הוכחות עם זוויות בין מקבילים

מתחלפות, מתאימות וחד-צדדיות ככלי הוכחה

$math/029-angle$ מה נלמד במודול

מעמיקים בקשרים בין זוויות שנוצרות על ידי חותך וישרים מקבילים, כותבים הוכחות קצרות, משתמשים במשפטים הפוכים, ופותרים תרגילי זוויות עם אלגברה.

זיהוי

לזהות זוויות מתאימות, מתחלפות וחד-צדדיות.

משפטים

להשתמש במשפטים ובמשפטים הפוכים על מקבילים.

חישוב

לפתור תרגילי זוויות בין מקבילים בעזרת משוואות.

הוכחה

לכתוב שרשרת טענה ונימוק קצרה וברורה.

זיהוי

לזהות זוויות מתאימות, מתחלפות וחד-צדדיות.

משפטים

להשתמש במשפטים ובמשפטים הפוכים על מקבילים.

חישוב

לפתור תרגילי זוויות בין מקבילים בעזרת משוואות.

הוכחה

לכתוב שרשרת טענה ונימוק קצרה וברורה.

$math/044-geometry$ הציור שמחזיק את הרעיון

לפני שמתחילים לכתוב הוכחה או לבצע חישוב, צריך לדעת מה האובייקטים בציור ומה היחסים ביניהם. השרטוט הבא אינו רק תמונה, הוא מפת נתונים.

חותך בין שני מקבילים

בין מקבילים, זוויות מתחלפות ומתאימות שוות, וזוויות חד-צדדיות משלימות ל- $18 0^{\circ}$ .

תמונה הממחישה את משפחות הזוויות הנוצרות בין שני ישרים מקבילים וחותך — חותך בין ישרים מקבילים יוצר זוויות מתאימות, מתחלפות וחד-צדדיות, וכל משפחה נותנת נימוק אחר.

הרעיון המרכזי

אותו ציור, שלושה סוגי קשרים

הקושי בפרק הזה אינו רק לחשב, אלא לקרוא את המיקום של הזוויות.

כאשר שני ישרים מקבילים נחתכים על ידי חותך, זוויות מתאימות שוות, זוויות מתחלפות שוות, וזוויות חד-צדדיות פנימיות משלימות ל- $18 0^{\circ}$ . המשפטים ההפוכים מאפשרים גם להוכיח מקבילות מתוך שוויון או סכום זוויות.

α_{1} = α_{2}, β_{1} = β_{2}, γ_{1} + γ_{2} = 18 0^{\circ}

בכל שאלה סמנו קודם את סוג הזוג, ורק אחר כך חשבו.

איך עובדים נכון

בגאומטריה של כיתה ט הדרך חשובה כמעט כמו התוצאה. בכל סעיף נסו לזהות נתון, פעולה, מסקנה ונימוק.

מפת עבודה

מתאימות

אותו מקום יחסי

שוות אם הישרים מקבילים.

שוויון שלהן יכול להוכיח מקבילות.

נמצאות באותו צד של החותך.

מתחלפות

צדדים מנוגדים

שוות אם הישרים מקבילים.

שוויון שלהן יכול להוכיח מקבילות.

לרוב מופיעות בתוך הרצועה בין המקבילים.

חד-צדדיות

אותו צד בתוך הרצועה

משלימות ל- $18 0^{\circ}$ .

סכום $18 0^{\circ}$ יכול להוכיח מקבילות.

מתאימות לשאלות עם ביטויים אלגבריים.

שרשרת הוכחה

טענה ← נימוק

נתון: מקבילות.

מסקנה: שוויון או השלמה.

בדיקה: האם השתמשתם בזוג הנכון?

משפטים וכיוונים

אם נתון	אפשר להסיק	שם הנימוק
$a ∥ b$	זוויות מתאימות שוות	זוויות מתאימות בין מקבילים
$a ∥ b$	זוויות מתחלפות שוות	זוויות מתחלפות בין מקבילים
$a ∥ b$	חד-צדדיות פנימיות משלימות ל- $18 0^{\circ}$	זוויות חד-צדדיות בין מקבילים
זוויות מתחלפות שוות	$a ∥ b$	משפט הפוך

* שימו לב לכיוון: לפעמים מתחילים ממקבילים, ולפעמים מוכיחים מקבילים.

