחומי סימן. שיעור אינטראקטיבי עם הסברים, דוגמאות, חידון ותרגול למבחן.