בניות אנכים

אנך אמצעי, הורדת אנך והעלאת אנך

$math/017-ruler$ מה נלמד במודול

מכירים שלוש בניות אנך בסיסיות, מבינים את ההבדל ביניהן, ומשתמשים בניצבות כדי למדוד מרחק מנקודה לישר ולבנות הוכחות.

להבדיל

להבחין בין אנך אמצעי לקטע, אנך מנקודה מחוץ לישר ואנך בנקודה על ישר.

לבנות

לתאר את שלבי הבנייה בסרגל ומחוגה.

לנמק

להסביר מדוע האנך הוא המרחק הקצר מנקודה לישר.

להשתמש

לפתור חישובי זוויות ואורכים שנובעים מניצבות.

להבדיל

להבחין בין אנך אמצעי לקטע, אנך מנקודה מחוץ לישר ואנך בנקודה על ישר.

לבנות

לתאר את שלבי הבנייה בסרגל ומחוגה.

לנמק

להסביר מדוע האנך הוא המרחק הקצר מנקודה לישר.

להשתמש

לפתור חישובי זוויות ואורכים שנובעים מניצבות.

$math/044-geometry$ הציור שמחזיק את הרעיון

לפני שמתחילים לכתוב הוכחה או לבצע חישוב, צריך לדעת מה האובייקטים בציור ומה היחסים ביניהם. השרטוט הבא אינו רק תמונה, הוא מפת נתונים.

שלושה סוגי אנך

בכל המקרים המטרה היא זווית ישרה, אבל נקודת ההתחלה שונה.

תמונה הממחישה את שלוש בניות האנך: אנך אמצעי, הורדת אנך והעלאת אנך — בכל בניית אנך מתקבלת זווית של 90°, אבל נקודת ההתחלה של הבנייה שונה.

הרעיון המרכזי

אנך הוא כלי של מרחק

ניצבות אינה רק סימון של זווית ישרה. היא הדרך המדויקת למדוד מרחק בין נקודה לישר.

המרחק מנקודה לישר מוגדר כאורך הקטע המאונך מן הנקודה אל הישר. כל קטע משופע ארוך יותר, ולכן האנך הוא הבחירה הטבעית במדידה ובבנייה.

d (P, ℓ) = P H \Leftarrow P H ⊥ ℓ

כששאלה אומרת ״מרחק מנקודה לישר״, חפשו את האנך.

איך עובדים נכון

בגאומטריה של כיתה ט הדרך חשובה כמעט כמו התוצאה. בכל סעיף נסו לזהות נתון, פעולה, מסקנה ונימוק.

מפת עבודה

אנך אמצעי

לקטע נתון

מציירים קשתות שוות משני קצות הקטע.

מחברים את נקודות חיתוך הקשתות.

הישר גם חוצה את הקטע וגם מאונך לו.

הורדת אנך

מנקודה מחוץ לישר

יוצרים שתי נקודות על הישר במרחק שווה מן הנקודה.

בונים להן אנך אמצעי.

האנך עובר דרך הנקודה החיצונית.

העלאת אנך

מנקודה על ישר

מסמנים שתי נקודות במרחק שווה משני צדי הנקודה.

בונים אנך אמצעי לקטע שנוצר.

הישר החדש מאונך לישר המקורי בנקודה הנתונה.

בדיקה

90 מעלות

סמנו ריבוע קטן בזווית הישרה.

כתבו $⊥$ רק אם יש נימוק.

אל תסתמכו על כך שהשרטוט נראה אנכי.

איזו בנייה מתאימה?

המצב בשאלה	הבנייה המתאימה	מה מקבלים
יש קטע ורוצים לחצות אותו בזווית ישרה	אנך אמצעי	נקודת אמצע וזווית של $9 0^{\circ}$
יש נקודה מחוץ לישר	הורדת אנך	המרחק הקצר מהנקודה לישר
יש נקודה על הישר	העלאת אנך	ישר חדש היוצר זווית ישרה בנקודה

* אותה מילה, אנך, מופיעה בשלוש משימות שונות. ההקשר קובע את הבנייה.

דוגמאות פתורות

הדוגמאות אינן רק דרך להגיע לתשובה. שימו לב בכל שלב איזה נתון הופך לאיזה שוויון, זווית או מסקנה.

