הפרש ריבועים

כשהאיבר האמצעי מתבטל ונשארת מכפלה קצרה

$math/004-square$ מה בונים במודול?

כאן לומדים לזהות שני ריבועים עם סימן חיסור ביניהם ולפרק אותם למכפלת סכום והפרש.

לזהות שני ריבועים

נבדוק אם שני האיברים הם ריבועים מושלמים ויש ביניהם חיסור.

לפרק למכפלה

נכתוב

(a - b) (a + b)

ונבין למה האיבר האמצעי מתבטל.

להימנע מהכללות שגויות

נבדיל בין הפרש ריבועים לבין סכום ריבועים, שלא מתפרק באותה דרך במספרים ממשיים.

הרעיון המרכזי

הפרש ריבועים הוא נוסחת פירוק חזקה במיוחד. במקום לפתוח סוגריים, מתחילים מביטוי כמו $x^{2} - 25$ ומחזירים אותו לשני גורמים.

שני ריבועים והפרש ביניהם

אם ביטוי נראה כמו $a^{2} - b^{2}$ , אפשר לפרק אותו לשני גורמים: אחד עם הפרש ואחד עם סכום.

כשפותחים את $(a - b) (a + b)$ , מקבלים $a^{2} + ab - ab - b^{2}$ . שני האיברים האמצעיים מתבטלים, ולכן נשאר $a^{2} - b^{2}$ . לכן הפירוק ההפוך נכון.

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

הסימן מינוס בין הריבועים הוא התנאי שמאפשר את הביטול של האיברים האמצעיים.

טוען סימולציה...

בכל פירוק הפרש ריבועים מתחילים בשאלה: מהו השורש של כל ריבוע?

נוסחת הפרש ריבועים

x^{2} - 49 = x^{2} - 7^{2} = (x - 7) (x + 7)

כאן השורשים הם $x$ ו- $7$ , ולכן הגורמים הם אותו זוג עם סימנים הפוכים.

דוגמה מודרכת: פירוק עם מקדם

שלב 1 מתוך 2

9 x^{2} - 16

מהם השורשים של שני הריבועים?

שיטה מסודרת

לפני שמתחילים לחשב, כדאי לעצור לשאלת ניווט קצרה: מה המבנה, מה הפעולה ההפוכה, ואיזה תנאי אסור לשכוח בסוף?

מסלול עבודה

שני איברים בלבד

הביטוי צריך להיות בן שני איברים.

ביניהם צריך להיות חיסור.

אם יש איבר אמצעי, ייתכן שמדובר בטרינום ולא בהפרש ריבועים.

$math/008-square root$

שורשים

מזהים את שורש האיבר הראשון.

מזהים את שורש האיבר השני.

שומרים מקדמים וחזקות בתוך השורש.

סימנים הפוכים

גורם אחד עם מינוס.

גורם אחד עם פלוס.

סדר הגורמים אינו משנה.

תרגול מודרך

עכשיו עוברים משיטה כללית לביצוע. נסו לענות על השאלה בכל שלב לפני פתיחת הפתרון, כי הזיהוי חשוב לא פחות מהתוצאה.

תרגיל: פירוק הפרש ריבועים

בינוני

פרקו לגורמים:

4 x^{2} - 81

הדוגמאות הבאות מראות איך אותו רעיון נראה במקדמים, בחזקות ובמספרים פשוטים.

וריאציות שכדאי לזהות

$x^{2} - 36$

$(x - 6) (x + 6)$ . השורשים הם $x$ ו- $6$ .

$25 y^{2} - 1$

$(5 y - 1) (5 y + 1)$ . גם $1$ הוא ריבוע.

$a^{4} - 16$

$(a^{2} - 4) (a^{2} + 4)$ . אפשר להמשיך לפרק את $a^{2} - 4$ .

בדיקה

בפתיחה, איברי האמצע חייבים להיות נגדיים: $+ ab$ ו- $- ab$ .

מלכודת נפוצה

טעות חוזרת בפרק הזה מגיעה מהפעלת כלל נכון במקום הלא נכון. לכן בודקים לא רק את התוצאה, אלא גם את סוג האובייקט שעליו פעלנו.

סכום ריבועים אינו הפרש ריבועים

הכל מתפרק לשני סוגריים

כותבים $x^{2} + 9 = (x + 3) (x - 3)$ . אבל פתיחת הסוגריים האלה נותנת $x^{2} - 9$ , לא סכום.

בודקים את הסימן

הנוסחה מתאימה רק ל- $a^{2} - b^{2}$ . אם הסימן בין הריבועים הוא פלוס, לא משתמשים בפירוק הזה במסגרת הפרק.

