תחום הצבה בשברים אלגבריים

לפני שמצמצמים, מוצאים מה אסור להציב

מה בונים במודול?

כאן מתחילים מכלל שלא מדלגים עליו: קובעים תחום הצבה מהמכנה המקורי לפני כל צמצום.

לזהות מכנים

נבדוק כל מכנה בביטוי לפני כל פעולה אחרת.

לפתור מכנה שווה אפס

נמצא את הערכים שמאפסים את המכנה ונוציא אותם מהתחום.

לשמור תחום אחרי צמצום

נבין למה ערך אסור נשאר אסור גם אם הגורם הצטמצם.

הרעיון המרכזי

שבר אלגברי הוא ביטוי עם תנאי שימוש. לפני שמצמצמים או פותרים, חייבים לדעת אילו הצבות גורמות לחלוקה באפס.

המכנה קובע את התחום

בביטוי $\frac{x + 2}{x - 5}$ , ההצבה $x = 5$ הופכת את המכנה לאפס. לכן היא אסורה.

תחום ההצבה הוא קבוצת הערכים שמותר להציב בביטוי. בשברים אלגבריים בודקים את כל המכנים המקוריים. גם אם בהמשך מצמצמים גורם, הערך שאיפס אותו במקור נשאר מחוץ לתחום.

x - 5 \neq = 0, x \neq = 5

תחום הצבה אינו הערת שוליים. הוא חלק מההגדרה של הביטוי.

טוען סימולציה...

הדוגמה הבאה מראה למה התחום נקבע לפני הצמצום. הגורם $x - 3$ אמנם מצטמצם, אבל הערך $3$ היה אסור בביטוי המקורי.

תחום לפני צמצום

\frac{x ^{2} - 9}{x - 3} = \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{x - 3} = x + 3, x \neq = 3

הביטוי המצומצם $x + 3$ נראה מותר לכל $x$ , אבל הוא מייצג את השבר המקורי רק עבור $x \neq = 3$ .

דוגמה מודרכת: מכנה מפורק

שלב 1 מתוך 3

\frac{2 x + 1}{x ^{2} - 4}

איזה חלק קובע את תחום ההצבה?

שיטה מסודרת

לפני שמתחילים לחשב, כדאי לעצור לשאלת ניווט קצרה: מה המבנה, מה הפעולה ההפוכה, ואיזה תנאי אסור לשכוח בסוף?

מסלול עבודה

לפני הכל: מכנים

מעתיקים כל מכנה מקורי.

לא מצמצמים לפני בדיקת תחום.

אם יש כמה שברים, בודקים את כולם.

$math/030-equation$

פותרים אפס

משווים כל מכנה לאפס.

מפרקים אם צריך.

כל פתרון של המכנה הוא ערך אסור.

שומרים בתשובה

כותבים $x \neq = ...$ .

שומרים את ההגבלה גם אחרי צמצום.

בפתרון משוואות בודקים שהפתרון בתחום.

תרגול מודרך

עכשיו עוברים משיטה כללית לביצוע. נסו לענות על השאלה בכל שלב לפני פתיחת הפתרון, כי הזיהוי חשוב לא פחות מהתוצאה.

תרגיל: תחום הצבה

בינוני

מצאו את תחום ההצבה:

\frac{x + 1}{x ^{2} - 5 x}

בתחום הצבה אין צורך לפתור את כל הביטוי. מתמקדים במכנים המקוריים בלבד.

וריאציות שכדאי לזהות

$\frac{3}{x + 7}$

תחום: $x \neq = - 7$ . כי $x + 7 = 0$ כאשר $x = - 7$ .

$\frac{x}{( x - 1 ) ( x + 4 )}$

תחום: $x \neq = 1, - 4$ . שני הגורמים במכנה נבדקים.

$\frac{x - 2}{x ^{2} - 4}$

תחום: $x \neq = 2, - 2$ . גם אם אפשר לצמצם $x - 2$ , הערך $2$ נשאר אסור.

מונה אפס

אם המונה מתאפס, השבר יכול להיות $0$ . זאת אינה בעיה כל עוד המכנה אינו אפס.

מלכודת נפוצה

טעות חוזרת בפרק הזה מגיעה מהפעלת כלל נכון במקום הלא נכון. לכן בודקים לא רק את התוצאה, אלא גם את סוג האובייקט שעליו פעלנו.

תחום אחרי צמצום אינו התחום המקורי

צמצמתי ולכן מותר

ב- $\frac{x ^{2} - 9}{x - 3}$ מצמצמים ל- $x + 3$ וחושבים ש- $x = 3$ מותר.

התחום נקבע לפני הצמצום

בביטוי המקורי $x = 3$ מאפס את המכנה. הצמצום נותן ביטוי שקול רק בתחום שבו השבר המקורי מוגדר.

