פירוק לפי קבוצות

כאשר גורם משותף מתגלה אחרי סידור חכם

מה בונים במודול?

כאן עובדים עם ביטוי בן ארבעה איברים, מקבצים אותו לשתי קבוצות, ואז מוציאים גורם משותף נוסף.

לקבץ איברים בתבונה

נלמד לחלק ביטוי בן ארבעה איברים לשתי קבוצות שיש להן מבנה דומה.

להוציא גורם משותף מכל קבוצה

נוציא גורם כך שבתוך הסוגריים יופיע אותו ביטוי.

להוציא גורם משותף נוסף

נזהה את הסוגריים המשותפים ונכתוב מכפלת שני גורמים.

הרעיון המרכזי

לפעמים אין גורם אחד שמופיע בכל ארבעת האיברים. פירוק לפי קבוצות מחפש גורם משותף שמופיע אחרי שמארגנים את הביטוי לשתי קבוצות.

יוצרים אותו סוגריים בשתי קבוצות

בביטוי $a x + a y + b x + b y$ אפשר לקבץ: $a (x + y) + b (x + y)$ . עכשיו $x + y$ הוא גורם משותף.

השלב הראשון הוא הוצאת גורם משותף מכל קבוצה. אם קיבלנו בתוך שתי הקבוצות אותו ביטוי בסוגריים, אפשר להוציא גם אותו כגורם משותף. כך עוברים מביטוי ארוך למכפלה של שני גורמים.

a x + a y + b x + b y = a (x + y) + b (x + y) = (a + b) (x + y)

הפירוק עובד רק כאשר אחרי הקיבוץ מתקבל אותו סוגריים בדיוק, כולל סימנים.

טוען סימולציה...

הקיבוץ אינו מטרה בפני עצמה. הוא נועד לגלות גורם משותף שלא ראינו בהתחלה.

תבנית פירוק לפי קבוצות

x^{2} + 3 x + 2 x + 6 = x (x + 3) + 2 (x + 3) = (x + 2) (x + 3)

כאן הסוגריים $x + 3$ מופיעים פעמיים, ולכן אפשר להוציא אותם כגורם משותף.

דוגמה מודרכת: ארבעה איברים

שלב 1 מתוך 3

2 x^{2} + 6 x + 5 x + 15

איזה קיבוץ נראה מבטיח?

שיטה מסודרת

לפני שמתחילים לחשב, כדאי לעצור לשאלת ניווט קצרה: מה המבנה, מה הפעולה ההפוכה, ואיזה תנאי אסור לשכוח בסוף?

מסלול עבודה

מחפשים זוגות

בדרך כלל מתחילים משני איברים ראשונים ושני איברים אחרונים.

בודקים אם יש גורם בכל קבוצה.

אם לא עובד, מנסים קיבוץ אחר.

מכינים סוגריים זהים

המטרה היא אותו ביטוי בתוך סוגריים.

סימן מינוס יכול לעזור להפוך את הסדר.

הסוגריים צריכים להיות זהים לחלוטין.

פותחים לבדיקה

פותחים את הפירוק הסופי.

מוודאים שחזרו כל ארבעת האיברים.

אם חסר סימן, חוזרים לשלב הקיבוץ.

תרגול מודרך

עכשיו עוברים משיטה כללית לביצוע. נסו לענות על השאלה בכל שלב לפני פתיחת הפתרון, כי הזיהוי חשוב לא פחות מהתוצאה.

תרגיל: קיבוץ ופירוק

מאתגר

פרקו לפי קבוצות:

x^{2} + 4 x + 3 x + 12

פירוק לפי קבוצות נראה כמו תהליך ארוך, אבל המבחן שלו פשוט: האם הופיע אותו סוגריים בשתי הקבוצות?

וריאציות שכדאי לזהות

$ab + a c + b d + c d$

$a (b + c) + d (b + c) = (a + d) (b + c)$ . אותו סוגריים מופיע פעמיים.

$x y - 2 x + 3 y - 6$

$x (y - 2) + 3 (y - 2) = (x + 3) (y - 2)$ . כאן הסוגריים המשותפים הם $y - 2$ .

$x^{2} - 5 x + 2 x - 10$

$x (x - 5) + 2 (x - 5) = (x + 2) (x - 5)$ . הסימנים נשמרים.

קיבוץ שלא עובד

אם לא מתקבלים סוגריים זהים, מנסים סידור אחר או בודקים שהביטוי הועתק נכון.

מלכודת נפוצה

טעות חוזרת בפרק הזה מגיעה מהפעלת כלל נכון במקום הלא נכון. לכן בודקים לא רק את התוצאה, אלא גם את סוג האובייקט שעליו פעלנו.

סוגריים כמעט זהים אינם מספיקים

מתעלמים מסימן

מתייחסים ל- $x - 4$ ול- $4 - x$ כאילו הם אותו דבר. הם אינם זהים, אלא נגדיים.

מוציאים מינוס כשצריך

$4 - x = - (x - 4)$ . הוצאת מינוס יכולה להפוך סוגריים נגדיים לסוגריים זהים.

כששני סוגריים שונים רק בסדר ובסימנים, בדקו אם הוצאת מינוס תסדר אותם.

שאלה לחשיבה

למה פירוק לפי קבוצות הוא הכנה טובה לפירוק טרינום?

בפירוק טרינום אפשר לפעמים לפצל את האיבר האמצעי לשני איברים, ואז לפרק לפי קבוצות. כלומר השיטה הזאת מסבירה מה עומד מאחורי חיפוש זוג המספרים בטרינום.

