נוסחת ריבוע של הפרש

אותו מבנה כמו סכום, אבל האיבר האמצעי שלילי

מה בונים במודול?

כאן מתמקדים בריבוע של הפרש ובשמירת סימנים, במיוחד באיבר האמצעי

- 2 ab

לשמור את המינוס

נבין שהחלק השני הוא

- b

, ולכן שני איברי האמצע שליליים.

להבדיל מסכום

נשווה בין

(a + b)^{2}

לבין

(a - b)^{2}

לפתור דוגמאות עם מקדמים

נפתח ביטויים כמו

(3 x - 4)^{2}

בלי לאבד סימנים.

הרעיון המרכזי

ריבוע של הפרש אינו נוסחה חדשה לגמרי. הוא אותו רעיון של ריבוע סכום, אבל החלק השני הוא איבר שלילי.

שני איברים אמצעיים שליליים

הביטוי $(a - b)^{2}$ שווה ל- $(a - b) (a - b)$ . כשפותחים, מתקבלים שני איברי $- ab$ .

הפתיחה המלאה היא $a^{2} - ab - ab + b^{2}$ . כינוס שני איברי האמצע נותן $- 2 ab$ . הקבוע האחרון חיובי, כי $(- b) (- b) = b^{2}$ .

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

המינוס משפיע על האיבר האמצעי, אבל ריבוע החלק השני נשאר חיובי.

טוען סימולציה...

בנוסחת הפרש צריך לשאול שתי שאלות: מה החלק הראשון, מה החלק השני, ומה סימן האיבר האמצעי?

נוסחת ריבוע של הפרש

(x - 6)^{2} = x^{2} - 2 \cdot x \cdot 6 + 36 = x^{2} - 12 x + 36

הקבוע $36$ חיובי, אבל האיבר האמצעי $- 12 x$ שלילי כי הוא נוצר משני איברי $- 6 x$ .

דוגמה מודרכת: מקדם וחיסור

שלב 1 מתוך 3

(3 x - 4)^{2}

מהם $a$ ו- $b$ ?

שיטה מסודרת

לפני שמתחילים לחשב, כדאי לעצור לשאלת ניווט קצרה: מה המבנה, מה הפעולה ההפוכה, ואיזה תנאי אסור לשכוח בסוף?

מסלול עבודה

$math/004-square$

מזהים ריבוע שלם

הסוגריים כוללים הפרש.

כל הסוגריים בחזקה שנייה.

אין מפרקים את החזקה לכל איבר בנפרד.

האמצע שלילי

כותבים $- 2 ab$ .

שומרים את המקדם של האיבר הראשון.

שומרים את החלק השני כחיובי בתוך $b$ .

הקבוע חיובי

החלק האחרון הוא $b^{2}$ .

ריבוע של מספר שלילי חיובי.

אם הקבוע יצא שלילי, בדקו שוב.

תרגול מודרך

עכשיו עוברים משיטה כללית לביצוע. נסו לענות על השאלה בכל שלב לפני פתיחת הפתרון, כי הזיהוי חשוב לא פחות מהתוצאה.

תרגיל: ריבוע של הפרש

בינוני

פתחו:

(x - 9)^{2}

בכל דוגמה, האיבר האמצעי מספר את סיפור הסימן. הקבוע בסוף נשאר ריבוע חיובי.

וריאציות שכדאי לזהות

$(x - 3)^{2}$

$x^{2} - 6 x + 9$ . האיבר האמצעי הוא $- 2 \cdot x \cdot 3$ .

$(2 x - 5)^{2}$

$4 x^{2} - 20 x + 25$ . שימו לב גם לריבוע המקדם $2$ .

$(4 - y)^{2}$

$16 - 8 y + y^{2}$ . אפשר לסדר גם כ- $y^{2} - 8 y + 16$ .

בדיקה

הצבה של $x = 0$ צריכה להחזיר את הקבוע של הביטוי המקורי.

מלכודת נפוצה

טעות חוזרת בפרק הזה מגיעה מהפעלת כלל נכון במקום הלא נכון. לכן בודקים לא רק את התוצאה, אלא גם את סוג האובייקט שעליו פעלנו.

האם כל האיברים צריכים להיות שליליים?

הכל נהיה מינוס

יש תלמידים שמפזרים את המינוס על כל התוצאה וכותבים קבוע שלילי. זה מערבב בין חיסור לבין ריבוע.

רק האיבר האמצעי שלילי

הפתיחה היא $a^{2} - ab - ab + b^{2}$ . רק שני איברי האמצע שליליים. האיבר הראשון והאחרון הם ריבועים.

זכרו: בריבוע של הפרש הסימנים הם חיובי, שלילי, חיובי.

שאלה לחשיבה

אם $(10 - 1)^{2} = 81$ , איך הנוסחה מסבירה את הירידה מ- $100$ ל- $81$ ?

הנוסחה נותנת $1 0^{2} - 2 \cdot 10 \cdot 1 + 1^{2} = 100 - 20 + 1 = 81$ . לא רק מחסרים $1$ , אלא מחסרים שני מלבנים של $10$ ומחזירים ריבוע קטן של $1$ .

