בניית משולש לפי משפטי חפיפה
צלע-צלע-צלע, צלע-זווית-צלע וזווית-צלע-זווית
מה נלמד במודול
צ.צ.צ
צ.ז.צ
ז.צ.ז
שיקול דעת
הציור שמחזיק את הרעיון
לפני שמתחילים לכתוב הוכחה או לבצע חישוב, צריך לדעת מה האובייקטים בציור ומה היחסים ביניהם. השרטוט הבא אינו רק תמונה, הוא מפת נתונים.
משולש שנקבע לפי שתי צלעות וזווית כלואה
כאשר שתי הצלעות והזווית הכלואה נתונות, המיקום של הצלע השלישית נקבע.
הרעיון המרכזי
בנייה היא הוכחת קיום
כאשר בונים משולש לפי נתונים, לא רק מציירים. מראים שהנתונים מספיקים כדי לקבוע צורה.
שלושת משפטי החפיפה המוכרים משמשים גם כבניות: צ.צ.צ, צ.ז.צ, ז.צ.ז. אם הנתונים תואמים משפט חפיפה, כל משולש שייבנה מהם יהיה חופף.
לפני בנייה שאלו: איזה משפט חפיפה מסתתר בנתונים?
איך עובדים נכון
בגאומטריה של כיתה ט הדרך חשובה כמעט כמו התוצאה. בכל סעיף נסו לזהות נתון, פעולה, מסקנה ונימוק.
מפת עבודה
צ.צ.צ
שלוש צלעות
מציירים צלע בסיס.
פותחים מחוגה לכל אחת משתי הצלעות האחרות.
חיתוך הקשתות קובע את הקודקוד השלישי.
צ.ז.צ
זווית כלואה
מציירים צלע אחת.
מעתיקים את הזווית הכלואה בקצה המתאים.
מסמנים על הקרן את הצלע השנייה.
ז.צ.ז
שתי זוויות וצלע
מציירים את הצלע הנתונה.
מעתיקים זווית בכל קצה של הצלע.
נקודת חיתוך הקרניים היא הקודקוד השלישי.
לא מספיק
צלע-צלע-זווית
אם הזווית אינה כלואה, ייתכנו שני משולשים.
בודקים שהנתונים מתאימים למשפט מוכר.
בודקים גם אי-שוויון משולש ב-צ.צ.צ.
נתונים מול משפט חפיפה
| נתונים | שם מקובל | האם קובע משולש? |
|---|---|---|
| שלוש צלעות | צ.צ.צ | כן, אם מתקיים אי-שוויון משולש |
| שתי צלעות והזווית שביניהן | צ.ז.צ | כן |
| שתי זוויות והצלע שביניהן או סמוכה להן | ז.צ.ז | כן, אחרי שהזווית השלישית נקבעת |
| שתי צלעות וזווית שאינה כלואה | צ.צ.ז | לא תמיד, צריך בדיקה מיוחדת |
* הטבלה היא מפת החלטה לפני שמתחילים לבנות.
נתון עזר בתוך המשולש
בתוכנית הלימודים מופיעות גם בניות שבהן הנתון אינו רק צלע או זווית חיצונית של המשולש, אלא קטע עזר בתוכו: חוצה זווית, תיכון או גובה. שיטת העבודה נשארת זהה: מחפשים משולש חלקי שנקבע לפי משפט חפיפה מוכר, בונים אותו, ואז משלימים את המשולש המבוקש.
בניות מורכבות מתוך משולש חלקי
חוצה זווית נתון
חצי זווית ועוד צלע עזר
בונים תחילה את החוצה כקטע נתון.
משני קצותיו מעתיקים את הזוויות הנתונות.
הקרניים משלימות את צלעות המשולש.
תיכון לצלע
אמצע הצלע ידוע
מסמנים את הצלע ואת נקודת האמצע שלה.
מעתיקים את אורך התיכון מן האמצע.
משתמשים בצלע נוספת כדי לקבוע את הקודקוד.
גובה לצלע
אנך מן הקודקוד
בונים את הצלע הנתונה.
מעלים אנך במיקום המתאים ומסמנים עליו את הגובה.
בודקים שהצלע הנוספת מגיעה לקודקוד שנוצר.
שווה שוקיים לפי בסיס וגובה
ציר סימטריה
בונים את הבסיס ומסמנים את אמצעו.
מעלים אנך אמצעי לבסיס.
מסמנים על האנך את גובה המשולש ומחברים לקצות הבסיס.
דוגמאות פתורות
הדוגמאות אינן רק דרך להגיע לתשובה. שימו לב בכל שלב איזה נתון הופך לאיזה שוויון, זווית או מסקנה.
דוגמה 1 - בנייה לפי צ.צ.צ
שלב 1 מתוך 3איזו בדיקה חשובה?
דוגמה 2 - זיהוי משפט חפיפה
שלב 1 מתוך 3הזווית הנתונה נמצאת בין שתי הצלעות הנתונות.
דוגמה 3 - סדר בנייה לפי צ.ז.צ
שלב 1 מתוך 3בודקים תחילה שהזווית הנתונה כלואה בין שתי הצלעות הנתונות.
תרגול מודרך
עכשיו התור שלכם לעבוד. נסו לענות על ההנחיה בכל שלב לפני שאתם ממשיכים לפתרון המלא.
בדיקת אפשרות לפי צ.צ.צ
האם אפשר לבנות משולש שצלעותיו , , ?
זיהוי משפט
נתונות שתי זוויות וצלע שביניהן. איזה משפט חפיפה מתאים?
נתון שאינו מספיק
נתונות שתי צלעות וזווית שאינה ביניהן. האם תמיד מתקבל משולש יחיד?
האם זו באמת זווית כלואה?
נתונות הצלעות , והזווית . האם מותר לומר שהנתונים הם צ.ז.צ?
בדיקת צ.צ.צ לפני קשתות
האם אפשר לבנות משולש שצלעותיו , , ? אם כן, מה משפט החפיפה המתאים?
טעות נפוצה ותיקון
הטעות
צ.צ.ז ו-צ.ז.צ נשמעים כמעט אותו דבר, אז שניהם קובעים חפיפה.
התיקון
ב-צ.ז.צ הזווית כלואה בין הצלעות ולכן המשולש נקבע. ב-צ.צ.ז הזווית אינה כלואה ולכן ייתכן מצב דו-משמעי.
דוגמה: סמנו בצבע את הזווית. האם היא ממש בין שתי הצלעות הנתונות?
שאלה לחשיבה
מדוע ב-צ.צ.צ צריך לבדוק אי-שוויון משולש לפני שמתחילים לצייר קשתות?
כי אם שתי צלעות קצרות מדי, הקשתות לא ייפגשו. הבדיקה האלגברית חוסכת בנייה בלתי אפשרית.
שאלות כאלה הן המקום שבו עוברים מחישוב להבנה.
לפני החידון
בדקו שאתם יודעים להפוך מילים גאומטריות למשפטים מתמטיים. זה ההבדל בין תשובה קצרה לבין הוכחה טובה.
- התחילו תמיד בצלע בסיס ברורה.
- ב-צ.ז.צ ודאו שהזווית כלואה.
- ב-צ.צ.צ בדקו אי-שוויון משולש לפני הקשתות.
