פירוק טרינום ריבועי פשוט

מחפשים שני מספרים עם מכפלה וסכום מתאימים

$math/030-equation$ מה בונים במודול?

כאן הופכים טרינום פשוט למכפלת שני גורמים בעזרת זוג מספרים שסכומם ומכפלתם מתאימים למקדמים.

לזהות טרינום פשוט

נזהה ביטויים מהצורה

x^{2} + b x + c

לחפש זוג מספרים

נמצא שני מספרים שמכפלתם

c

וסכומם

b

לבדוק בפתיחה

נפתח את שני הסוגריים כדי לוודא שהטרינום חזר בדיוק.

הרעיון המרכזי

טרינום פשוט הוא נקודת החיבור בין פתיחת סוגריים לבין פירוק. עכשיו מתחילים מהתוצאה, ומחפשים את שני הסוגריים שיצרו אותה.

המכפלה נותנת את הקבוע, הסכום נותן את האמצע

אם $(x + m) (x + n) = x^{2} + (m + n) x + mn$ , אז בפירוק טרינום מחפשים את $m$ ו- $n$ .

בטרינום $x^{2} + b x + c$ , הקבוע $c$ נוצר ממכפלת שני המספרים שבסוגריים. המקדם $b$ של האיבר האמצעי נוצר מהסכום שלהם. לכן מחפשים זוג שמקיים שני תנאים בו זמנית.

x^{2} + b x + c = (x + m) (x + n), m + n = b, mn = c

זוג שמתאים רק למכפלה או רק לסכום אינו מספיק. שני התנאים חייבים להתקיים.

טוען סימולציה...

בטרינום הזה מחפשים שני מספרים שמכפלתם $12$ וסכומם $7$ .

תבנית פירוק טרינום פשוט

x^{2} + 7 x + 12 = (x + 3) (x + 4)

המספרים $3$ ו- $4$ מתאימים לשני התנאים, ולכן הפירוק נכון.

דוגמה מודרכת: קבוע חיובי וסכום שלילי

שלב 1 מתוך 3

x^{2} - 9 x + 20

מה צריכים להיות המכפלה והסכום?

שיטה מסודרת

לפני שמתחילים לחשב, כדאי לעצור לשאלת ניווט קצרה: מה המבנה, מה הפעולה ההפוכה, ואיזה תנאי אסור לשכוח בסוף?

מסלול עבודה

רושמים תנאים

מכפלה שווה לקבוע $c$ .

סכום שווה למקדם $b$ .

לא מסתפקים באחד התנאים.

קוראים סימנים

$c > 0$ : שני מספרים באותו סימן.

$c < 0$ : שני מספרים בסימנים מנוגדים.

הסכום קובע מי גדול בערכו המוחלט.

בודקים בפתיחה

פותחים את שני הסוגריים.

כונסים איברים דומים.

מוודאים שהתקבל הטרינום המקורי.

תרגול מודרך

עכשיו עוברים משיטה כללית לביצוע. נסו לענות על השאלה בכל שלב לפני פתיחת הפתרון, כי הזיהוי חשוב לא פחות מהתוצאה.

תרגיל: פירוק טרינום פשוט

בינוני

פרקו לגורמים:

x^{2} + 2 x - 15

הסימנים בטרינום הם מפה. הם אומרים אם הזוג באותו סימן או בסימנים מנוגדים.

וריאציות שכדאי לזהות

$x^{2} + 8 x + 15$

$(x + 3) (x + 5)$ . מכפלה $15$ , סכום $8$ .

$x^{2} - 11 x + 30$

$(x - 5) (x - 6)$ . מכפלה חיובית וסכום שלילי, לכן שני המספרים שליליים.

$x^{2} - x - 12$

$(x - 4) (x + 3)$ . מכפלה שלילית, סכום $- 1$ .

בדיקה

האיבר האמצעי אחרי פתיחה חייב להיות בדיוק המקדם שבטרינום.

מלכודת נפוצה

טעות חוזרת בפרק הזה מגיעה מהפעלת כלל נכון במקום הלא נכון. לכן בודקים לא רק את התוצאה, אלא גם את סוג האובייקט שעליו פעלנו.

מכפלה נכונה אינה מספיקה

בחרתי מחלקים של הקבוע

ב- $x^{2} + 2 x - 15$ , הזוג $15, - 1$ נותן מכפלה $- 15$ , ולכן נראה מפתה. אבל הסכום הוא $14$ .

שני התנאים יחד

הזוג $5, - 3$ נותן גם מכפלה $- 15$ וגם סכום $2$ . לכן הוא הזוג הנכון.

