חציית קטע וחציית זווית

אמצע, מרחקים שווים וחוצה שמייצר שתי זוויות שוות

מה נלמד במודול

בונים חוצה קטע וחוצה זווית, מבינים את תכונת השוויון שהם יוצרים, ומשתמשים בהם בחישובי זוויות ובהוכחות קצרות.

אמצע

לזהות ולבנות נקודת אמצע של קטע בעזרת קשתות משני הקצוות.

חוצה זווית

לבנות קרן שמחלקת זווית לשתי זוויות שוות.

שוויון

לתרגם בנייה לשוויון קטעים או שוויון זוויות.

יישום

לפתור תרגילים שבהם חוצה קטע או חוצה זווית יוצר משוואה.

אמצע

לזהות ולבנות נקודת אמצע של קטע בעזרת קשתות משני הקצוות.

חוצה זווית

לבנות קרן שמחלקת זווית לשתי זוויות שוות.

שוויון

לתרגם בנייה לשוויון קטעים או שוויון זוויות.

יישום

לפתור תרגילים שבהם חוצה קטע או חוצה זווית יוצר משוואה.

$math/044-geometry$ הציור שמחזיק את הרעיון

לפני שמתחילים לכתוב הוכחה או לבצע חישוב, צריך לדעת מה האובייקטים בציור ומה היחסים ביניהם. השרטוט הבא אינו רק תמונה, הוא מפת נתונים.

חוצה זווית וחוצה קטע

החוצה אינו רק קו באמצע הציור. הוא יוצר שוויון: $A M = M B$ או שתי זוויות שוות.

תמונה הממחישה את חציית קטע וחציית זווית בעזרת קשתות מחוגה — חוצה קטע ו-חוצה זווית נשענים על נקודות שוות מרחק שנוצרות מקשתות המחוגה.

הרעיון המרכזי

חוצה הוא יצרן שוויון

כאשר שאלה אומרת ״חוצה״, היא נותנת לנו זוג שווה. זו מתנה להוכחה ולחישוב.

חוצה קטע יוצר שני קטעים שווים. חוצה זווית יוצר שתי זוויות שוות. אם נתון גודל כולל, אפשר לחלק ב-2. אם נתונים ביטויים אלגבריים, אפשר להשוות ביניהם.

A M = M B, ∠ A B D = ∠ D B C

השלב החשוב הוא לא לזכור ציור, אלא לדעת איזה שוויון נולד ממנו.

איך עובדים נכון

בגאומטריה של כיתה ט הדרך חשובה כמעט כמו התוצאה. בכל סעיף נסו לזהות נתון, פעולה, מסקנה ונימוק.

מפת עבודה

חציית קטע

שתי קשתות מכל קצה

פותחים מחוגה ביותר מחצי הקטע.

מציירים קשתות משני הקצוות.

מחברים את נקודות חיתוך הקשתות ומקבלים אנך אמצעי.

$math/029-angle$

חציית זווית

קשת ועוד שתי קשתות

מסמנים נקודות שוות על שתי קרני הזווית.

מציירים קשתות שוות מן הנקודות האלה.

מחברים את הקודקוד עם חיתוך הקשתות.

חישוב

מחלקים או משווים

זווית שלמה עם חוצה: מחלקים ב-2.

שני ביטויים משני צדדי חוצה: משווים.

קטע שלם עם אמצע: שני החלקים שווים.

הוכחה

מה נולד מהנתון

מן הנתון ״חוצה זווית״ כותבים שוויון זוויות.

מן הנתון ״אמצע״ כותבים שוויון קטעים.

לא מדלגים מהציור למסקנה בלי משפט ביניים.

מה מקבלים מכל נתון

נתון	אפשר להסיק	שימוש נפוץ
$M$ אמצע $A B$	$A M = M B$	חישוב אורך או חפיפת משולשים
$B D$ חוצה $∠ A B C$	$∠ A B D = ∠ D B C$	פתרון משוואה או הוכחת שוויון זוויות
אנך אמצעי ל- $A B$	נקודות עליו שוות מרחק מ- $A$ ומ- $B$	זיהוי מרכזים ובניית משולשים

* בכל שורה הנתון הוא מילולי, והמסקנה היא משפט מתמטי שאפשר להשתמש בו.

דוגמאות פתורות

הדוגמאות אינן רק דרך להגיע לתשובה. שימו לב בכל שלב איזה נתון הופך לאיזה שוויון, זווית או מסקנה.

$math/029-angle$ דוגמה 1 - חוצה זווית עם מספר

שלב 1 מתוך 3

B D

חוצה את

∠ A B C

, וגודל הזווית השלמה הוא

8 6^{\circ}

. מצאו את

∠ A B D

חוצה זווית מחלק את הזווית לשתי זוויות שוות.

