השלמה לריבוע

להפוך טרינום למבנה של ריבוע

מה נבנה במודול הזה

השלמה לריבוע היא יותר מטריק. היא מראה איך כל ביטוי מהצורה

x^{2} + b x

יכול להפוך לריבוע מושלם אחרי שמוסיפים ומחסרים את המספר הנכון.

לזהות ריבוע מושלם

לזהות ריבוע מושלם

להוסיף את $(\frac{b}{2})^{2}$

להוסיף את

(\frac{b}{2})^{2}

לפתור משוואות שאינן מתפרקות בקלות

לפתור משוואות שאינן מתפרקות בקלות

להבין מאיפה נוסחת השורשים מגיעה

להבין מאיפה נוסחת השורשים מגיעה

הרעיון המרכזי

המספר החסר הוא חצי המקדם בריבוע

בביטוי $x^{2} + 6 x$ , חצי מ- $6$ הוא $3$ , ולכן מוסיפים $9$ .

$x^{2} + 6 x + 9$ הוא $(x + 3)^{2}$ . אם במשוואה מוסיפים $9$ לאגף אחד, מוסיפים $9$ גם לאגף השני.

x^{2} + b x = (x + \frac{b}{2})^{2} - (\frac{b}{2})^{2}

השלמה לריבוע מחברת אלגברה, שטח ונוסחת השורשים.

תמונה הממחישה את השלמה לריבוע בעזרת מודל שטח של ריבוע וחלקים משלימים — מודל השטח מראה למה מוסיפים את חצי המקדם בריבוע כדי לקבל ריבוע מושלם.

טוען סימולציה...

תמצית

x^{2} + b x + (\frac{b}{2})^{2} = (x + \frac{b}{2})^{2}

מה חייבים לדעת לעשות?

לזהות ריבוע מושלם

להוסיף את $(\frac{b}{2})^{2}$

לפתור משוואות שאינן מתפרקות בקלות

להבין מאיפה נוסחת השורשים מגיעה

בשלב הזה חשוב לעבוד לאט ומדויק. בכל מעבר שואלים מה השתנה, האם הפעולה שקולה, והאם שמרנו על כל האפשרויות של הפתרון.

איזה מספר משלים לריבוע?

ביטוי	חצי המקדם	השלמה	ריבוע מושלם
$x^{2} + 6 x$	$3$	$9$	$(x + 3)^{2}$
$x^{2} - 10 x$	$- 5$	$25$	$(x - 5)^{2}$
$x^{2} + x$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$(x + \frac{1}{2})^{2}$
$x^{2} - 4 x$	$- 2$	$4$	$(x - 2)^{2}$

* הטבלה מיועדת לזיהוי מבנה. פתרון מלא עדיין דורש כתיבה מסודרת ובדיקה.

שיטה מסודרת

מסלול עבודה מומלץ

מזהים $b$

מתחילים בביטוי $x^{2} + b x$ .

מוצאים חצי של $b$ .

מעלים את החצי בריבוע.

מאזנים

מוסיפים אותו מספר לשני אגפים.

כותבים ריבוע מושלם.

לא משנים את קבוצת הפתרונות.

$math/008-square root$

פותרים שורש

מבודדים את הריבוע.

מוציאים שורש עם שני סימנים.

מחזירים את ההזזה.

דוגמאות פתורות

דוגמה: ריבוע שמוביל לשני פתרונות

x^{2} + 6 x + 5 = 0

דוגמה: פתרון עם שורש לא שלם

x^{2} - 4 x - 1 = 0

תרגול עצמי

השלימו ופתרו

מאתגר

פתרו בעזרת השלמה לריבוע: $x^{2} + 8 x + 7 = 0$ .

x^{2} + 8 x + 7 = 0

שאלה לחשיבה

למה השלמה לריבוע נלמדת גם אם יש נוסחת שורשים?

כי היא מסבירה את המבנה שממנו נוסחת השורשים נובעת, וגם מחזקת הבנה של הצגה קדקודית בפרק הפונקציה הריבועית.

זה כלי הבנה, לא רק כלי חישוב.

העמקה ותרגול מדורג

השלמה לריבוע הופכת ביטוי ריבועי למבנה שאפשר לפתור בעזרת שורשים. המהלך המרכזי הוא לקחת חצי ממקדם $x$ ולרבע אותו.

