העתקת קטע וזווית

סרגל, מחוגה ושמירה על מידה בלי למדוד במספרים

$math/016-drawing compass$ מה נלמד במודול

לומדים להעתיק קטע וזווית בעזרת סרגל ומחוגה, להבין למה הבנייה שומרת על אורך וגודל זווית, ולהשתמש בהעתקות כבסיס לבניות גאומטריות והוכחות.

קטע

להעתיק אורך של קטע לנקודת התחלה חדשה בלי להשתמש בסרגל מדידה.

זווית

להעתיק זווית נתונה על קרן חדשה בעזרת שתי קשתות ומרחק ביניהן.

נימוק

להסביר שכל נקודה על מעגל נמצאת באותו מרחק מן המרכז.

בדיקה

להבחין בין ציור שנראה דומה לבין בנייה שמובטחת על ידי נימוק.

קטע

להעתיק אורך של קטע לנקודת התחלה חדשה בלי להשתמש בסרגל מדידה.

זווית

להעתיק זווית נתונה על קרן חדשה בעזרת שתי קשתות ומרחק ביניהן.

נימוק

להסביר שכל נקודה על מעגל נמצאת באותו מרחק מן המרכז.

בדיקה

להבחין בין ציור שנראה דומה לבין בנייה שמובטחת על ידי נימוק.

$math/044-geometry$ הציור שמחזיק את הרעיון

לפני שמתחילים לכתוב הוכחה או לבצע חישוב, צריך לדעת מה האובייקטים בציור ומה היחסים ביניהם. השרטוט הבא אינו רק תמונה, הוא מפת נתונים.

העתקת קטע אל קרן חדשה

פותחים את המחוגה לאורך $A B$ , נועצים ב- $C$ , ומסמנים על הקרן נקודה $D$ . לכן $C D = A B$ .

תמונה הממחישה את העתקת קטע וזווית בעזרת סרגל ומחוגה — העתקה מדויקת שומרת את מפתח המחוגה, ולכן הקטע או הזווית החדשים שווים לנתון המקורי.

הרעיון המרכזי

המחוגה שומרת מרחק

העתקה גאומטרית אינה הערכה בעין. היא פעולה שבה אותו מפתח מחוגה עובר ממקום אחד למקום אחר.

כאשר המחוגה פתוחה לאורך $A B$ , כל סימון שהיא יוצרת ממרכז חדש נמצא בדיוק באותו מרחק מן המרכז החדש. לכן אם המרכז החדש הוא $C$ , הנקודה המסומנת $D$ מקיימת $C D = A B$ .

A B = C D

זהו הנימוק הראשון בפרק: לא מדדנו מספר, אלא העברנו מידה.

איך עובדים נכון

בגאומטריה של כיתה ט הדרך חשובה כמעט כמו התוצאה. בכל סעיף נסו לזהות נתון, פעולה, מסקנה ונימוק.

מפת עבודה

$math/017-ruler$

מעתיקים קטע

קרן חדשה

פותחים מחוגה לאורך הקטע הנתון.

נועצים בנקודת ההתחלה החדשה.

מסמנים חיתוך עם הקרן ומקבלים קטע שווה.

$math/029-angle$

מעתיקים זווית

שתי קשתות

מציירים קשת שחותכת את שתי קרני הזווית.

מציירים קשת זהה בנקודת ההעתקה.

מעבירים את המרחק בין חיתוכי הקשת ומחברים קרן חדשה.

בודקים נימוק

למה זה נכון

אותו רדיוס נותן מרחקים שווים.

אותו מפתח בין חיתוכי קשת משמר את פתיחת הזווית.

הבנייה אינה תלויה בגודל השרטוט על המסך.

נזהרים

לא לפי העין

אין לסמן נקודה רק כי היא נראית באותו מרחק.

אין לשנות את פתיחת המחוגה באמצע העתקה.

אין להשתמש במספר אם מטרת השאלה היא בנייה.

פעולה, כלי ונימוק

מטרה	פעולה	הנימוק שמחזיק את הבנייה
להעתיק קטע	אותו מפתח מחוגה מ- $A B$ אל נקודה חדשה	רדיוסים באותו מעגל שווים
להעתיק זווית	שתי קשתות ואותו מרחק בין נקודות חיתוך	נוצרת אותה צורה בסיסית סביב הקודקוד
לחבר או לחסר קטעים	מעתיקים את הקטעים ברצף על אותה קרן, או מסמנים קטע אחד מתוך קטע ארוך יותר	כל קטע שהועתק שומר על אורכו, ולכן האורך החדש הוא סכום או הפרש האורכים
לחבר או לחסר זוויות	מעתיקים זוויות סמוכות מאותו קודקוד, או מסמנים זווית פנימית בתוך זווית גדולה	כל זווית שהועתקה שומרת על גודלה, ולכן הזווית החדשה היא סכום או הפרש הזוויות
להוכיח שוויון קטעים	מסמנים איזה מפתח עבר לאן	אם שתי מידות נוצרו מאותו מפתח, הן שוות

* בבנייה טובה אפשר תמיד לענות על השאלה: איזו פעולה יצרה את השוויון?

בתוכנית הלימודים הבסיסית לא עוצרים בהעתקה אחת. משתמשים באותה פעולה גם כדי לחבר קטעים או זוויות, לחסר אותם, ואף לבנות כפולה טבעית כמו פעמיים אותו קטע. לכן חשוב לחשוב על העתקה כעל פעולה שמייצרת גדלים חדשים ומנומקים, לא רק כעל ציור חוזר.

דוגמאות פתורות

הדוגמאות אינן רק דרך להגיע לתשובה. שימו לב בכל שלב איזה נתון הופך לאיזה שוויון, זווית או מסקנה.

