מכפלת דו-איבר בדו-איבר

ארבע מכפלות, כינוס איברים דומים ובדיקה בהצבה

מה בונים במודול?

כאן מחזקים את חוק הפילוג המורחב: כל איבר בסוגריים הראשון מוכפל בכל איבר בסוגריים השני, ורק בסוף כונסים איברים דומים.

לפתוח בצורה מלאה

נכפיל כל איבר בסוגריים הראשון בכל איבר בסוגריים השני.

לכנס בלי למהר

נזהה איברים דומים ונחבר רק אותם.

לבדוק תוצאה

נשתמש בהצבה קצרה כדי לוודא שהביטוי השקול באמת נותן אותו ערך.

הרעיון המרכזי

מכפלת סוגריים היא הרחבה של חוק הפילוג מכיתות ז' ו-ח'. במקום גורם אחד מחוץ לסוגריים, יש שני ביטויים. לכן כל זוג איברים צריך להיפגש פעם אחת.

כל איבר פוגש כל איבר

בביטוי $(a + b) (c + d)$ , הסוגריים השמאליים מייצגים בחירה אחת מתוך $a, b$ , והסוגריים הימניים מייצגים בחירה אחת מתוך $c, d$ .

כדי לשמור על כל האפשרויות, יוצרים ארבע מכפלות: $a c$ , $a d$ , $b c$ , $b d$ . אחר כך כונסים איברים דומים אם יש כאלה. המודל הגאומטרי של מלבן מחולק לארבעה חלקים עוזר לראות למה אף מכפלה אינה מיותרת.

(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d

פתיחה נכונה היא לא טריק זיכרון, אלא ספירה מסודרת של כל זוגות האיברים.

טוען סימולציה...

הנוסחה הבאה היא תבנית עבודה. היא מראה קודם את כל ארבע המכפלות ורק אחר כך את הכינוס.

חוק הפילוג המורחב

(x + 3) (x + 5) = x^{2} + 5 x + 3 x + 15 = x^{2} + 8 x + 15

שימו לב שהאיברים האמצעיים $5 x$ ו- $3 x$ הם איברים דומים, ולכן אפשר לכנס אותם ל- $8 x$ .

דוגמה מודרכת: פותחים ואז כונסים

שלב 1 מתוך 3

(2 x - 1) (x + 4)

מה הצעד הראשון בפתיחת $(2 x - 1) (x + 4)$ ?

שיטה מסודרת

לפני שמתחילים לחשב, כדאי לעצור לשאלת ניווט קצרה: מה המבנה, מה הפעולה ההפוכה, ואיזה תנאי אסור לשכוח בסוף?

מסלול עבודה

מסמנים ארבעה זוגות

איבר ראשון מול שני איברי הסוגר השני.

איבר שני מול שני איברי הסוגר השני.

לא מדלגים על מכפלה אמצעית.

שומרים סימנים

מינוס הוא חלק מהאיבר.

$(x - 3)$ פירושו איבר $- 3$ .

מכפלה של שני שליליים נותנת חיובי.

כונסים ובודקים

כונסים רק איברים עם אותה חזקה של $x$ .

מציבים ערך פשוט לבדיקת שקילות.

אם ההצבה לא מתאימה, חוזרים לארבע המכפלות.

תרגול מודרך

עכשיו עוברים משיטה כללית לביצוע. נסו לענות על השאלה בכל שלב לפני פתיחת הפתרון, כי הזיהוי חשוב לא פחות מהתוצאה.

תרגיל: מכפלה עם סימן שלילי

בינוני

פתחו וכנסו את הביטוי:

(x - 6) (x + 2)

אחרי שראינו דוגמה מלאה, כדאי להכיר כמה תבניות חוזרות. בכל דוגמה שימו לב האם המאמץ העיקרי הוא סימן, כינוס או בדיקת כל ארבע המכפלות.

וריאציות שכדאי לזהות

$(x + 1) (x + 9)$

$x^{2} + 10 x + 9$ . הסימנים חיוביים, לכן גם האיבר הקווי וגם הקבוע חיוביים.

$(x - 4) (x - 5)$

$x^{2} - 9 x + 20$ . שני קבועים שליליים נותנים קבוע חיובי, אבל הסכום שלהם שלילי.

$(3 x + 2) (x - 7)$

$3 x^{2} - 21 x + 2 x - 14 = 3 x^{2} - 19 x - 14$ . כאן חשוב לכנס רק את האיברים הקוויים.

בדיקה בהצבה

אם הצבתם $x = 0$ , הביטוי המקורי והתוצאה צריכים לתת את אותו קבוע.

מלכודת נפוצה

טעות חוזרת בפרק הזה מגיעה מהפעלת כלל נכון במקום הלא נכון. לכן בודקים לא רק את התוצאה, אלא גם את סוג האובייקט שעליו פעלנו.

למה שתי המכפלות האמצעיות נעלמות אצל תלמידים?

מה שחושבים בטעות

רואים את הקצוות וכותבים רק $x \cdot x$ ואת מכפלת הקבועים. זה מתאים לפעולה שלא קיימת: כפל רק של איברים במקומות תואמים.

