סיכום פרק 8

בניות, מקבילים וטרפז

מה הפרק בנה

הפרק חיבר בין שלושה עולמות: בנייה מדויקת בסרגל ומחוגה, הוכחות בעזרת מקבילים, ויישום התכונות בטרפזים. המטרה אינה לזכור רשימה, אלא לדעת איזו פעולה יוצרת איזה נימוק.

בנייה

העתקה, חצייה ואנכים יוצרים שוויונות וניצבות שאפשר להוכיח בעזרתם.

מקבילים

זוויות מתאימות, מתחלפות וחד-צדדיות הן שפת ההוכחה של ישרים מקבילים.

טרפז

בסיסים, גובה, שטח, שוקיים שוות ואלכסונים שווים מחברים חישוב והוכחה.

$math/016-drawing compass$

העתקות

אותו מפתח מחוגה או אותן קשתות שומרים על אורך או גודל זווית, ואז מאפשרים גם חיבור וחיסור של קטעים וזוויות.

חוצי קטע וזווית

חוצה קטע יוצר שני קטעים שווים. חוצה זווית יוצר שתי זוויות שוות.

$math/017-ruler$

אנכים ומקבילים

אנך מגדיר מרחק, שני אנכים לאותו ישר יכולים ליצור מקבילות, ובין מקבילים המרחק קבוע.

$math/034-pentagon$

טרפזים

בטרפז עובדים עם זוג יחיד של בסיסים מקבילים, גובה, שטח, ובמקרה שווה שוקיים גם זוויות בסיס, אלכסונים וציר סימטריה.

מפת החלטה לפרק

כאשר פוגשים שאלה חדשה, התחילו בזיהוי סוג הנתון. הנתון קובע את המשפט המתאים, והמשפט קובע את החישוב או ההוכחה.

איזה כלי מתאים?

כתוב ״חוצה״

שוויון

העתקה שומרת אורך או זווית.

חיבור וחיסור נעשים ברצף או בתוך גודל גדול.

חוצה קטע ← שני קטעים שווים.

חוצה זווית ← שתי זוויות שוות.

אם יש ביטויים, השוו ביניהם.

$math/017-ruler$

כתוב $⊥$

90 מעלות

ניצבות יוצרת זווית ישרה.

מרחק מנקודה לישר נמדד באנך.

אנך אמצעי נותן גם שוויון מרחקים.

כתוב $∥$

זוויות

מתאימות שוות.

מתחלפות שוות.

חד-צדדיות משלימות ל- $18 0^{\circ}$ .

בין מקבילים המרחק קבוע, ומקבילות עוברת בשרשרת.

$math/034-pentagon$

כתוב טרפז

בסיסים וגובה

בסיסים הם זוג הצלעות המקבילות היחיד בטרפז.

שטח: $\frac{( a + b ) h}{2}$ .

בשווה שוקיים: זוויות בסיס ואלכסונים שווים.

האנך האמצעי לבסיסים הוא ציר סימטריה.

משפטי מפתח

נתון	מסקנה	שימוש
חוצה זווית	שתי זוויות שוות	משוואות זוויות והוכחות
אנך	זווית $9 0^{\circ}$	מרחק, גובה וחישוב זוויות
מקבילים וחותך	מתאימות/מתחלפות שוות, חד-צדדיות משלימות	חישוב והוכחת מקבילות
מקבילים במישור	מרחק קבוע וטרנזיטיביות	גובה בין מקבילים ושרשרת הוכחה
טרפז שווה שוקיים	זוויות בסיס שוות, אלכסונים שווים וציר סימטריה	חישוב זוויות ואורכים

* במבחן, כתיבת המשפט הנכון חשובה כמו החישוב עצמו.

דוגמה מסכמת

הדוגמה הבאה מחברת מקבילים, טרפז וזוויות. המטרה היא לראות איך כמה משפטים עובדים יחד בשרשרת אחת.

טרפז שווה שוקיים עם זוויות

שלב 1 מתוך 4

בטרפז שווה שוקיים

A B C D

A B ∥ C D

. נתון

∠ A = 6 8^{\circ}

. מצאו את שלוש הזוויות האחרות.

בטרפז שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות.

∠ B = ∠ A = 6 8^{\circ}

בחירת משפט מתאים

בינוני

נתון $a ∥ b$ . שתי זוויות חד-צדדיות הן $4 x + 10$ ו- $2 x + 20$ . מצאו את $x$ .

4 x + 10 + 2 x + 20 = 180

שטח טרפז

בינוני

בסיסי טרפז הם $18$ ו- $10$ , וגובהו $7$ . חשבו שטח.

S = \frac{( 18 + 10 ) \cdot 7}{2}

בנייה וזוויות יחד

מאתגר

מעתיקים שתי זוויות סמוכות בגודל $4 2^{\circ}$ ו- $5 8^{\circ}$ , ואז משתמשים בזווית הכוללת כזווית מתאימה לבניית מקביל. מה גודל הזווית הכוללת, ומה המסקנה אם הזווית המתאימה השנייה שווה לה?

4 2^{\circ} + 5 8^{\circ}

סימטריה בטרפז שווה שוקיים

מאתגר

בטרפז שווה שוקיים $A B C D$ , הנקודות $M$ ו- $N$ הן אמצעי הבסיסים. מהו תפקיד הישר $M N$ , ואיזה נימוק זוויתי עדיין צריך לזכור ליד השוקיים?

M, N אמצעי בסיסים

שלוש הבחנות שמונעות טעויות

משפט מול משפט הפוך

אם נתונים מקבילים, מסיקים קשר זוויות. אם נתון קשר זוויות מתאים, אפשר להסיק מקבילות.

$math/039-measurement$ גובה מול שוק

גובה חייב להיות מאונך לבסיסים. שוק היא צלע של הטרפז ואינה תמיד גובה.

הגדרה מול תכונה

טרפז שווה שוקיים מוגדר על ידי שוקיים שוות. זוויות בסיס ואלכסונים שווים הם תכונות או משפטי זיהוי.

שאלה לחשיבה

למה הפרק התחיל בבניות לפני שעבר לטרפזים?

כי בניות מלמדות אותנו להפיק שוויונות וניצבות מתוך פעולה מדויקת. אותם סוגי נימוקים חוזרים אחר כך במקבילים ובטרפזים, כאשר צריך להצדיק כל צעד.

משחק חזרה לפרק

בחרו קטגוריה ורמת קושי. לפני כל תשובה נסו לזהות אם השאלה עוסקת בבנייה, בזוויות בין מקבילים, בשטח טרפז או בתכונת טרפז שווה שוקיים.

טוען סימולציה...

חידון סיום

החידון המסכם מערבב בין הנושאים. סמנו נתונים על דף, כתבו את המשפט המתאים, ורק אז חשבו.

שאלה 1 מתוך 20

מהו ציר הסימטריה בטרפז שווה שוקיים?

תרגול מתקדם

מוכנים למבחן המסכם המלא?

עברו לחידון המורחב של הפרק לתרגול מקיף עם 138 שאלות מכל נושאי הלימוד.

למבחן המסכם