גורם משותף והוצאת מינוס

הפעולה הראשונה ברוב הפירוקים

מה בונים במודול?

כאן מחפשים גורם שמופיע בכל איבר, כולל מצב שבו כדאי להוציא מינוס כדי לקבל סוגריים נוחים.

למצוא גורם משותף גדול

נבדוק מספרים, משתנים וחזקות שמופיעים בכל איבר.

להוציא מינוס נכון

נלמד איך לשנות סימנים בתוך הסוגריים כאשר מוציאים

- 1

לבדוק על ידי פתיחה

נפתח את הפירוק כדי לוודא שחזרנו לביטוי המקורי.

הרעיון המרכזי

לפני שמחפשים נוסחה מיוחדת או טרינום, מחפשים גורם משותף. זאת פעולה שמקטינה את הביטוי ומגלה את המבנה הפנימי שלו.

מה נמצא בכל איבר?

בביטוי $6 x^{2} + 9 x$ , שני האיברים מתחלקים ב- $3 x$ . לכן אפשר לכתוב $3 x (2 x + 3)$ .

הוצאת גורם משותף היא חוק הפילוג בכיוון ההפוך. מחפשים גורם שמופיע בכל איבר, מוציאים אותו מחוץ לסוגריים, ובתוך הסוגריים כותבים מה נשאר מכל איבר לאחר חלוקה בגורם.

ab + a c = a (b + c)

הגורם שמוציאים חייב לחלק את כל האיברים, לא רק חלק מהם.

טוען סימולציה...

כשכל הביטוי מתחיל באיבר שלילי, לעיתים נוח להוציא גורם שלילי כדי שהאיבר המוביל בתוך הסוגריים יהיה חיובי.

גורם משותף והוצאת מינוס

- 4 x^{2} + 12 x = - 4 x (x - 3)

פתיחת $- 4 x (x - 3)$ מחזירה $- 4 x^{2} + 12 x$ , ולכן הפירוק נכון.

דוגמה מודרכת: גורם מספרי ומשתנה

שלב 1 מתוך 2

12 x^{3} - 18 x^{2}

מה הגורם המשותף הגדול?

שיטה מסודרת

לפני שמתחילים לחשב, כדאי לעצור לשאלת ניווט קצרה: מה המבנה, מה הפעולה ההפוכה, ואיזה תנאי אסור לשכוח בסוף?

מסלול עבודה

$math/025-numbers$

מספרים

מוצאים מחלק משותף גדול של המקדמים.

לא חייבים להתחיל מהגדול ביותר, אבל עדיף.

אם נשאר פירוק נוסף, ממשיכים.

$math/028-symbols$

משתנים

לוקחים רק משתנים שמופיעים בכל האיברים.

בוחרים את החזקה הקטנה ביותר.

$x^{3}$ ו- $x^{2}$ נותנים גורם $x^{2}$ .

מינוס

אם מוציאים מינוס, כל הסימנים בסוגריים מתחלפים.

בודקים בפתיחה כדי לוודא.

מינוס מחוץ לסוגריים הוא גורם לכל דבר.

תרגול מודרך

עכשיו עוברים משיטה כללית לביצוע. נסו לענות על השאלה בכל שלב לפני פתיחת הפתרון, כי הזיהוי חשוב לא פחות מהתוצאה.

תרגיל: הוצאת גורם משותף

בינוני

פרקו לגורמים:

15 x^{2} - 10 x

גורם משותף יכול להיות מספר, משתנה, או ביטוי שלם. בכל פעם שואלים מה מופיע בכל האיברים.

וריאציות שכדאי לזהות

$8 a + 12$

$4 (2 a + 3)$ . הוצאנו את המחלק המספרי הגדול.

$x^{3} + 5 x^{2}$

$x^{2} (x + 5)$ . החזקה הקטנה שמופיעה בכל איבר היא $x^{2}$ .

$- y^{2} + 7 y$

$- y (y - 7)$ . הוצאת מינוס הופכת את הסימנים בתוך הסוגריים.

$2 (x + 1) + a (x + 1)$

$(x + 1) (2 + a)$ . גם ביטוי שלם יכול להיות גורם משותף.

מלכודת נפוצה

טעות חוזרת בפרק הזה מגיעה מהפעלת כלל נכון במקום הלא נכון. לכן בודקים לא רק את התוצאה, אלא גם את סוג האובייקט שעליו פעלנו.

פירוק חלקי מול פירוק מלא

עוצרים מוקדם מדי

מוציאים רק $5$ מתוך $15 x^{2} - 10 x$ ונשאר $5 (3 x^{2} - 2 x)$ . זה שקול, אבל לא מנצל את כל הגורם המשותף.

