פתרון משוואות מהצורה $a x^{2} + c = 0$

בידוד הריבוע, שורש ושני סימנים

$math/008-square root$ מה נבנה במודול הזה

הצורה

a x^{2} + c = 0

היא נקודת פתיחה נוחה כי אין איבר

b x

. מבודדים את

x^{2}

, ואז שואלים: איזה מספרים בריבוע נותנים את הערך שקיבלנו?

לבודד את $x^{2}$

לבודד את

x^{2}

להשתמש בשני סימני השורש

להשתמש בשני סימני השורש

להבחין בין ערך חיובי, אפס ושלילי

להבחין בין ערך חיובי, אפס ושלילי

לבדוק פתרונות בהצבה

לבדוק פתרונות בהצבה

הרעיון המרכזי

$math/008-square root$ אחרי בידוד הריבוע בודקים את הסימן

מהמשוואה $a x^{2} + c = 0$ מקבלים $x^{2} = - \frac{c}{a}$ .

אם הערך חיובי, יש שני פתרונות ממשיים. אם הערך אפס, יש פתרון אחד. אם הערך שלילי, אין פתרון ממשי.

x^{2} = k : k > 0 נותן x = \pm k, k = 0 נותן x = 0, k < 0 נותן אין פתרון ממשי

בכל פעם שמוציאים שורש, שואלים אם צריך שני סימנים.

תמצית

a x^{2} + c = 0, x^{2} = - \frac{c}{a}

מה חייבים לדעת לעשות?

לבודד את $x^{2}$

להשתמש בשני סימני השורש

להבחין בין ערך חיובי, אפס ושלילי

לבדוק פתרונות בהצבה

בשלב הזה חשוב לעבוד לאט ומדויק. בכל מעבר שואלים מה השתנה, האם הפעולה שקולה, והאם שמרנו על כל האפשרויות של הפתרון.

שלושת המצבים אחרי בידוד $x^{2}$

משוואה	אחרי בידוד	מסקנה
$x^{2} = 16$	$k = 16$	$x = 4$ או $x = - 4$
$5 x^{2} = 0$	$k = 0$	$x = 0$ בלבד
$x^{2} = - 9$	$k = - 9$	אין פתרון ממשי
$2 x^{2} - 7 = 0$	$x^{2} = \frac{7}{2}$	$x = \pm \frac{7}{2}$

* הטבלה מיועדת לזיהוי מבנה. פתרון מלא עדיין דורש כתיבה מסודרת ובדיקה.

שיטה מסודרת

מסלול עבודה מומלץ

מבודדים

מעבירים את $c$ .

מחלקים ב- $a$ .

כותבים $x^{2} = k$ .

בודקים סימן

$k > 0$ : שני פתרונות.

$k = 0$ : פתרון אחד.

$k < 0$ : אין פתרון ממשי.

בודקים בהצבה

מציבים כל פתרון.

שומרים על שני הסימנים.

לא מוחקים פתרון שלילי.

דוגמאות פתורות

דוגמה: שני פתרונות

3 x^{2} - 27 = 0

דוגמה: אין פתרון ממשי

2 x^{2} + 8 = 0

תרגול עצמי

בידוד הריבוע

בינוני

פתרו: $5 x^{2} - 45 = 0$ .

5 x^{2} - 45 = 0

שאלה לחשיבה

למה למשוואה $x^{2} = 0$ יש פתרון אחד ולא שניים?

כי $+ 0$ ו- $- 0$ הם אותו מספר. שני הסימנים מתלכדים לאותו פתרון.

בהמשך נראה שזה מתאים גם לדיסקרימיננטה אפס.

העמקה ותרגול מדורג

במשוואות מהצורה $a x^{2} + c = 0$ אין איבר $x$ . היתרון הוא שאפשר לבודד את $x^{2}$ ; האתגר הוא לא לשכוח ששורש של מספר חיובי נותן שני ערכים נגדיים.

שלושה סימנים שכדאי לשים לב אליהם

שני סימנים

אם מקבלים $x^{2} = 16$ , הפתרונות הם $x = 4$ וגם $x = - 4$ .

אין פתרון ממשי

אם מקבלים $x^{2} = - 5$ , אין מספר ממשי שריבועו שלילי.

אפס נותן פתרון אחד

אם מקבלים $x^{2} = 0$ , יש פתרון אחד בלבד: $x = 0$ .