שרשור שיטות פירוק

שרשור שיטות הוא כלל עבודה חשוב בפרק: תמיד מחפשים גורם משותף לפני שמזהים נוסחה. אם יש גורם שמשותף לכל האיברים, מוציאים אותו קודם. רק אחר כך בודקים האם הביטוי שנשאר בסוגריים מתאים לנוסחה או לשיטה נוספת.

סדר הפירוק המומלץ

תמיד לפי הסדר: (1) גורם משותף לכולם. (2) נוסחת כפל מקוצר. (3) פירוק טרינום. (4) פירוק לפי קבוצות. דילוג על שלב (1) גורם לפירוק חלקי.

בדקו אם יש גורם מספרי שמחלק את כל המקדמים.
בדקו אם יש חזקת משתנה שמופיעה בכל האיברים.
הוציאו את הגורם המשותף ובדקו את הביטוי שנשאר.
פרקו את הביטוי שנשאר בשיטה מתאימה.

דוגמה: גורם משותף ואז פירוק לפי קבוצות

שלב 1 מתוך 3

2 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 12

מהו הגורם המשותף הגדול לכל ארבעת המקדמים?

דוגמה: גורם משותף ואז נוסחת כפל מקוצר

שלב 1 מתוך 3

3 x^{2} - 27

מה נשאר בסוגריים אחרי הוצאת $3$ ?

תרגיל: שרשור גורם משותף ונוסחה

מאתגר

פרקו לגורמים לחלוטין:

5 x^{2} - 20

$x^{2} + 5 x + 6$ יכול להיכתב כ- $x^{2} + 2 x + 3 x + 6$ . עכשיו פירוק לפי קבוצות נותן $x (x + 2) + 3 (x + 2) = (x + 3) (x + 2)$ .

העמקה ותרגול מבחן

מה חייבים לשלוט בו לפני שממשיכים?

זיהוי מבנה

לפני חישוב שואלים איזה מבנה מופיע בביטוי ואיזה כלי מתאים לו.

פעולה הפוכה

פתיחה בודקת פירוק, הצבה בודקת שקילות, ותחום בודק חלוקה באפס.

סימנים ותנאים

סימן מינוס ותחום הצבה אינם קישוט. הם חלק מהתשובה המתמטית.

בדיקה סופית

לפני חידון או מבחן, בודקים שהתוצאה חוזרת למקור בדרך חוקית.

טבלת החלטה מהירה

מה רואים	מה שואלים	מה עושים
תבנית פירוק לפי קבוצות	מה המבנה המרכזי?	הפירוק עובד רק כאשר אחרי הקיבוץ מתקבל אותו סוגריים בדיוק, כולל סימנים.
2x^2+6x+5x+15	איך יודעים שהדרך נכונה?	עוברים שלב אחר שלב ובודקים פעולה הפוכה.
x^2+4x+3x+12	מה הטעות הצפויה?	טעות נפוצה: לעצור ב- $x (x + 4) + 3 (x + 4)$ . זה כבר שיפור, אבל עדיין לא מכפלה אחת של גורמים.
סוגריים כמעט זהים אינם מספיקים	איך נמנעים ממנה?	כששני סוגריים שונים רק בסדר ובסימנים, בדקו אם הוצאת מינוס תסדר אותם.

* הטבלה עוזרת לבחור דרך לפני תחילת החישוב, במיוחד בשאלות מבחן מעורבות.

דוגמת עומק: בודקים את פירוק לפי קבוצות

שלב 1 מתוך 3

2 x^{2} + 6 x + 5 x + 15

איזה קיבוץ נראה מבטיח?

תרגול עומק: קיבוץ ופירוק

מאתגר

פרקו לפי קבוצות:

x^{2} + 4 x + 3 x + 12

תרגיל בדיקה: האם הפתרון באמת שקול?

בינוני

בדקו את הדוגמה המרכזית בעזרת דרך בדיקה שמתאימה למבנה שבחרתם.

(x + 3) (2 x + 5)

דוגמה נוספת: קיבוץ שמייצר סוגריים זהים

שלב 1 מתוך 3

3 x^{2} - 6 x + 2 x - 4

איזה קיבוץ נראה מתאים?

תרגול נוסף: בוחרים קיבוץ לפי הסוגריים הצפויים

בינוני

פרקו לפי קבוצות:

x^{2} - 5 x + 4 x - 20

תרגול אתגר: קיבוץ עם סימן שלילי

מאתגר

פרקו לפי קבוצות:

2 x^{2} + 8 x - 3 x - 12

כרטיסי בדיקה עצמית

יוצרים אותו סוגריים בשתי קבוצות

לחצו לגלות

הפירוק עובד רק כאשר אחרי הקיבוץ מתקבל אותו סוגריים בדיוק, כולל סימנים.

לחצו לחזור

$math/030-equation$

תבנית פירוק לפי קבוצות

לחצו לגלות

$x^{2} + 3 x + 2 x + 6 = x (x + 3) + 2 (x + 3) = (x + 2) (x + 3)$

לחצו לחזור

איך בודקים?

לחצו לגלות

פותחים, מציבים או משווים לתחום ההצבה המקורי.

לחצו לחזור

מלכודת

לחצו לגלות

כששני סוגריים שונים רק בסדר ובסימנים, בדקו אם הוצאת מינוס תסדר אותם.

לחצו לחזור

בדיקת איכות לפני תשובה

בדיקה קצרה בסוף הפתרון מונעת את רוב הטעויות בפרק הזה.

ודאו שבחרתם כלי לפי מבנה הביטוי.
בדקו סימנים, מקדמים ותחום הצבה אם יש מכנה.
הפעילו פעולה הפוכה או הצבה מותרת כדי לאשר שקילות.
ענו במילים על השאלה: למה הצעד הזה חוקי?

תרגול עצמי קצר עם תשובות