כל פעם שמצמצמים גורם שהיה במכנה, בודקים אם הוא יצר ערך אסור.

שאלה לחשיבה

למה מותר להציב ערך שמאפס את המונה אבל אסור להציב ערך שמאפס את המכנה?

מונה אפס נותן שבר שערכו $0$ , למשל $\frac{0}{5} = 0$ . מכנה אפס דורש חלוקה באפס, וזו פעולה שאינה מוגדרת, למשל $\frac{5}{0}$ .

בפרקים על פונקציות רציונליות לומדים שערך שנאסר ואז הגורם שלו הצטמצם יוצר לעיתים חור בגרף. כאן חשוב רק לזכור שהוא עדיין מחוץ לתחום.

העמקה ותרגול מבחן

מה חייבים לשלוט בו לפני שממשיכים?

זיהוי מבנה

לפני חישוב שואלים איזה מבנה מופיע בביטוי ואיזה כלי מתאים לו.

פעולה הפוכה

פתיחה בודקת פירוק, הצבה בודקת שקילות, ותחום בודק חלוקה באפס.

סימנים ותנאים

סימן מינוס ותחום הצבה אינם קישוט. הם חלק מהתשובה המתמטית.

בדיקה סופית

לפני חידון או מבחן, בודקים שהתוצאה חוזרת למקור בדרך חוקית.

טבלת החלטה מהירה

מה רואים	מה שואלים	מה עושים
תחום לפני צמצום	מה המבנה המרכזי?	תחום הצבה אינו הערת שוליים. הוא חלק מההגדרה של הביטוי.
\frac{2x+1}{x^2-4}	איך יודעים שהדרך נכונה?	עוברים שלב אחר שלב ובודקים פעולה הפוכה.
\frac{x+1}{x^2-5x}	מה הטעות הצפויה?	טעות נפוצה: להסתכל גם על המונה ולפסול $x = - 1$ . מונה אפס מותר, מכנה אפס אסור.
תחום אחרי צמצום אינו התחום המקורי	איך נמנעים ממנה?	כל פעם שמצמצמים גורם שהיה במכנה, בודקים אם הוא יצר ערך אסור.

* הטבלה עוזרת לבחור דרך לפני תחילת החישוב, במיוחד בשאלות מבחן מעורבות.

דוגמת עומק: בודקים את תחום הצבה בשברים אלגבריים

שלב 1 מתוך 3

\frac{2 x + 1}{x ^{2} - 4}

איזה חלק קובע את תחום ההצבה?

תרגול עומק: תחום הצבה

בינוני

מצאו את תחום ההצבה:

\frac{x + 1}{x ^{2} - 5 x}

תרגיל בדיקה: האם הפתרון באמת שקול?

בינוני

בדקו את הדוגמה המרכזית בעזרת דרך בדיקה שמתאימה למבנה שבחרתם.

x \neq = 2, - 2

דוגמה נוספת: תחום לפני צמצום אפשרי

שלב 1 מתוך 3

\frac{x + 2}{x ^{2} - x - 6}

איזה חלק בביטוי קובע את תחום ההצבה?

תרגול נוסף: ערך שמתבטל עדיין אסור

בינוני

מצאו את תחום ההצבה:

\frac{x - 4}{x ^{2} - 16}

תרגול דיוק: טרינום במכנה

מאתגר

מצאו את תחום ההצבה:

\frac{x + 1}{x ^{2} + 5 x + 6}

כרטיסי בדיקה עצמית

המכנה קובע את התחום

לחצו לגלות

תחום הצבה אינו הערת שוליים. הוא חלק מההגדרה של הביטוי.

לחצו לחזור

$math/030-equation$

תחום לפני צמצום

לחצו לגלות

$\frac{x ^{2} - 9}{x - 3} = \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{x - 3} = x + 3, x \neq = 3$

לחצו לחזור

איך בודקים?

לחצו לגלות

פותחים, מציבים או משווים לתחום ההצבה המקורי.

לחצו לחזור

מלכודת

לחצו לגלות

כל פעם שמצמצמים גורם שהיה במכנה, בודקים אם הוא יצר ערך אסור.

לחצו לחזור

בדיקת איכות לפני תשובה

בדיקה קצרה בסוף הפתרון מונעת את רוב הטעויות בפרק הזה.

ודאו שבחרתם כלי לפי מבנה הביטוי.
בדקו סימנים, מקדמים ותחום הצבה אם יש מכנה.
הפעילו פעולה הפוכה או הצבה מותרת כדי לאשר שקילות.
ענו במילים על השאלה: למה הצעד הזה חוקי?

תרגול עצמי קצר עם תשובות