$math/039-measurement$ דוגמה 1 - מרחק מנקודה לישר

שלב 1 מתוך 2

מן הנקודה

P

הורד אנך אל הישר

ℓ

בנקודה

H

. אם

P H = 4.2

ס״מ, מה המרחק של

P

מן הישר?

איזה קטע מייצג מרחק?

$math/029-angle$ דוגמה 2 - חישוב זווית ליד אנך

שלב 1 מתוך 3

ישר

m

מאונך לישר

ℓ

. קרן נוספת מחלקת את הזווית הישרה לשתי זוויות:

2 x + 10

ו-

x + 20

. מצאו את

x

ניצבות יוצרת זווית ישרה.

(2 x + 10) + (x + 20) = 90

דוגמה 3 - העלאת אנך מנקודה על ישר

שלב 1 מתוך 3

נקודה

P

נמצאת על הישר

ℓ

. רוצים לבנות דרך

P

ישר המאונך ל-

ℓ

. הסבירו מדוע בניית אנך אמצעי לקטע מתאים עובדת.

מסמנים על $ℓ$ שתי נקודות $A$ ו- $B$ כך ש- $P A = P B$ . כך $P$ היא אמצע הקטע $A B$ .

P A = P B

תרגול מודרך

עכשיו התור שלכם לעבוד. נסו לענות על ההנחיה בכל שלב לפני שאתם ממשיכים לפתרון המלא.

זווית ישרה מחולקת

בינוני

אנך יוצר זווית ישרה. אם חלק אחד הוא $3 5^{\circ}$ , מצאו את החלק השני.

35 + x = 90

איזה קטע הוא המרחק?

בסיסי

מנקודה $P$ לישר $ℓ$ יצאו קטעים $P H$ ו- $P K$ . נתון $P H ⊥ ℓ$ . איזה קטע הוא המרחק מן הנקודה לישר?

P H ⊥ ℓ

אנך אמצעי ושוויון מרחקים

בינוני

הנקודה $P$ נמצאת על האנך האמצעי ל- $A B$ . אם $P A = 11$ , מצאו את $P B$ .

P A = 11

איזו בניית אנך נדרשת?

בינוני

הנקודה $P$ נמצאת על הישר $ℓ$ . רוצים ישר מאונך ל- $ℓ$ שעובר דרך $P$ . האם זו הורדת אנך או העלאת אנך?

P \in ℓ

שוויון מרחקים מאנך אמצעי

בינוני

הנקודה $P$ נמצאת על האנך האמצעי ל- $A B$ . נתון $P A = 2 x + 3$ ו- $P B = 15$ . מצאו את $x$ .

2 x + 3 = 15

טעות נפוצה ותיקון

הטעות

״אם ישר מאונך לקטע, הוא בטח גם חוצה אותו״.

התיקון

כדי להיות אנך אמצעי צריך שני דברים: ניצבות וחצייה. אנך רגיל יכול לפגוש את הקטע לא באמצע.

דוגמה: חפשו גם סימון של $9 0^{\circ}$ וגם סימון של שני חלקים שווים.

שאלה לחשיבה

מדוע קטע משופע מנקודה לישר אינו המרחק מן הנקודה לישר?

כי אפשר לבנות משולש ישר זווית שבו האנך הוא ניצב והקטע המשופע הוא יתר. היתר ארוך מכל ניצב, ולכן האנך הוא הקטע הקצר.

שאלות כאלה הן המקום שבו עוברים מחישוב להבנה.

לפני החידון

בדקו שאתם יודעים להפוך מילים גאומטריות למשפטים מתמטיים. זה ההבדל בין תשובה קצרה לבין הוכחה טובה.

הורדת אנך: הנקודה מחוץ לישר.
העלאת אנך: הנקודה על הישר.
אנך אמצעי: יש גם ניצבות וגם חצייה.

שאלה 1 מתוך 14

איזו בנייה מתחילה מנקודה מחוץ לישר?

המשך קריאה

עוד עמודים שיכולים לחבר את מה שלמדתם עכשיו

בפרקחציית קטע וחציית זווית בפרקבניית משולש לפי משפטי חפיפה קשורמציאת אורכים חסרים קשורזוויות מתאימות במקבילים

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של בניות אנכים כבר מוכן.

פתחו תרגול