מה נכון לעשות

כל איבר בסוגריים הראשון מוכפל בכל איבר בסוגריים השני. אם מתקבלות ארבע מכפלות לפני הכינוס, המבנה נשמר.

בדיקת הצבה אחת אינה הוכחה מלאה, אבל היא דרך טובה לגלות במהירות ששכחתם מכפלה.

שאלה לחשיבה

למה במכפלה $(x + 2) (x + 7)$ האיבר הקווי הוא $9 x$ ולא $14 x$ ?

האיבר $14$ הוא מכפלת הקבועים $2 \cdot 7$ . האיבר הקווי נוצר משתי המכפלות $7 x$ ו- $2 x$ , ולכן הוא $9 x$ .

פירוק לגורמים הוא פעולה הפוכה לפתיחת סוגריים. אם יודעים לבנות את ארבע המכפלות, קל יותר לשאול בהמשך: אילו שני סוגריים יצרו את הטרינום הזה?

העמקה ותרגול מבחן

מה חייבים לשלוט בו לפני שממשיכים?

זיהוי מבנה

לפני חישוב שואלים איזה מבנה מופיע בביטוי ואיזה כלי מתאים לו.

פעולה הפוכה

פתיחה בודקת פירוק, הצבה בודקת שקילות, ותחום בודק חלוקה באפס.

סימנים ותנאים

סימן מינוס ותחום הצבה אינם קישוט. הם חלק מהתשובה המתמטית.

בדיקה סופית

לפני חידון או מבחן, בודקים שהתוצאה חוזרת למקור בדרך חוקית.

טבלת החלטה מהירה

מה רואים	מה שואלים	מה עושים
חוק הפילוג המורחב	מה המבנה המרכזי?	פתיחה נכונה היא לא טריק זיכרון, אלא ספירה מסודרת של כל זוגות האיברים.
(2x-1)(x+4)	איך יודעים שהדרך נכונה?	עוברים שלב אחר שלב ובודקים פעולה הפוכה.
(x-6)(x+2)	מה הטעות הצפויה?	טעות נפוצה: לכתוב $x^{2} - 12$ בלבד. זה מדלג על שתי המכפלות האמצעיות, ולכן אינו שקול לביטוי המקורי.
למה שתי המכפלות האמצעיות נעלמות אצל תלמידים?	איך נמנעים ממנה?	בדיקת הצבה אחת אינה הוכחה מלאה, אבל היא דרך טובה לגלות במהירות ששכחתם מכפלה.

* הטבלה עוזרת לבחור דרך לפני תחילת החישוב, במיוחד בשאלות מבחן מעורבות.

דוגמת עומק: בודקים את מכפלת דו-איבר בדו-איבר

שלב 1 מתוך 3

(2 x - 1) (x + 4)

מה הצעד הראשון בפתיחת $(2 x - 1) (x + 4)$ ?

תרגול עומק: מכפלה עם סימן שלילי

בינוני

פתחו וכנסו את הביטוי:

(x - 6) (x + 2)

תרגיל בדיקה: האם הפתרון באמת שקול?

בינוני

בדקו את הדוגמה המרכזית בעזרת דרך בדיקה שמתאימה למבנה שבחרתם.

2 x^{2} + 7 x - 4

דוגמה נוספת: מקדם בכל סוגריים

שלב 1 מתוך 3

(3 x + 2) (2 x - 5)

איזו שורה שומרת על כל המכפלות של $(3 x + 2) (2 x - 5)$ ?

תרגול נוסף: ארבע מכפלות עם קבוע שלילי

בינוני

פתחו וכנסו את הביטוי:

(2 x + 3) (x - 4)

תרגול אתגר: בדיקת סימנים וכינוס

מאתגר

פתחו, כנסו ובדקו בעזרת הצבה פשוטה:

(5 x - 2) (x - 3)

כרטיסי בדיקה עצמית

כל איבר פוגש כל איבר

לחצו לגלות

פתיחה נכונה היא לא טריק זיכרון, אלא ספירה מסודרת של כל זוגות האיברים.

לחצו לחזור

$math/030-equation$

חוק הפילוג המורחב

לחצו לגלות

$(x + 3) (x + 5) = x^{2} + 5 x + 3 x + 15 = x^{2} + 8 x + 15$

לחצו לחזור

איך בודקים?

לחצו לגלות

פותחים, מציבים או משווים לתחום ההצבה המקורי.

לחצו לחזור

מלכודת

לחצו לגלות

בדיקת הצבה אחת אינה הוכחה מלאה, אבל היא דרך טובה לגלות במהירות ששכחתם מכפלה.

לחצו לחזור

בדיקת איכות לפני תשובה

בדיקה קצרה בסוף הפתרון מונעת את רוב הטעויות בפרק הזה.

ודאו שבחרתם כלי לפי מבנה הביטוי.
בדקו סימנים, מקדמים ותחום הצבה אם יש מכנה.
הפעילו פעולה הפוכה או הצבה מותרת כדי לאשר שקילות.
ענו במילים על השאלה: למה הצעד הזה חוקי?

תרגול עצמי קצר עם תשובות