פירוק טרינום מושלם לריבוע של הפרש

ריבוע של הפרש ניתן לזיהוי גם בכיוון ההפוך: כשרואים טרינום עם איבר אמצעי שלילי, בודקים אם הוא מתאים לתבנית $a^{2} - 2 ab + b^{2}$ . הבדיקה זהה לטרינום מושלם של סכום, אלא שסימן האיבר האמצעי חייב להיות שלילי.

שלושה תנאים לטרינום מושלם של הפרש

כדי שטרינום יהיה ריבוע של הפרש, בודקים שלושה תנאים ברצף.

תנאי ראשון: האיבר הראשון הוא ריבוע חיובי $a^{2}$ . תנאי שני: האיבר האחרון הוא ריבוע חיובי $b^{2}$ . תנאי שלישי: האיבר האמצעי הוא בדיוק $- 2 ab$ - שלילי, פעמיים מכפלת שורשי הקצוות. אם כל שלושת התנאים מתקיימים, הטרינום שווה ל- $(a - b)^{2}$ .

a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2}

הקבוע האחרון חייב להיות חיובי. אם הוא שלילי, אי אפשר לפרק לריבוע של הפרש.

דוגמה מודרכת: פירוק לריבוע של הפרש

שלב 1 מתוך 3

x^{2} - 10 x + 25

מה השורש של האיבר האחרון $25$ ?

תרגיל: פירוק טרינום מושלם של הפרש

מאתגר

פרקו לגורמים:

9 x^{2} - 24 x + 16

כדי לחשב $4 9^{2}$ , אפשר לכתוב $(50 - 1)^{2} = 2500 - 100 + 1 = 2401$ . זאת בדיוק נוסחת ריבוע הפרש.

העמקה ותרגול מבחן

מה חייבים לשלוט בו לפני שממשיכים?

זיהוי מבנה

לפני חישוב שואלים איזה מבנה מופיע בביטוי ואיזה כלי מתאים לו.

פעולה הפוכה

פתיחה בודקת פירוק, הצבה בודקת שקילות, ותחום בודק חלוקה באפס.

סימנים ותנאים

סימן מינוס ותחום הצבה אינם קישוט. הם חלק מהתשובה המתמטית.

בדיקה סופית

לפני חידון או מבחן, בודקים שהתוצאה חוזרת למקור בדרך חוקית.

טבלת החלטה מהירה

מה רואים	מה שואלים	מה עושים
נוסחת ריבוע של הפרש	מה המבנה המרכזי?	המינוס משפיע על האיבר האמצעי, אבל ריבוע החלק השני נשאר חיובי.
(3x-4)^2	איך יודעים שהדרך נכונה?	עוברים שלב אחר שלב ובודקים פעולה הפוכה.
(x-9)^2	מה הטעות הצפויה?	טעות נפוצה: לקבל קבוע שלילי. הקבוע הוא ריבוע של $9$ , ולכן הוא $+ 81$ .
האם כל האיברים צריכים להיות שליליים?	איך נמנעים ממנה?	זכרו: בריבוע של הפרש הסימנים הם חיובי, שלילי, חיובי.

* הטבלה עוזרת לבחור דרך לפני תחילת החישוב, במיוחד בשאלות מבחן מעורבות.

דוגמת עומק: בודקים את נוסחת ריבוע של הפרש

שלב 1 מתוך 3

(3 x - 4)^{2}

מהם $a$ ו- $b$ ?

תרגול עומק: ריבוע של הפרש

בינוני

פתחו:

(x - 9)^{2}

תרגיל בדיקה: האם הפתרון באמת שקול?

בינוני

בדקו את הדוגמה המרכזית בעזרת דרך בדיקה שמתאימה למבנה שבחרתם.

9 x^{2} - 24 x + 16

דוגמה נוספת: האיבר האמצעי שלילי

שלב 1 מתוך 3

(2 x - 5)^{2}

איזה סימן צריך להיות לאיבר האמצעי?

תרגול נוסף: ריבוע הפרש עם מקדם

בינוני

פתחו בעזרת נוסחת ריבוע של הפרש:

(4 x - 1)^{2}

תרגול זיהוי: פירוק לריבוע של הפרש

מאתגר

פרקו אם הביטוי מתאים לנוסחת ריבוע של הפרש:

x^{2} - 14 x + 49

כרטיסי בדיקה עצמית

שני איברים אמצעיים שליליים

לחצו לגלות

המינוס משפיע על האיבר האמצעי, אבל ריבוע החלק השני נשאר חיובי.

לחצו לחזור

$math/030-equation$

נוסחת ריבוע של הפרש

לחצו לגלות

$(x - 6)^{2} = x^{2} - 2 \cdot x \cdot 6 + 36 = x^{2} - 12 x + 36$

לחצו לחזור

איך בודקים?

לחצו לגלות

פותחים, מציבים או משווים לתחום ההצבה המקורי.

לחצו לחזור

מלכודת

לחצו לגלות

זכרו: בריבוע של הפרש הסימנים הם חיובי, שלילי, חיובי.

לחצו לחזור

בדיקת איכות לפני תשובה

בדיקה קצרה בסוף הפתרון מונעת את רוב הטעויות בפרק הזה.

ודאו שבחרתם כלי לפי מבנה הביטוי.
בדקו סימנים, מקדמים ותחום הצבה אם יש מכנה.
הפעילו פעולה הפוכה או הצבה מותרת כדי לאשר שקילות.
ענו במילים על השאלה: למה הצעד הזה חוקי?

תרגול עצמי קצר עם תשובות