דוגמה 1 - העתקת קטע

שלב 1 מתוך 3

נתון קטע

A B = 6.5

ס״מ וקרן שמתחילה בנקודה

C

. לאחר העתקת הקטע התקבלה נקודה

D

. מה ידוע על

C D

איזו מידה עוברת למחוגה?

$math/029-angle$ דוגמה 2 - העתקת זווית

שלב 1 מתוך 3

העתיקו את הזווית

∠ A B C = 4 2^{\circ}

אל נקודה

P

. מה גודל הזווית החדשה?

הקשת הראשונה סביב $B$ יוצרת שתי נקודות חיתוך על קרני הזווית.

∠ A B C = 4 2^{\circ}

$math/017-ruler$ דוגמה 3 - חיבור קטעים על קרן

שלב 1 מתוך 3

נתונים שני קטעים

A B = 4

ס״מ ו-

E F = 3

ס״מ. בונים על קרן היוצאת מ-

C

נקודות

D

ו-

G

כך ש-

C D = A B

ו-

D G = E F

. מהו

C G

הקטע הראשון מועתק אל תחילת הקרן.

C D = A B = 4

$math/016-drawing compass$ כפל קטע וזווית במספר טבעי

כשצריך לבנות קטע שאורכו כפולה של קטע נתון - למשל, קטע באורך $3 A B$ - אין צורך במספרים. מעתיקים את הקטע שלוש פעמים ברצף על אותה קרן, כל העתקה מתחילה בנקודת הסיום של הקודמת. כל העתקה שומרת על האורך המקורי, ולכן הקטע הכולל שווה בדיוק ל- $n$ כפול הקטע המקורי. אותו עיקרון תקף לכפל זווית: מעתיקים את הזווית $n$ פעמים סמוכות מאותו קודקוד.

דוגמה - כפל קטע פי 3

שלב 1 מתוך 4

נתון קטע

A B

. בנו על קרן היוצאת מ-

P

קטע שאורכו

3 A B

מה מבטיח ש- $P Q = A B$ ?

בניית כפולה של קטע

בינוני

נתון קטע $M N = 5$ ס״מ. בונים על קרן קטע ששווה ל- $4 M N$ על ידי ארבע העתקות ברצף. מצאו את אורך הקטע הכולל.

M N = 5, 4 M N = ?

תרגול מודרך

עכשיו התור שלכם לעבוד. נסו לענות על ההנחיה בכל שלב לפני שאתם ממשיכים לפתרון המלא.

בדיקת העתקת קטע

בסיסי

המחוגה נפתחה לפי $A B = 8$ ס״מ וסימנה את $D$ על קרן היוצאת מ- $C$ . מצאו את $C D$ .

A B = 8

זווית שהועתקה

בסיסי

הזווית $∠ K L M$ בגודל $7 3^{\circ}$ הועתקה אל $∠ P QR$ . מצאו את $∠ P QR$ .

∠ K L M = 7 3^{\circ}

נימוק קצר

בינוני

תלמיד כתב: ״הזוויות שוות כי הן נראות אותו דבר״. תקנו את הנימוק.

∠1 = ∠2

חיבור זוויות

בינוני

מעתיקים מאותו קודקוד שתי זוויות סמוכות: הראשונה $3 5^{\circ}$ והשנייה $4 8^{\circ}$ . מה גודל הזווית הכוללת שנבנתה?

3 5^{\circ} + 4 8^{\circ}

חיסור קטעים על אותה קרן

בינוני

העתיקו קטע $A B = 9$ ס״מ אל קרן שמתחילה ב- $C$ , ולכן $C D = 9$ . אחר כך סימנו על אותו קטע נקודה $E$ כך ש- $C E = 4$ . מצאו את $E D$ .

C D = 9, C E = 4

טעות נפוצה ותיקון

הטעות

״העתקתי בערך אותו אורך, אז זה מספיק״.

התיקון

בבנייה מתמטית צריך פעולה שמבטיחה שוויון: אותו מפתח מחוגה יוצר רדיוסים שווים.

דוגמה: שאלו את עצמכם: האם השוויון נובע מכלי הבנייה, או רק מהמראה של השרטוט?

שאלה לחשיבה

למה אסור לסגור מעט את המחוגה אחרי שהעתקנו את $A B$ ולפני שסימנו את $D$ ?

כי כל הנימוק של $C D = A B$ תלוי באותו מפתח מחוגה. שינוי קטן במפתח יוצר קטע אחר, גם אם בעין קשה לראות את ההבדל.

שאלות כאלה הן המקום שבו עוברים מחישוב להבנה.

לפני החידון

בדקו שאתם יודעים להפוך מילים גאומטריות למשפטים מתמטיים. זה ההבדל בין תשובה קצרה לבין הוכחה טובה.

כתבו תמיד איזה קטע או איזו זווית הועתקו.
בחיבור או חיסור קטעים וזוויות, כתבו האם החלקים מונחים ברצף או בתוך גודל גדול.
סמנו נקודות חיתוך של קשתות בשם ברור.
בפתרון הוכחה, אל תכתבו ״ברור מהשרטוט״.

שאלה 1 מתוך 14

מה נכון לגבי קרן חדשה בהעתקת קטע?

המשך קריאה

עוד עמודים שיכולים לחבר את מה שלמדתם עכשיו

בפרקחציית קטע וחציית זווית בפרקבניות אנכים קשורזוויות מתאימות במקבילים קשורצלעות מתאימות ויחס דמיון

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של העתקת קטע וזווית כבר מוכן.

פתחו תרגול