מהי משוואה ריבועית

ייצוג סטנדרטי, מקדמים ופתרון

$math/030-equation$ מה נבנה במודול הזה

משוואה ריבועית היא משוואה שבה מופיע איבר עם

x^{2}

, ואחרי סידור אפשר לכתוב אותה בצורה

a x^{2} + b x + c = 0

. המטרה אינה רק לזהות את הצורה, אלא להבין מה פירוש פתרון: ערך של

x

שהופך את שני האגפים לשווים.

לזהות משוואה ריבועית גם לפני סידור מלא

לזהות משוואה ריבועית גם לפני סידור מלא

לכתוב ייצוג סטנדרטי

לכתוב ייצוג סטנדרטי

לקרוא את המקדמים $a, b, c$

לקרוא את המקדמים

a, b, c

לבדוק פתרון בהצבה

לבדוק פתרון בהצבה

הרעיון המרכזי

$math/030-equation$ משוואה ריבועית מתחילה באיבר ריבועי

הצורה הסטנדרטית היא $a x^{2} + b x + c = 0$ , כאשר $a \neq = 0$ .

האיבר $a x^{2}$ הוא מה שעושה את המשוואה ריבועית. האיברים $b x$ ו- $c$ יכולים להיות אפס, אבל $a$ לא יכול להיות אפס.

a x^{2} + b x + c = 0, a \neq = 0

אחרי סידור, קל לבחור שיטת פתרון מתאימה בפרקים הבאים.

תמצית

a x^{2} + b x + c = 0, a \neq = 0

מה חייבים לדעת לעשות?

לזהות משוואה ריבועית גם לפני סידור מלא

לכתוב ייצוג סטנדרטי

לקרוא את המקדמים $a, b, c$

לבדוק פתרון בהצבה

בשלב הזה חשוב לעבוד לאט ומדויק. בכל מעבר שואלים מה השתנה, האם הפעולה שקולה, והאם שמרנו על כל האפשרויות של הפתרון.

קריאת מקדמים מתוך משוואה

משוואה	ייצוג סטנדרטי	מקדמים
$2 x^{2} - 5 x + 3 = 0$	$2 x^{2} - 5 x + 3 = 0$	$a = 2, b = - 5, c = 3$
$x (x - 4) = 5$	$x^{2} - 4 x - 5 = 0$	$a = 1, b = - 4, c = - 5$
$7 x - 2 = 0$	אין איבר $x^{2}$	לא ריבועית
$3 x^{2} = 12$	$3 x^{2} - 12 = 0$	$a = 3, b = 0, c = - 12$

* הטבלה מיועדת לזיהוי מבנה. פתרון מלא עדיין דורש כתיבה מסודרת ובדיקה.

שיטה מסודרת

מסלול עבודה מומלץ

מסדרים לאפס

מעבירים את כל האיברים לאגף אחד.

מכנסים איברים דומים.

מקבלים אגף שני $0$ .

מזהים מקדמים

מקדמים כוללים סימן.

$b$ הוא המקדם של $x$ .

אם איבר חסר, המקדם שלו $0$ .

בודקים פתרון

מציבים במשוואה המקורית.

בודקים שוויון בין האגפים.

פתרון יכול להיות אחד, שניים או אף אחד.

דוגמאות פתורות

דוגמה: זיהוי ובדיקת פתרון

2 x^{2} - 5 x + 3 = 0

דוגמה: סידור לייצוג סטנדרטי

x (x - 4) = 5

תרגול עצמי

סידור ובדיקת מקדמים

בסיסי

כתבו בצורה סטנדרטית את $3 x (x + 2) = 2 x + 8$ .

3 x (x + 2) = 2 x + 8

שאלה לחשיבה

האם $0 x^{2} + 5 x - 1 = 0$ היא משוואה ריבועית?

לא. אם $a = 0$ , האיבר הריבועי נעלם ונשארת משוואה ממעלה ראשונה.

זו הסיבה שבהגדרה כתוב במפורש $a \neq = 0$ .

העמקה ותרגול מדורג

כדי לפתור משוואות ריבועיות בהמשך, צריך קודם לקרוא את המשוואה כמו מפה: איפה האיבר הריבועי, מה הסימן של כל מקדם, ומה בדיוק בודקים כשמציבים פתרון אפשרי.

שלושה סימנים שכדאי לשים לב אליהם

קוראים מקדמים רק אחרי סידור

ב- $4 x + 2 = x^{2} + 5$ קודם כותבים $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ , ורק אז קוראים $a = 1, b = - 4, c = 3$ .

מקדמים חסרים הם אפס

ב- $3 x^{2} - 12 = 0$ אין איבר $x$ , ולכן $b = 0$ .