דוגמה: מקדם שלילי לפני $x^{2}$

- 3 x^{2} + 12 = 0

תרגול עם בחירה ונימוק

התרגילים הבאים מוסיפים החלטה קטנה בכל פעם: איזו שיטה מתאימה, איזה סימן נשמר, ואיך בודקים את התוצאה.

שורשים רציונליים

בינוני

פתרו: $7 x^{2} - 28 = 0$ .

7 x^{2} - 28 = 0

מקרה ללא פתרון ממשי

בינוני

פתרו בממשיים: $2 x^{2} + 7 = 0$ .

2 x^{2} + 7 = 0

שורש שאינו שלם

בינוני

פתרו: $4 x^{2} - 18 = 0$ .

4 x^{2} - 18 = 0

פתרון יחיד באפס

בינוני

פתרו: $- 9 x^{2} = 0$ , וציינו כמה פתרונות שונים יש.

- 9 x^{2} = 0

טעות נפוצה מול דרך בטוחה

טעות נפוצה

כותבים רק את השורש החיובי אחרי $x^{2} = k$ .

דרך בטוחה

אם $k > 0$ , כותבים $x = \pm k$ . אם $k = 0$ , יש רק $0$ .

בכל פעם שמופיע ספק, חוזרים לשורה הקודמת ובודקים שקילות.

שאלה לחשיבה

למה למשוואה $4 x^{2} = 0$ אין שני פתרונות?

אחרי חילוק ב- $4$ מתקבל $x^{2} = 0$ . הערכים $+ 0$ ו- $- 0$ הם אותו מספר.

המטרה אינה לבחור תמיד אותה שיטה, אלא לשלוט בכמה דרכים.

בדיקת איכות לפני שממשיכים

נסו לומר בקול מה הייתה הפעולה הראשונה, למה היא הייתה מותרת, ואיך תדעו שהתשובה נכונה.

האם המשוואה סודרה לאפס כשצריך?
האם שמרתם על שני סימני השורש?
האם בדקתם פתרון או קבילות?

שאלה 1 מתוך 14

אחרי בידוד התקבל $x^{2} = \frac{9}{4}$ . מה הפתרונות?

המשך קריאה

עוד עמודים שיכולים לחבר את מה שלמדתם עכשיו

בפרקמהי משוואה ריבועית בפרקכלל מכפלה אפס קשורמכפלה אפס ומשוואות

a x^{2} + b x = 0

קשורייצוג כמכפלה ונקודות אפס

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של פתרון משוואות מהצורה {m}ax^2+c=0{/m} כבר מוכן.

פתחו תרגול

פתרון משוואות מהצורה ax2+c=0

מה נבנה במודול הזה

הרעיון המרכזי

אחרי בידוד הריבוע בודקים את הסימן

מה חייבים לדעת לעשות?

לבודד את x2

להשתמש בשני סימני השורש

להבחין בין ערך חיובי, אפס ושלילי

לבדוק פתרונות בהצבה

שלושת המצבים אחרי בידוד x2

שיטה מסודרת

מסלול עבודה מומלץ

מבודדים

בודקים סימן

בודקים בהצבה

דוגמאות פתורות

דוגמה: שני פתרונות

דוגמה: אין פתרון ממשי

תרגול עצמי

בידוד הריבוע

שאלה לחשיבה

העמקה ותרגול מדורג

שלושה סימנים שכדאי לשים לב אליהם

שני סימנים

אין פתרון ממשי

אפס נותן פתרון אחד

דוגמה: מקדם שלילי לפני x2

תרגול עם בחירה ונימוק

שורשים רציונליים

מקרה ללא פתרון ממשי

שורש שאינו שלם

פתרון יחיד באפס

טעות נפוצה מול דרך בטוחה

טעות נפוצה

דרך בטוחה

שאלה לחשיבה

בדיקת איכות לפני שממשיכים

אחרי בידוד התקבל x2=49​. מה הפתרונות?

פתרון משוואות מהצורה {m}ax^2+c=0{/m}

עוד עמודים שיכולים לחבר את מה שלמדתם עכשיו

מעבר לדף התרגול של המודול

פתרון משוואות מהצורה $a x^{2} + c = 0$

$math/008-square root$ מה נבנה במודול הזה

$math/008-square root$ אחרי בידוד הריבוע בודקים את הסימן

לבודד את $x^{2}$

שלושת המצבים אחרי בידוד $x^{2}$

דוגמה: מקדם שלילי לפני $x^{2}$

אחרי בידוד התקבל $x^{2} = \frac{9}{4}$ . מה הפתרונות?