בכל טרינום כתבו לידו שתי מילים: מכפלה וסכום.

שאלה לחשיבה

למה ב- $x^{2} - 7 x - 18$ אחד המספרים חייב להיות חיובי ואחד שלילי?

כי הקבוע $- 18$ הוא מכפלה של שני המספרים. מכפלה שלילית מתקבלת רק כשאחד חיובי ואחד שלילי. הסכום $- 7$ אומר שהמספר השלילי גדול יותר בערכו המוחלט.

לא כל טרינום פשוט מתפרק למספרים שלמים. למשל $x^{2} + x + 1$ אינו מתפרק בעזרת זוג מספרים שלמים. בפרקים הבאים נלמד דרכי פתרון רחבות יותר למשוואות ריבועיות.

העמקה ותרגול מבחן

מה חייבים לשלוט בו לפני שממשיכים?

זיהוי מבנה

לפני חישוב שואלים איזה מבנה מופיע בביטוי ואיזה כלי מתאים לו.

פעולה הפוכה

פתיחה בודקת פירוק, הצבה בודקת שקילות, ותחום בודק חלוקה באפס.

סימנים ותנאים

סימן מינוס ותחום הצבה אינם קישוט. הם חלק מהתשובה המתמטית.

בדיקה סופית

לפני חידון או מבחן, בודקים שהתוצאה חוזרת למקור בדרך חוקית.

טבלת החלטה מהירה

מה רואים	מה שואלים	מה עושים
תבנית פירוק טרינום פשוט	מה המבנה המרכזי?	זוג שמתאים רק למכפלה או רק לסכום אינו מספיק. שני התנאים חייבים להתקיים.
x^2-9x+20	איך יודעים שהדרך נכונה?	עוברים שלב אחר שלב ובודקים פעולה הפוכה.
x^2+2x-15	מה הטעות הצפויה?	טעות נפוצה: לבחור זוג עם מכפלה נכונה אבל סכום לא נכון, למשל $15$ ו- $- 1$ . מכפלתם $- 15$ , אבל סכומם $14$ .
מכפלה נכונה אינה מספיקה	איך נמנעים ממנה?	בכל טרינום כתבו לידו שתי מילים: מכפלה וסכום.

* הטבלה עוזרת לבחור דרך לפני תחילת החישוב, במיוחד בשאלות מבחן מעורבות.

דוגמת עומק: בודקים את פירוק טרינום ריבועי פשוט

שלב 1 מתוך 3

x^{2} - 9 x + 20

מה צריכים להיות המכפלה והסכום?

תרגול עומק: פירוק טרינום פשוט

בינוני

פרקו לגורמים:

x^{2} + 2 x - 15

תרגיל בדיקה: האם הפתרון באמת שקול?

בינוני

בדקו את הדוגמה המרכזית בעזרת דרך בדיקה שמתאימה למבנה שבחרתם.

(x - 4) (x - 5)

דוגמה נוספת: קבוע שלילי

שלב 1 מתוך 3

x^{2} + x - 20

איזה זוג מספרים מתאים?

תרגול נוסף: סימנים שונים בטרינום

בינוני

פרקו לגורמים:

x^{2} - 3 x - 28

תרגול דיוק: קבוע חיובי וסכום חיובי

בינוני

פרקו לגורמים:

x^{2} + 10 x + 21

כרטיסי בדיקה עצמית

המכפלה נותנת את הקבוע, הסכום נותן את האמצע

לחצו לגלות

זוג שמתאים רק למכפלה או רק לסכום אינו מספיק. שני התנאים חייבים להתקיים.

לחצו לחזור

$math/030-equation$

תבנית פירוק טרינום פשוט

לחצו לגלות

$x^{2} + 7 x + 12 = (x + 3) (x + 4)$

לחצו לחזור

איך בודקים?

לחצו לגלות

פותחים, מציבים או משווים לתחום ההצבה המקורי.

לחצו לחזור

מלכודת

לחצו לגלות

בכל טרינום כתבו לידו שתי מילים: מכפלה וסכום.

לחצו לחזור

בדיקת איכות לפני תשובה

בדיקה קצרה בסוף הפתרון מונעת את רוב הטעויות בפרק הזה.

ודאו שבחרתם כלי לפי מבנה הביטוי.
בדקו סימנים, מקדמים ותחום הצבה אם יש מכנה.
הפעילו פעולה הפוכה או הצבה מותרת כדי לאשר שקילות.
ענו במילים על השאלה: למה הצעד הזה חוקי?

תרגול עצמי קצר עם תשובות