הפונקציה הקווית - חזרה וגשר לפרק 5

Q: שיפוע - מה זה אומר?

השיפוע m מגדיר כמה y משתנה כשמזיזים את x ביחידה אחת. אם m=2, כשנוסיף 1 ל-x, הערך של y יגדל ב-2. אם m=-3, הוא יקטן ב-3. ניסוח מדויק: m = \frac = \frac. השיפוע הוא מספר קבוע לאורך כל הישר. זה מה שמבדיל פונקציה קווית מפרבולה - בפרבולה השיפוע משתנה בכל נקודה.

Q: מה הופך פונקציה לקווית ולא ריבועית?

פונקציה קווית לא מכילה x^2 (או חזקה גבוהה יותר). השיפוע שלה קבוע לכל ערך x. גרפה הוא קו ישר, ולכן כל שני ערכים בטבלה מייצגים אותו שיפוע.

Q: העמקה: ישר עם שיפוע משתנה - מהו?

הנגזרת של y=mx+b היא m - קבוע. הנגזרת של y=ax^2+bx+c היא 2ax+b - תלוי ב-x. זה ההבדל העמוק: ישר הוא הפונקציה היחידה שקצב השינוי שלה אינו תלוי במיקום.

לפני שחוקרים חיתוך פרבולה וישר, מחזקים את השפה הקווית

מה נחזור ונבנה?

בפרק 5 נמצא נקודות שבהן פרבולה ישר נפגשים. כדי לעשות זאת צריך לנסח ישר במהירות. מודול זה חוזר על השפה הקווית: שיפוע, חיתוכים, כתיבת משוואה, ומה ההבדל הגרפי בין ישר לפרבולה.

שיפוע וחיתוכים

נקרא

m

ו-

b

מהגרף ומהמשוואה.

כתיבת משוואה

נכתוב ישר מנקודה ושיפוע, ומשתי נקודות.

פרבולה מול ישר

נשווה ויזואלית ואלגברית בין שני סוגי הפונקציות.

שיפוע וצורת ישר

הפונקציה הקווית נכתבת $y = m x + b$ , כאשר $m$ הוא השיפוע ו- $b$ הוא חיתוך הישר עם ציר $y$ . שיפוע חיובי פירושו שהישר עולה משמאל לימין, שיפוע שלילי פירושו שהישר יורד, ושיפוע אפס פירושו ישר אופקי.

שיפוע - מה זה אומר?

השיפוע $m$ מגדיר כמה $y$ משתנה כשמזיזים את $x$ ביחידה אחת.

אם $m = 2$ , כשנוסיף 1 ל- $x$ , הערך של $y$ יגדל ב-2. אם $m = - 3$ , הוא יקטן ב-3. ניסוח מדויק: $m = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ .

m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

השיפוע הוא מספר קבוע לאורך כל הישר. זה מה שמבדיל פונקציה קווית מפרבולה - בפרבולה השיפוע משתנה בכל נקודה.

קריאת מידע מהמשוואה $y = m x + b$

מידע	איך קוראים	דוגמה מ- $y = 3 x - 5$
שיפוע	המקדם של $x$	$m = 3$
חיתוך עם ציר $y$	האיבר החופשי $b$	$(0, - 5)$
חיתוך עם ציר $x$	מציבים $y = 0$ ופותרים	$0 = 3 x - 5 \Rightarrow x = \frac{5}{3}$
כיוון	סימן $m$	חיובי, הישר עולה

ישר $y = 3 x - 5$ : שיפוע וחיתוכים

$math/030-equation$ כתיבת משוואת ישר

בפרק 5 נצטרך לנסח משוואת ישר כדי לחפש חיתוכים עם פרבולה. יש שתי מצבים נפוצים: נתון שיפוע ונקודה אחת, או נתונות שתי נקודות.

דוגמה: ישר דרך נקודה בשיפוע נתון

שלב 1 מתוך 3

כיתבו משוואת ישר שעובר דרך

(1, 4)

ושיפועו

m = 2

מה מציבים בצורה הנקודתית-שיפועית?

דוגמה: ישר דרך שתי נקודות

שלב 1 מתוך 3

כיתבו משוואת ישר דרך

(0, 3)

ו-

(2, - 1)

מהו השיפוע?

$math/032-axis$ מציאת חיתוך ישר עם ציר

לעתים קרובות שאלות בפרק 5 ידרשו למצוא היכן ישר חוצה ציר. כלל פשוט: חיתוך עם ציר $x$ - מציבים $y = 0$ ; חיתוך עם ציר $y$ - מציבים $x = 0$ .

כלל חיתוכים עם הצירים

$math/032-axis$

חיתוך עם ציר $x$

מציבים $y = 0$ ופותרים. לדוגמה: $0 = 3 x - 6$ נותן $x = 2$ .

$math/032-axis$

חיתוך עם ציר $y$

מציבים $x = 0$ . לדוגמה: $y = 3 \cdot 0 - 6 = - 6$ .

חיתוך של שני ישרים

משוים את שני הביטויים ופותרים. לדוגמה: $2 x + 1 = x - 3 \Rightarrow x = - 4$ .

בדיקת תשובה

מציבים ב- $x$ שמצאנו בשתי המשוואות ומוודאים שמקבלים $y$ שווה.

מציאת חיתוך שני ישרים

בינוני

מצאו את נקודת החיתוך בין $y = 2 x + 1$ ל- $y = - x + 7$ .

2 x + 1 = - x + 7

$math/048-graphs$ השוואה ויזואלית: פרבולה מול ישר

פרבולה וישר הן שתי פונקציות שונות לחלוטין. הישר גדל (או יורד) בקצב קבוע, ואילו הפרבולה גדלה בקצב שמשתנה. ההבדל הזה הוא הסיבה שבפרק 5 חיתוך ביניהם עשוי לתת 0, 1 או 2 פתרונות.