∠ A B D = ∠ D B C

דוגמה 2 - חוצה זווית עם ביטויים

שלב 1 מתוך 3

B D

חוצה את

∠ A B C

. נתון

∠ A B D = 3 x + 10

ו-

∠ D B C = 5 x - 18

. מצאו את

x

למה משווים את הביטויים?

דוגמה 3 - אמצע קטע עם שני ביטויים

שלב 1 מתוך 3

M

היא נקודת האמצע של

A B

. נתון

A M = 4 x - 2

ו-

M B = 2 x + 10

. מצאו את

x

נקודת אמצע יוצרת שוויון בין שני חלקי הקטע.

A M = M B

תרגול מודרך

עכשיו התור שלכם לעבוד. נסו לענות על ההנחיה בכל שלב לפני שאתם ממשיכים לפתרון המלא.

אמצע קטע

בסיסי

$M$ היא נקודת האמצע של $A B$ . אם $A B = 18$ , מצאו את $A M$ .

A B = 18

משוואה מחוצה קטע

בינוני

$M$ אמצע $A B$ . נתון $A M = 2 x + 1$ ו- $M B = 13$ . מצאו את $x$ .

2 x + 1 = 13

זווית שלמה מחוצה

בינוני

חוצה זווית יוצר שתי זוויות שכל אחת מהן $3 7^{\circ}$ . מה גודל הזווית השלמה?

37 + 37

חוצה זווית עם משוואה

בינוני

$B D$ חוצה את $∠ A B C$ . נתון $∠ A B D = 4 x + 5$ ו- $∠ D B C = 2 x + 25$ . מצאו את $x$ .

4 x + 5 = 2 x + 25

האם נקודה על קטע מספיקה?

בינוני

נתון ש- $M$ נמצאת על הקטע $A B$ . האם מותר להסיק מיד ש- $A M = M B$ ?

M \in A B

טעות נפוצה ותיקון

הטעות

״כל חוצה זווית הוא גם אנך״.

התיקון

חוצה זווית מחלק זווית לשתי זוויות שוות. הוא יהיה אנך רק במקרים מיוחדים, למשל חוצה של זווית שטוחה.

דוגמה: בדקו מה הנתון אומר במדויק: שוויון זוויות, שוויון קטעים או ניצבות.

שאלה לחשיבה

אם חוצה זווית מחלק זווית של $12 0^{\circ}$ , האם כל אחת מהזוויות היא חדה?

כן. כל חלק הוא $6 0^{\circ}$ , ולכן שתי הזוויות חדות. בכל שאלה אחרת צריך לחשב לפני שמחליטים.

שאלות כאלה הן המקום שבו עוברים מחישוב להבנה.

לפני החידון

בדקו שאתם יודעים להפוך מילים גאומטריות למשפטים מתמטיים. זה ההבדל בין תשובה קצרה לבין הוכחה טובה.

מהמילה ״חוצה״ עוברים מיד לשוויון.
מהמילה ״אמצע״ עוברים מיד לשוויון קטעים.
אם יש ביטויים אלגבריים, השוויון הופך למשוואה.

שאלה 1 מתוך 14

נתון רק ש- $M$ נמצאת על הקטע $A B$ . מה אפשר להסיק על $A M$ ו- $M B$ ?

המשך קריאה

עוד עמודים שיכולים לחבר את מה שלמדתם עכשיו

בפרקהעתקת קטע וזווית בפרקבניות אנכים קשורזוויות מתאימות במקבילים קשורצלעות מתאימות ויחס דמיון

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של חציית קטע וחציית זווית כבר מוכן.

פתחו תרגול

חציית קטע וחציית זווית

מה נלמד במודול

אמצע

חוצה זווית

שוויון

יישום

הציור שמחזיק את הרעיון

הרעיון המרכזי

חוצה הוא יצרן שוויון

איך עובדים נכון

מפת עבודה

חציית קטע

חציית זווית

חישוב

הוכחה

מה מקבלים מכל נתון

דוגמאות פתורות

דוגמה 1 - חוצה זווית עם מספר

דוגמה 2 - חוצה זווית עם ביטויים

דוגמה 3 - אמצע קטע עם שני ביטויים

תרגול מודרך

אמצע קטע

משוואה מחוצה קטע

זווית שלמה מחוצה

חוצה זווית עם משוואה

האם נקודה על קטע מספיקה?

טעות נפוצה ותיקון

הטעות

התיקון

שאלה לחשיבה

לפני החידון

נתון רק ש-M נמצאת על הקטע AB. מה אפשר להסיק על AM ו-MB?