נוסחת ריבוע של סכום

למה $(a + b)^{2}$ כולל שני איברים אמצעיים

$math/046-parentheses$ מה בונים במודול?

כאן בונים את נוסחת ריבוע של סכום מתוך פתיחת סוגריים ומודל שטח, כדי להבין מאיפה מגיע האיבר האמצעי.

לזהות תבנית

נזהה מתי ביטוי הוא ריבוע של סכום ולא מכפלה רגילה בלבד.

להבין את $2 ab$

נראה שהאיבר האמצעי מגיע משני מלבנים זהים.

להשתמש בנוסחה בזהירות

נפתח ביטויים מספריים ואלגבריים בלי לשכוח את האיבר האמצעי.

הרעיון המרכזי

ריבוע של סכום הוא מקרה מיוחד של מכפלת דו-איבר בעצמו. במקום לפתוח מחדש בכל פעם, מזהים את המבנה ומנצלים אותו.

ריבוע גדול שמורכב מארבעה חלקים

הביטוי $(a + b)^{2}$ הוא קיצור ל- $(a + b) (a + b)$ . לכן גם כאן יש ארבע מכפלות.

במודל שטח מתקבל ריבוע שצלעו $a + b$ . יש בו ריבוע בגודל $a^{2}$ , ריבוע בגודל $b^{2}$ , ושני מלבנים זהים שכל אחד מהם $ab$ . שני המלבנים יחד נותנים $2 ab$ .

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

האיבר $2 ab$ הוא לא תוספת שרירותית, הוא שני שטחים שמופיעים במודל.

טוען סימולציה...

לפני שמשתמשים בנוסחה, מפרשים את שני חלקי הסכום: כאן $a = x$ ו- $b = 5$ .

נוסחת ריבוע של סכום

(x + 5)^{2} = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 25 = x^{2} + 10 x + 25

האיבר האמצעי הוא $2 \cdot x \cdot 5$ , ולכן הוא $10 x$ . זאת הנקודה שבה רוב הטעויות קורות.

דוגמה מודרכת: ריבוע של סכום עם מקדם

שלב 1 מתוך 3

(2 x + 3)^{2}

מהם שני החלקים בנוסחה?

שיטה מסודרת

לפני שמתחילים לחשב, כדאי לעצור לשאלת ניווט קצרה: מה המבנה, מה הפעולה ההפוכה, ואיזה תנאי אסור לשכוח בסוף?

מסלול עבודה

בודקים שזה ריבוע

יש סוגריים בחזקה שנייה.

הסוגריים הם סכום של שני איברים.

אם אין חזקה שנייה על כל הסוגריים, זאת לא אותה תבנית.

כותבים $a$ ו- $b$

החלק הראשון הוא $a$ .

החלק השני הוא $b$ .

שומרים מקדמים וחזקות כחלק מהאיבר.

$math/030-equation$

בונים שלושה איברים

$a^{2}$ : ריבוע החלק הראשון.

$2 ab$ : פעמיים המכפלה.

$b^{2}$ : ריבוע החלק השני.

תרגול מודרך

עכשיו עוברים משיטה כללית לביצוע. נסו לענות על השאלה בכל שלב לפני פתיחת הפתרון, כי הזיהוי חשוב לא פחות מהתוצאה.

תרגיל: פיתוח ריבוע סכום

בינוני

פתחו בעזרת נוסחת ריבוע של סכום:

(x + 7)^{2}

התבנית נשארת זהה גם כשהאיברים אינם רק $x$ ומספר. בכל פעם מגדירים בזהירות את שני החלקים.

וריאציות שכדאי לזהות

$(x + 2)^{2}$

$x^{2} + 4 x + 4$ . האיבר האמצעי הוא $2 \cdot x \cdot 2$ .

$(3 x + 1)^{2}$

$9 x^{2} + 6 x + 1$ . שימו לב שריבוע $3 x$ הוא $9 x^{2}$ .

$(x^{2} + 4)^{2}$

$x^{4} + 8 x^{2} + 16$ . החלק הראשון כולו הוא $x^{2}$ .

בדיקת סבירות

אם שני החלקים חיוביים, כל שלושת האיברים בתוצאה יהיו חיוביים.

מלכודת נפוצה

טעות חוזרת בפרק הזה מגיעה מהפעלת כלל נכון במקום הלא נכון. לכן בודקים לא רק את התוצאה, אלא גם את סוג האובייקט שעליו פעלנו.

למה לא מספיק לרבע כל איבר?

הקיצור המסוכן

חושבים שחזקה פועלת בנפרד על כל איבר ולכן כותבים $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ . זה מתעלם מכך שהחזקה היא כפל של הסכום בעצמו.

הבדיקה המבנית

כותבים רגע $(a + b) (a + b)$ . עכשיו ברור שיש גם $ab$ ועוד $ab$ , ולכן חייב להופיע $2 ab$ .

אם קשה לזכור את הנוסחה, חזרו לפתיחה המלאה. היא תמיד מחזירה את האיבר האמצעי.

שאלה לחשיבה

איך אפשר להסביר בלי נוסחה למה $(10 + 1)^{2}$ אינו $1 0^{2} + 1^{2}$ ?

$1 1^{2}$ הוא שטח ריבוע שצלעו $11$ . הריבוע כולל גם שני מלבנים של $10 \cdot 1$ , ולכן השטח הוא $100 + 20 + 1 = 121$ , לא $101$ .