דוגמאות פתורות

הדוגמאות אינן רק דרך להגיע לתשובה. שימו לב בכל שלב איזה נתון הופך לאיזה שוויון, זווית או מסקנה.

$math/029-angle$ דוגמה 1 - חישוב זווית מתאימה

שלב 1 מתוך 2

נתון

a ∥ b

. זווית מתאימה לזווית של

6 8^{\circ}

. מה גודלה?

בין מקבילים, זוויות מתאימות שוות.

∠1 = ∠2

דוגמה 2 - חד-צדדיות עם אלגברה

שלב 1 מתוך 3

נתון

a ∥ b

. שתי זוויות חד-צדדיות פנימיות הן

3 x + 20

ו-

2 x + 10

. מצאו את

x

מה הקשר בין חד-צדדיות?

דוגמה 3 - הוכחת מקבילים מסכום זוויות

שלב 1 מתוך 3

שני ישרים נחתכים על ידי חותך. זוג זוויות חד-צדדיות פנימיות הן

11 2^{\circ}

ו-

6 8^{\circ}

. הוכיחו שהישרים מקבילים.

בודקים שהזוויות הן באמת חד-צדדיות פנימיות, כי רק אז הסכום שלהן מתאים למשפט ההפוך.

חד-צדדיות פנימיות

תרגול מודרך

עכשיו התור שלכם לעבוד. נסו לענות על ההנחיה בכל שלב לפני שאתם ממשיכים לפתרון המלא.

זוויות מתחלפות

בסיסי

בין שני ישרים מקבילים זווית מתחלפת לזווית של $4 7^{\circ}$ . מצאו את גודלה.

∠ = 4 7^{\circ}

משפט הפוך

בינוני

שני ישרים נחתכים על ידי חותך. זוג זוויות מתחלפות שווה. מה אפשר להסיק?

∠1 = ∠2

חד-צדדיות

בינוני

בין מקבילים, זווית חד-צדדית אחת היא $11 8^{\circ}$ . מצאו את הזווית החד-צדדית השנייה.

118 + x = 180

הוכחה מסכום חד-צדדיות

בינוני

זוג זוויות חד-צדדיות פנימיות בין שני ישרים וחותך הן $7 4^{\circ}$ ו- $10 6^{\circ}$ . מה אפשר להסיק על הישרים?

7 4^{\circ} + 10 6^{\circ} = 18 0^{\circ}

לא כל שוויון מספיק

מאתגר

בשני ישרים וחותך נתון ששתי זוויות שוות, אבל הן אינן זוג מתאימות ואינן זוג מתחלפות. האם אפשר להסיק שהישרים מקבילים?

∠1 = ∠2

טעות נפוצה ותיקון

הטעות

״אם יש מקבילים, כל הזוויות שמופיעות בציור שוות״.

התיקון

זוויות מתאימות ומתחלפות שוות, אבל חד-צדדיות משלימות ל- $18 0^{\circ}$ . צריך לזהות את הסוג.

דוגמה: שאלו: הזוויות באותו מקום, בצדדים מנוגדים, או באותו צד בתוך הרצועה?

שאלה לחשיבה

איך אפשר להשתמש בזוויות כדי להוכיח ששני ישרים מקבילים, ולא רק לחשב זוויות אחרי שכבר יודעים שהם מקבילים?

משתמשים במשפטים ההפוכים: אם זוויות מתאימות שוות, או מתחלפות שוות, או חד-צדדיות משלימות ל- $18 0^{\circ}$ , אז הישרים מקבילים.

שאלות כאלה הן המקום שבו עוברים מחישוב להבנה.

לפני החידון

בדקו שאתם יודעים להפוך מילים גאומטריות למשפטים מתמטיים. זה ההבדל בין תשובה קצרה לבין הוכחה טובה.

מתאימות שוות.
מתחלפות שוות.
חד-צדדיות משלימות ל- $18 0^{\circ}$ .
במשפט הפוך מתחילים מהזוויות ומסיימים במקבילות.

שאלה 1 מתוך 14

מהו הסדר הנכון בהוכחה?

המשך קריאה

עוד עמודים שיכולים לחבר את מה שלמדתם עכשיו

בפרקבניית מקביל דרך נקודה בפרקטרפז: הגדרה, גובה, שטח והיקף קשורזוויות מתאימות במקבילים קשורצלעות מתאימות ויחס דמיון

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של הוכחות עם זוויות בין מקבילים כבר מוכן.

פתחו תרגול