למה כדאי לחשב \Delta לפני כל הנוסחה?

כי הוא מצמצם עבודה: אם \Delta<0, יודעים שאין פתרונות ממשיים; אם \Delta=0, יש רק פתרון אחד.

נוסחת השורשים ודיסקרימיננטה

הדרך הכללית לפתרון משוואה ריבועית

מה נבנה במודול הזה

נוסחת השורשים פותרת כל משוואה ריבועית מהצורה

a x^{2} + b x + c = 0

. הדיסקרימיננטה

Δ = b^{2} - 4 a c

מספרת עוד לפני הסוף כמה פתרונות ממשיים יהיו.

להציב נכון את $a, b, c$

להציב נכון את

a, b, c

לחשב דיסקרימיננטה

לחשב דיסקרימיננטה

ליישם את נוסחת השורשים

ליישם את נוסחת השורשים

להבין מתי מקבלים שני פתרונות, אחד או אף אחד

להבין מתי מקבלים שני פתרונות, אחד או אף אחד

הרעיון המרכזי

נוסחה אחת לכל משוואה ריבועית

כאשר $a \neq = 0$ , הפתרונות הם $x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}$ .

החלק שמתחת לשורש נקרא דיסקרימיננטה. אם הוא חיובי יש שני שורשים, אם הוא אפס יש שורש אחד, ואם הוא שלילי אין פתרונות ממשיים.

x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}

הנוסחה חזקה, אבל עדיין מתחילים בסידור נכון ובקריאת מקדמים עם סימנים.

תמצית

Δ = b^{2} - 4 a c, x = \frac{- b \pm Δ}{2 a}

מה חייבים לדעת לעשות?

להציב נכון את $a, b, c$

לחשב דיסקרימיננטה

ליישם את נוסחת השורשים

להבין מתי מקבלים שני פתרונות, אחד או אף אחד

בשלב הזה חשוב לעבוד לאט ומדויק. בכל מעבר שואלים מה השתנה, האם הפעולה שקולה, והאם שמרנו על כל האפשרויות של הפתרון.

מה הדיסקרימיננטה מספרת?

ערך $Δ$	שורש	מספר פתרונות
$Δ > 0$	שורש חיובי	שני פתרונות ממשיים
$Δ = 0$	שורש של אפס	פתרון ממשי אחד
$Δ < 0$	שורש שלילי	אין פתרון ממשי
$Δ = 25$	$25 = 5$	שני פתרונות רציונליים

* הטבלה מיועדת לזיהוי מבנה. פתרון מלא עדיין דורש כתיבה מסודרת ובדיקה.

שיטה מסודרת

מסלול עבודה מומלץ

מקדמים

מסדרים ל- $a x^{2} + b x + c = 0$ .

כותבים $a, b, c$ כולל סימנים.

בודקים ש- $a \neq = 0$ .

דיסקרימיננטה

מחשבים $b^{2} - 4 a c$ .

שמים לב לסימן של $c$ .

קובעים מספר פתרונות.

$math/030-equation$

נוסחה

מציבים בזהירות.

מחלקים ב- $2 a$ .

מפשטים אם אפשר.

דוגמאות פתורות

דוגמה: שני פתרונות

2 x^{2} - 3 x - 2 = 0

דוגמה: שורש לא רציונלי

x^{2} + 4 x + 1 = 0

תרגול עצמי

הצבה בנוסחת השורשים

בינוני

פתרו: $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ .

x^{2} - 5 x + 6 = 0

שאלה לחשיבה

למה כדאי לחשב $Δ$ לפני כל הנוסחה?

כי הוא מצמצם עבודה: אם $Δ < 0$ , יודעים שאין פתרונות ממשיים; אם $Δ = 0$ , יש רק פתרון אחד.

הדיסקרימיננטה היא כלי החלטה, לא רק שלב טכני.

העמקה ותרגול מדורג

נוסחת השורשים היא כלי כללי, אבל היא דורשת משמעת: סידור לאפס, קריאת מקדמים עם סימנים, חישוב דיסקרימיננטה, ורק אחר כך הצבה.

שלושה סימנים שכדאי לשים לב אליהם

קוראים מקדמים רק אחרי סידור

ב- $2 x^{2} + 3 = 5 x$ קודם כותבים $2 x^{2} - 5 x + 3 = 0$ .