פרבולה מול ישר

ישר ופרבולה על אותו גרף

ההבדל המרכזי לפרק 5

בפרק 5 נחפש נקודות שבהן $y_{ישר} = y_{פרבולה}$ . כלומר נציב את ביטוי הישר לתוך משוואת הפרבולה ונפתור משוואה ריבועית. לפתרון כזה נדרש לנסח את הישר מראש, לכן חזרה זו חיונית.

ישר שנגזר מהשאלה - נדרש לכתוב ממידע נתון.
מציבים לפרבולה ומקבלים משוואה ריבועית.
הפתרונות הם $x$ של נקודות החיתוך, ואז מחשבים $y$ .

תרגול מודרך

שלושה תרגילים: קריאת שיפוע וחיתוכים, כתיבת משוואת ישר, ובדיקת האם נקודה על ישר.

קריאת שיפוע וחיתוך

בסיסי

נתון הישר $y = - 4 x + 8$ . מהו שיפועו ומהן נקודות החיתוך עם הצירים?

y = - 4 x + 8

כתיבת ישר משתי נקודות

בינוני

כיתבו משוואת ישר דרך $(3, 1)$ ו- $(1, 5)$ .

m = \frac{5 - 1}{1 - 3}

האם נקודה שייכת לישר?

בסיסי

האם הנקודה $(2, - 3)$ נמצאת על הישר $y = 5 x - 13$ ?

y = 5 \cdot 2 - 13

טעויות נפוצות

כמה טעויות חוזרות בחישובי ישרים שמביאות לתשובות שגויות בשאלות חיתוך.

מרפאת טעויות

טעות: לחלק $Δ y$ ב- $Δ x$ בסדר הפוך. תיקון: תמיד $m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ עם אותו סדר נקודות בשתי השברים.
טעות: לסמן $b = y_{1}$ לנקודה $(x_{1}, y_{1})$ כשערך $x_{1} \neq = 0$ . תיקון: מציבים נקודה במשוואה ופותרים ל- $b$ .
טעות: לשכוח להציב $x$ אחרי שמצאנו חיתוך. תיקון: נקודת חיתוך היא $(x, y)$ - שני ערכים.
טעות: לערבב פרבולה עם ישר. תיקון: בפרבולה חייב להיות $x^{2}$ ; ישר הוא $y = m x + b$ בלבד.

שאלה לחשיבה

מה הופך פונקציה לקווית ולא ריבועית?

פונקציה קווית לא מכילה $x^{2}$ (או חזקה גבוהה יותר). השיפוע שלה קבוע לכל ערך $x$ . גרפה הוא קו ישר, ולכן כל שני ערכים בטבלה מייצגים אותו שיפוע.

שאלה לחשיבה

כמה נקודות חיתוך יכולים להיות בין ישר לפרבולה, ולמה?

אפשר 0, 1 או 2. הסיבה: מציאת חיתוך פירושה פתרון משוואה ריבועית. לפי הדיסקרימיננטה, יש שני פתרונות, פתרון אחד (משיק) או אין (ישר אינו עובר דרך הפרבולה).

הנגזרת של

y = m x + b

היא

m

- קבוע. הנגזרת של

y = a x^{2} + b x + c

היא

2 a x + b

- תלוי ב-

x

. זה ההבדל העמוק: ישר הוא הפונקציה היחידה שקצב השינוי שלה אינו תלוי במיקום.

בדיקת שליטה לפני החידון

לפני החידון ודאו שאתם יכולים לבצע את הפעולות הבאות.

לקרוא שיפוע וחיתוך עם ציר $y$ ממשוואה $y = m x + b$ .
לכתוב משוואת ישר כשנתון שיפוע ונקודה.
לכתוב משוואת ישר כשנתונות שתי נקודות.
לבדוק אם נקודה על ישר בהצבה.
להסביר מה מבדיל פונקציה קווית מפרבולה.

שאלה 1 מתוך 8

מה ההבדל המרכזי בין הגרף של $y = 2 x + 3$ לגרף של $y = 2 x^{2} + 3$ ?

המשך קריאה

עוד עמודים שיכולים לחבר את מה שלמדתם עכשיו

בפרקתחומי חיוביות ושליליות בפרקמעבר בין ייצוגים בדוגמאות מספריות קשורשלושת הייצוגים של פונקציה קווית קשורהייצוג הגרפי

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של הפונקציה הקווית - חזרה וגשר לפרק 5 כבר מוכן.

פתחו תרגול

הפונקציה הקווית - חזרה וגשר לפרק 5

מה נחזור ונבנה?

שיפוע וצורת ישר

שיפוע - מה זה אומר?

קריאת מידע מהמשוואה y=mx+b

כתיבת משוואת ישר

דוגמה: ישר דרך נקודה בשיפוע נתון

דוגמה: ישר דרך שתי נקודות

מציאת חיתוך ישר עם ציר

כלל חיתוכים עם הצירים

חיתוך עם ציר x

חיתוך עם ציר y

חיתוך של שני ישרים

בדיקת תשובה

מציאת חיתוך שני ישרים

השוואה ויזואלית: פרבולה מול ישר

פרבולה מול ישר

ההבדל המרכזי לפרק 5

תרגול מודרך

קריאת שיפוע וחיתוך

כתיבת ישר משתי נקודות

האם נקודה שייכת לישר?

טעויות נפוצות

מרפאת טעויות

שאלה לחשיבה

שאלה לחשיבה

העמקה: ישר עם שיפוע משתנה - מהו?

בדיקת שליטה לפני החידון

מה ההבדל המרכזי בין הגרף של y=2x+3 לגרף של y=2x2+3?