דרך בדיקה קצרה: פתחו את הפירוק המוצע. אם חזרתם לביטוי המקורי, הוא נכון.

שאלה לחשיבה

למה בביטוי $x^{4} - 81$ אפשר לראות הפרש ריבועים גם בלי $x^{2}$ מפורש?

כי $x^{4}$ הוא ריבוע של $x^{2}$ , ו- $81$ הוא ריבוע של $9$ . לכן $x^{4} - 81 = (x^{2} - 9) (x^{2} + 9)$ , ואפשר להמשיך לפרק את $x^{2} - 9$ .

הזהות מסבירה גם חישוב כמו $48 \cdot 52 = (50 - 2) (50 + 2) = 5 0^{2} - 2^{2} = 2496$ .

העמקה ותרגול מבחן

מה חייבים לשלוט בו לפני שממשיכים?

זיהוי מבנה

לפני חישוב שואלים איזה מבנה מופיע בביטוי ואיזה כלי מתאים לו.

פעולה הפוכה

פתיחה בודקת פירוק, הצבה בודקת שקילות, ותחום בודק חלוקה באפס.

סימנים ותנאים

סימן מינוס ותחום הצבה אינם קישוט. הם חלק מהתשובה המתמטית.

בדיקה סופית

לפני חידון או מבחן, בודקים שהתוצאה חוזרת למקור בדרך חוקית.

טבלת החלטה מהירה

מה רואים	מה שואלים	מה עושים
נוסחת הפרש ריבועים	מה המבנה המרכזי?	הסימן מינוס בין הריבועים הוא התנאי שמאפשר את הביטול של האיברים האמצעיים.
9x^2-16	איך יודעים שהדרך נכונה?	עוברים שלב אחר שלב ובודקים פעולה הפוכה.
4x^2-81	מה הטעות הצפויה?	טעות נפוצה: לפרק $x^{2} + 25$ באותה שיטה. סכום ריבועים אינו הפרש ריבועים, ולכן הנוסחה הזאת לא מתאימה לו במספרים ממשיים.
סכום ריבועים אינו הפרש ריבועים	איך נמנעים ממנה?	דרך בדיקה קצרה: פתחו את הפירוק המוצע. אם חזרתם לביטוי המקורי, הוא נכון.

* הטבלה עוזרת לבחור דרך לפני תחילת החישוב, במיוחד בשאלות מבחן מעורבות.

דוגמת עומק: בודקים את הפרש ריבועים

שלב 1 מתוך 2

9 x^{2} - 16

מהם השורשים של שני הריבועים?

תרגול עומק: פירוק הפרש ריבועים

בינוני

פרקו לגורמים:

4 x^{2} - 81

תרגיל בדיקה: האם הפתרון באמת שקול?

בינוני

בדקו את הדוגמה המרכזית בעזרת דרך בדיקה שמתאימה למבנה שבחרתם.

(3 x - 4) (3 x + 4)

דוגמה נוספת: שורשים שאינם רק $x$

שלב 1 מתוך 3

25 x^{2} - 49

מהם שני השורשים שנשתמש בהם?

תרגול נוסף: הפרש ריבועים עם מקדמים

בינוני

פרקו לגורמים:

16 x^{2} - 81

תרגול אתגר: גורם משותף לפני הפרש ריבועים

מאתגר

פרקו לגורמים עד הסוף:

2 x^{2} - 50

כרטיסי בדיקה עצמית

שני ריבועים והפרש ביניהם

לחצו לגלות

הסימן מינוס בין הריבועים הוא התנאי שמאפשר את הביטול של האיברים האמצעיים.

לחצו לחזור

$math/030-equation$

נוסחת הפרש ריבועים

לחצו לגלות

$x^{2} - 49 = x^{2} - 7^{2} = (x - 7) (x + 7)$

לחצו לחזור

איך בודקים?

לחצו לגלות

פותחים, מציבים או משווים לתחום ההצבה המקורי.

לחצו לחזור

מלכודת

לחצו לגלות

דרך בדיקה קצרה: פתחו את הפירוק המוצע. אם חזרתם לביטוי המקורי, הוא נכון.

לחצו לחזור

בדיקת איכות לפני תשובה

בדיקה קצרה בסוף הפתרון מונעת את רוב הטעויות בפרק הזה.

ודאו שבחרתם כלי לפי מבנה הביטוי.
בדקו סימנים, מקדמים ותחום הצבה אם יש מכנה.
הפעילו פעולה הפוכה או הצבה מותרת כדי לאשר שקילות.
ענו במילים על השאלה: למה הצעד הזה חוקי?

תרגול עצמי קצר עם תשובות