$Δ$ הוא כלי החלטה

לפני חישוב מלא, $Δ$ אומר אם יהיו שני פתרונות, פתרון אחד או אין פתרון ממשי.

$- b$ דורש תשומת לב

אם $b = - 7$ , אז $- b = 7$ .

דוגמה: נוסחה עם מקדם מוביל

3 x^{2} + 2 x - 1 = 0

תרגול עם בחירה ונימוק

התרגילים הבאים מוסיפים החלטה קטנה בכל פעם: איזו שיטה מתאימה, איזה סימן נשמר, ואיך בודקים את התוצאה.

אין פתרונות ממשיים לפי הדיסקרימיננטה

בינוני

פתרו בממשיים: $2 x^{2} + 4 x + 5 = 0$ .

2 x^{2} + 4 x + 5 = 0

שורשים לא רציונליים

בינוני

פתרו: $x^{2} + 6 x + 2 = 0$ .

x^{2} + 6 x + 2 = 0

דיסקרימיננטה אפס בנוסחה

בינוני

פתרו בעזרת נוסחת השורשים: $4 x^{2} - 4 x + 1 = 0$ .

4 x^{2} - 4 x + 1 = 0

קודם צורה סטנדרטית

מאתגר

פתרו: $2 x^{2} + 3 x = 5$ .

2 x^{2} + 3 x = 5

טעות נפוצה מול דרך בטוחה

טעות נפוצה

שוכחים להפוך את סימן $b$ .

דרך בטוחה

כותבים את $a, b, c$ בשורה נפרדת ואז מציבים לאט בנוסחה.

בכל פעם שמופיע ספק, חוזרים לשורה הקודמת ובודקים שקילות.

שאלה לחשיבה

מתי כדאי להשתמש בנוסחת השורשים גם אם אפשר לפרק לגורמים?

כאשר רוצים לבדוק תשובה, כאשר הפירוק אינו ברור, או כאשר המקדם המוביל מקשה על פירוק מהיר.

המטרה אינה לבחור תמיד אותה שיטה, אלא לשלוט בכמה דרכים.

בדיקת איכות לפני שממשיכים

נסו לומר בקול מה הייתה הפעולה הראשונה, למה היא הייתה מותרת, ואיך תדעו שהתשובה נכונה.

האם המשוואה סודרה לאפס כשצריך?
האם שמרתם על שני סימני השורש?
האם בדקתם פתרון או קבילות?

שאלה 1 מתוך 14

אם $Δ < 0$ , אז...

המשך קריאה

עוד עמודים שיכולים לחבר את מה שלמדתם עכשיו

בפרקהשלמה לריבוע בפרקכמה פתרונות יש קשורמכפלה אפס ומשוואות

a x^{2} + b x = 0

קשורייצוג כמכפלה ונקודות אפס

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של נוסחת השורשים ודיסקרימיננטה כבר מוכן.

פתחו תרגול

נוסחת השורשים ודיסקרימיננטה

מה נבנה במודול הזה

הרעיון המרכזי

נוסחה אחת לכל משוואה ריבועית

מה חייבים לדעת לעשות?

להציב נכון את a,b,c

לחשב דיסקרימיננטה

ליישם את נוסחת השורשים

להבין מתי מקבלים שני פתרונות, אחד או אף אחד

מה הדיסקרימיננטה מספרת?

שיטה מסודרת

מסלול עבודה מומלץ

מקדמים

דיסקרימיננטה

נוסחה

דוגמאות פתורות

דוגמה: שני פתרונות

דוגמה: שורש לא רציונלי

תרגול עצמי

הצבה בנוסחת השורשים

שאלה לחשיבה

העמקה ותרגול מדורג

שלושה סימנים שכדאי לשים לב אליהם

קוראים מקדמים רק אחרי סידור

Δ הוא כלי החלטה

−b דורש תשומת לב

דוגמה: נוסחה עם מקדם מוביל

תרגול עם בחירה ונימוק

אין פתרונות ממשיים לפי הדיסקרימיננטה

שורשים לא רציונליים

דיסקרימיננטה אפס בנוסחה

קודם צורה סטנדרטית

טעות נפוצה מול דרך בטוחה

טעות נפוצה

דרך בטוחה

שאלה לחשיבה

בדיקת איכות לפני שממשיכים

אם Δ<0, אז...