בודקים אם נשאר גורם משותף

אחרי כל הוצאה מסתכלים שוב בתוך הסוגריים. אם כל האיברים עדיין מתחלקים בגורם נוסף, ממשיכים לפרק.

פירוק מלא עוזר במיוחד בצמצום שברים אלגבריים ובפתרון משוואות.

שאלה לחשיבה

למה כדאי להוציא $- 1$ מתוך $- x + 4$ ולכתוב $- (x - 4)$ ?

לפעמים רוצים ליצור גורם שמתאים לגורם אחר, למשל $x - 4$ . הוצאת מינוס הופכת $- x + 4$ ל- $- (x - 4)$ , ואז אפשר לזהות גורמים משותפים או לצמצם.

כאשר תראו בהמשך $\frac{15 x ^{2} - 10 x}{5 x}$ , הפירוק $5 x (3 x - 2)$ יאפשר צמצום נכון של גורמים, לא של איברים בודדים.

העמקה ותרגול מבחן

מה חייבים לשלוט בו לפני שממשיכים?

זיהוי מבנה

לפני חישוב שואלים איזה מבנה מופיע בביטוי ואיזה כלי מתאים לו.

פעולה הפוכה

פתיחה בודקת פירוק, הצבה בודקת שקילות, ותחום בודק חלוקה באפס.

סימנים ותנאים

סימן מינוס ותחום הצבה אינם קישוט. הם חלק מהתשובה המתמטית.

בדיקה סופית

לפני חידון או מבחן, בודקים שהתוצאה חוזרת למקור בדרך חוקית.

טבלת החלטה מהירה

מה רואים	מה שואלים	מה עושים
גורם משותף והוצאת מינוס	מה המבנה המרכזי?	הגורם שמוציאים חייב לחלק את כל האיברים, לא רק חלק מהם.
12x^3-18x^2	איך יודעים שהדרך נכונה?	עוברים שלב אחר שלב ובודקים פעולה הפוכה.
15x^2-10x	מה הטעות הצפויה?	טעות נפוצה: לכתוב $5 (3 x^{2} - 2 x)$ . זה נכון חלקית, אבל לא פירוק מלא כי נשאר $x$ משותף בתוך הסוגריים.
פירוק חלקי מול פירוק מלא	איך נמנעים ממנה?	פירוק מלא עוזר במיוחד בצמצום שברים אלגבריים ובפתרון משוואות.

* הטבלה עוזרת לבחור דרך לפני תחילת החישוב, במיוחד בשאלות מבחן מעורבות.

דוגמת עומק: בודקים את גורם משותף והוצאת מינוס

שלב 1 מתוך 2

12 x^{3} - 18 x^{2}

מה הגורם המשותף הגדול?

תרגול עומק: הוצאת גורם משותף

בינוני

פרקו לגורמים:

15 x^{2} - 10 x

תרגיל בדיקה: האם הפתרון באמת שקול?

בינוני

בדקו את הדוגמה המרכזית בעזרת דרך בדיקה שמתאימה למבנה שבחרתם.

6 x^{2} (2 x - 3)

דוגמה נוספת: מוציאים מינוס כדי לקבל סוגריים נוחים

שלב 1 מתוך 2

- 6 x^{2} + 18 x

למה כדאי להוציא $- 6 x$ ולא רק $6 x$ ?

תרגול נוסף: גורם משותף עם מינוס

בינוני

פרקו לגורמים על ידי הוצאת גורם משותף:

- 12 x^{3} + 8 x^{2}

תרגול אתגר: התאמת סוגריים בעזרת מינוס

מאתגר

פרקו לגורמים לאחר התאמת הסוגריים:

7 (x - 4) - 2 x (4 - x)

כרטיסי בדיקה עצמית

מה נמצא בכל איבר?

לחצו לגלות

הגורם שמוציאים חייב לחלק את כל האיברים, לא רק חלק מהם.

לחצו לחזור

$math/030-equation$

גורם משותף והוצאת מינוס

לחצו לגלות

$- 4 x^{2} + 12 x = - 4 x (x - 3)$

לחצו לחזור

איך בודקים?

לחצו לגלות

פותחים, מציבים או משווים לתחום ההצבה המקורי.

לחצו לחזור

מלכודת

לחצו לגלות

פירוק מלא עוזר במיוחד בצמצום שברים אלגבריים ובפתרון משוואות.

לחצו לחזור

בדיקת איכות לפני תשובה

בדיקה קצרה בסוף הפתרון מונעת את רוב הטעויות בפרק הזה.

ודאו שבחרתם כלי לפי מבנה הביטוי.
בדקו סימנים, מקדמים ותחום הצבה אם יש מכנה.
הפעילו פעולה הפוכה או הצבה מותרת כדי לאשר שקילות.
ענו במילים על השאלה: למה הצעד הזה חוקי?

תרגול עצמי קצר עם תשובות