לא כל משוואה עם $x$ היא ריבועית

אם אחרי סידור מתקבל $0 x^{2} + 5 x - 1 = 0$ , זו משוואה ממעלה ראשונה.

דוגמה: משוואה שמתחפשת לפני סידור

4 x + 2 = x^{2} + 5

תרגול עם בחירה ונימוק

התרגילים הבאים מוסיפים החלטה קטנה בכל פעם: איזו שיטה מתאימה, איזה סימן נשמר, ואיך בודקים את התוצאה.

בדיקת פתרון מוצע

בינוני

בדקו אם $x = 2$ הוא פתרון של $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ .

x^{2} - 5 x + 6 = 0

סידור וקריאת מקדמים

בינוני

סדרו את $2 x (x - 3) = 5 x$ לצורה סטנדרטית וקראו את המקדמים.

2 x (x - 3) = 5 x

משוואה שמסתדרת רק אחרי פתיחה

בינוני

סדרו את $x (x - 5) + 6 = 2 x$ לצורה סטנדרטית, ואז בדקו אם $x = 1$ הוא פתרון.

x (x - 5) + 6 = 2 x

בדיקת תנאי למשוואה ריבועית

מאתגר

עבור אילו ערכי $k$ המשוואה $(k - 3) x^{2} + 4 x - 7 = 0$ אינה משוואה ריבועית?

(k - 3) x^{2} + 4 x - 7 = 0

טעות נפוצה מול דרך בטוחה

טעות נפוצה

קוראים $a, b, c$ לפני שהמשוואה מסודרת לאפס.

דרך בטוחה

מסדרים תמיד ל- $a x^{2} + b x + c = 0$ , ואז קוראים מקדמים כולל סימנים.

בכל פעם שמופיע ספק, חוזרים לשורה הקודמת ובודקים שקילות.

שאלה לחשיבה

האם שתי המשוואות $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ ו- $2 x^{2} - 8 x + 6 = 0$ שונות מבחינת הפתרונות?

לא. המשוואה השנייה היא כפל של הראשונה ב- $2$ , ולכן כל ערך שמאפס את הראשונה מאפס גם את השנייה.

המטרה אינה לבחור תמיד אותה שיטה, אלא לשלוט בכמה דרכים.

בדיקת איכות לפני שממשיכים

נסו לומר בקול מה הייתה הפעולה הראשונה, למה היא הייתה מותרת, ואיך תדעו שהתשובה נכונה.

האם המשוואה סודרה לאפס כשצריך?
האם שמרתם על שני סימני השורש?
האם בדקתם פתרון או קבילות?

שאלה 1 מתוך 14

מה הייצוג הסטנדרטי של $x (x - 2) = 3$ ?

המשך קריאה

עוד עמודים שיכולים לחבר את מה שלמדתם עכשיו

בפרקפתרון

a x^{2} + c = 0

בפרקכלל מכפלה אפס קשורמכפלה אפס ומשוואות

a x^{2} + b x = 0

קשורפירוק טרינום ריבועי

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של מהי משוואה ריבועית כבר מוכן.

פתחו תרגול

מהי משוואה ריבועית

מה נבנה במודול הזה

הרעיון המרכזי

משוואה ריבועית מתחילה באיבר ריבועי

מה חייבים לדעת לעשות?

לזהות משוואה ריבועית גם לפני סידור מלא

לכתוב ייצוג סטנדרטי

לקרוא את המקדמים a,b,c

לבדוק פתרון בהצבה

קריאת מקדמים מתוך משוואה

שיטה מסודרת

מסלול עבודה מומלץ

מסדרים לאפס

מזהים מקדמים

בודקים פתרון

דוגמאות פתורות

דוגמה: זיהוי ובדיקת פתרון

דוגמה: סידור לייצוג סטנדרטי

תרגול עצמי

סידור ובדיקת מקדמים

שאלה לחשיבה

העמקה ותרגול מדורג

שלושה סימנים שכדאי לשים לב אליהם

קוראים מקדמים רק אחרי סידור

מקדמים חסרים הם אפס

לא כל משוואה עם x היא ריבועית

דוגמה: משוואה שמתחפשת לפני סידור

תרגול עם בחירה ונימוק

בדיקת פתרון מוצע

סידור וקריאת מקדמים

משוואה שמסתדרת רק אחרי פתיחה

בדיקת תנאי למשוואה ריבועית

טעות נפוצה מול דרך בטוחה

טעות נפוצה

דרך בטוחה

שאלה לחשיבה

בדיקת איכות לפני שממשיכים

מה הייצוג הסטנדרטי של x(x−2)=3?