פירוק טרינום מושלם לריבוע של סכום

עד כאן למדנו לפתוח $(a + b)^{2}$ לטרינום. כעת הולכים בכיוון ההפוך: מזהים טרינום שהוא ריבוע של סכום ומפרקים אותו לגורמים. זה אותה נוסחה בדיוק, רק מיושמת מימין לשמאל.

שלושה תנאים לטרינום מושלם

כדי שטרינום $A + B + C$ יהיה ריבוע של סכום, שלושה תנאים חייבים להתקיים בו-זמנית.

בתנאי הראשון, האיבר הראשון $A$ חייב להיות ריבוע: $A = a^{2}$ . בתנאי השני, האיבר האחרון $C$ חייב להיות ריבוע חיובי: $C = b^{2}$ . בתנאי השלישי, האיבר האמצעי חייב להיות בדיוק $B = 2 ab$ - פעמיים מכפלת שורשי הקצוות.

a^{2} + 2 ab + b^{2} = (a + b)^{2}

בדיקת האיבר האמצעי היא הצעד הקריטי. שני ריבועים בקצוות אינם מספיקים.

דוגמה מודרכת: זיהוי ופירוק

שלב 1 מתוך 3

x^{2} + 6 x + 9

מה השורש של האיבר האחרון $9$ ?

תרגיל: פירוק טרינום מושלם

מאתגר

פרקו לגורמים:

4 x^{2} + 12 x + 9

נוסחת ריבוע של סכום מסבירה חישובים כמו $3 1^{2} = (30 + 1)^{2} = 900 + 60 + 1 = 961$ . זאת אותה אלגברה, רק עם מספרים.

העמקה ותרגול מבחן

מה חייבים לשלוט בו לפני שממשיכים?

זיהוי מבנה

לפני חישוב שואלים איזה מבנה מופיע בביטוי ואיזה כלי מתאים לו.

פעולה הפוכה

פתיחה בודקת פירוק, הצבה בודקת שקילות, ותחום בודק חלוקה באפס.

סימנים ותנאים

סימן מינוס ותחום הצבה אינם קישוט. הם חלק מהתשובה המתמטית.

בדיקה סופית

לפני חידון או מבחן, בודקים שהתוצאה חוזרת למקור בדרך חוקית.

טבלת החלטה מהירה

מה רואים	מה שואלים	מה עושים
נוסחת ריבוע של סכום	מה המבנה המרכזי?	האיבר $2 ab$ הוא לא תוספת שרירותית, הוא שני שטחים שמופיעים במודל.
(2x+3)^2	איך יודעים שהדרך נכונה?	עוברים שלב אחר שלב ובודקים פעולה הפוכה.
(x+7)^2	מה הטעות הצפויה?	טעות נפוצה: $(x + 7)^{2} = x^{2} + 49$ . חסר האיבר האמצעי $14 x$ , שמייצג שני מלבנים במודל השטח.
למה לא מספיק לרבע כל איבר?	איך נמנעים ממנה?	אם קשה לזכור את הנוסחה, חזרו לפתיחה המלאה. היא תמיד מחזירה את האיבר האמצעי.

* הטבלה עוזרת לבחור דרך לפני תחילת החישוב, במיוחד בשאלות מבחן מעורבות.

דוגמת עומק: בודקים את נוסחת ריבוע של סכום

שלב 1 מתוך 3

(2 x + 3)^{2}

מהם שני החלקים בנוסחה?

תרגול עומק: פיתוח ריבוע סכום

בינוני

פתחו בעזרת נוסחת ריבוע של סכום:

(x + 7)^{2}

תרגיל בדיקה: האם הפתרון באמת שקול?

בינוני

בדקו את הדוגמה המרכזית בעזרת דרך בדיקה שמתאימה למבנה שבחרתם.

4 x^{2} + 12 x + 9

דוגמה נוספת: מזהים את שני האיברים לפני הפיתוח

שלב 1 מתוך 3

(3 x + 2)^{2}

מהו האיבר האמצעי לפי נוסחת $(a + b)^{2}$ ?

תרגול נוסף: פיתוח ריבוע סכום עם מקדם

בינוני

פתחו בעזרת נוסחת ריבוע של סכום:

(2 x + 5)^{2}

תרגול זיהוי: האם זה ריבוע של סכום?

מאתגר

פרקו אם הביטוי מתאים לנוסחת ריבוע של סכום:

9 x^{2} + 30 x + 25

כרטיסי בדיקה עצמית

ריבוע גדול שמורכב מארבעה חלקים

לחצו לגלות

האיבר $2 ab$ הוא לא תוספת שרירותית, הוא שני שטחים שמופיעים במודל.

לחצו לחזור

$math/030-equation$

נוסחת ריבוע של סכום

לחצו לגלות

$(x + 5)^{2} = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 25 = x^{2} + 10 x + 25$

לחצו לחזור

איך בודקים?

לחצו לגלות

פותחים, מציבים או משווים לתחום ההצבה המקורי.

לחצו לחזור

מלכודת

לחצו לגלות

אם קשה לזכור את הנוסחה, חזרו לפתיחה המלאה. היא תמיד מחזירה את האיבר האמצעי.

לחצו לחזור

בדיקת איכות לפני תשובה

בדיקה קצרה בסוף הפתרון מונעת את רוב הטעויות בפרק הזה.

ודאו שבחרתם כלי לפי מבנה הביטוי.
בדקו סימנים, מקדמים ותחום הצבה אם יש מכנה.
הפעילו פעולה הפוכה או הצבה מותרת כדי לאשר שקילות.
ענו במילים על השאלה: למה הצעד הזה חוקי?

תרגול עצמי קצר עם תשובות