שלושה סימנים שכדאי לשים לב אליהם

חצי ואז ריבוע

ב- $x^{2} + 10 x$ , חצי מ- $10$ הוא $5$ , והריבוע הוא $25$ .

הסימן נשמר בתוך הסוגריים

$x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2}$ .

מאזנים את המשוואה

אם מוסיפים $25$ לאגף אחד, מוסיפים גם לאגף השני.

דוגמה: השלמה לריבוע עם מקדם זוגי

x^{2} + 10 x + 16 = 0

תרגול עם בחירה ונימוק

התרגילים הבאים מוסיפים החלטה קטנה בכל פעם: איזו שיטה מתאימה, איזה סימן נשמר, ואיך בודקים את התוצאה.

השלימו ופתרו

בינוני

פתרו בהשלמה לריבוע: $x^{2} - 6 x + 5 = 0$ .

x^{2} - 6 x + 5 = 0

מקדם אי זוגי

בינוני

פתרו בהשלמה לריבוע: $x^{2} + 3 x - 4 = 0$ .

x^{2} + 3 x - 4 = 0

חצי המקדם ואז ריבוע

בינוני

פתרו בהשלמה לריבוע: $x^{2} + 8 x + 7 = 0$ .

x^{2} + 8 x + 7 = 0

השלמה עם חצאים

מאתגר

פתרו בהשלמה לריבוע: $x^{2} - 5 x + 4 = 0$ .

x^{2} - 5 x + 4 = 0

טעות נפוצה מול דרך בטוחה

טעות נפוצה

מוסיפים חצי מהמקדם במקום את ריבוע החצי.

דרך בטוחה

כותבים בצד: חצי מקדם, ואז ריבוע החצי. רק הריבוע נכנס למשוואה.

בכל פעם שמופיע ספק, חוזרים לשורה הקודמת ובודקים שקילות.

שאלה לחשיבה

מה הקשר בין השלמה לריבוע לבין נוסחת השורשים?

נוסחת השורשים מתקבלת כאשר משלימים לריבוע במשוואה הכללית $a x^{2} + b x + c = 0$ .

המטרה אינה לבחור תמיד אותה שיטה, אלא לשלוט בכמה דרכים.

בדיקת איכות לפני שממשיכים

נסו לומר בקול מה הייתה הפעולה הראשונה, למה היא הייתה מותרת, ואיך תדעו שהתשובה נכונה.

האם המשוואה סודרה לאפס כשצריך?
האם שמרתם על שני סימני השורש?
האם בדקתם פתרון או קבילות?

שאלה 1 מתוך 14

מה המספר המשלים ב- $x^{2} + 10 x$ ?

המשך קריאה

עוד עמודים שיכולים לחבר את מה שלמדתם עכשיו

בפרקפתרון בעזרת פירוק לגורמים בפרקנוסחת השורשים קשורמכפלה אפס ומשוואות

a x^{2} + b x = 0

קשורפירוק טרינום ריבועי

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של השלמה לריבוע כבר מוכן.

פתחו תרגול

השלמה לריבוע

מה נבנה במודול הזה

הרעיון המרכזי

המספר החסר הוא חצי המקדם בריבוע

מה חייבים לדעת לעשות?

לזהות ריבוע מושלם

להוסיף את (2b​)2

לפתור משוואות שאינן מתפרקות בקלות

להבין מאיפה נוסחת השורשים מגיעה

איזה מספר משלים לריבוע?

שיטה מסודרת

מסלול עבודה מומלץ

מזהים b

מאזנים

פותרים שורש

דוגמאות פתורות

דוגמה: ריבוע שמוביל לשני פתרונות

דוגמה: פתרון עם שורש לא שלם

תרגול עצמי

השלימו ופתרו

שאלה לחשיבה

העמקה ותרגול מדורג

שלושה סימנים שכדאי לשים לב אליהם

חצי ואז ריבוע

הסימן נשמר בתוך הסוגריים

מאזנים את המשוואה

דוגמה: השלמה לריבוע עם מקדם זוגי

תרגול עם בחירה ונימוק

השלימו ופתרו

מקדם אי זוגי

חצי המקדם ואז ריבוע

השלמה עם חצאים

טעות נפוצה מול דרך בטוחה

טעות נפוצה

דרך בטוחה

שאלה לחשיבה

בדיקת איכות לפני שממשיכים

מה המספר המשלים ב-x2+10x?