כמה פתרונות יש למשוואה ריבועית

שני פתרונות, פתרון אחד או אין פתרון ממשי

מה נבנה במודול הזה

לפעמים השאלה אינה 'מה הפתרונות?' אלא 'כמה פתרונות יש?'. בפרק זה מחברים בין דיסקרימיננטה, שורשים כפולים ומשמעות גרפית של חיתוך עם ציר

x

לקבוע מספר פתרונות לפי $Δ$

לקבוע מספר פתרונות לפי

Δ

לזהות שורש כפול

לזהות שורש כפול

לחבר בין משוואה לגרף פרבולה

לחבר בין משוואה לגרף פרבולה

להסביר את המסקנה במילים

להסביר את המסקנה במילים

הרעיון המרכזי

הסימן של $Δ$ קובע את מספר החיתוכים

$Δ = b^{2} - 4 a c$ הוא מדד למספר הפתרונות הממשיים.

פתרונות המשוואה $a x^{2} + b x + c = 0$ הם נקודות החיתוך של הפרבולה $y = a x^{2} + b x + c$ עם ציר $x$ . שני חיתוכים, חיתוך משיק אחד או אין חיתוך.

Δ > 0 : 2, Δ = 0 : 1, Δ < 0 : 0

הקשר הגרפי יעזור מאוד בפרק הפונקציה הריבועית.

תמצית

Δ = b^{2} - 4 a c

מה חייבים לדעת לעשות?

לקבוע מספר פתרונות לפי $Δ$

לזהות שורש כפול

לחבר בין משוואה לגרף פרבולה

להסביר את המסקנה במילים

בשלב הזה חשוב לעבוד לאט ומדויק. בכל מעבר שואלים מה השתנה, האם הפעולה שקולה, והאם שמרנו על כל האפשרויות של הפתרון.

מספר פתרונות לפי חישוב קצר

משוואה	$Δ$	מספר פתרונות
$x^{2} - 6 x + 9 = 0$	$36 - 36 = 0$	פתרון אחד
$x^{2} + 2 x + 5 = 0$	$4 - 20 = - 16$	אין פתרון ממשי
$2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$	$25 - 16 = 9$	שני פתרונות
$4 x^{2} + 4 x + 1 = 0$	$16 - 16 = 0$	פתרון אחד

* הטבלה מיועדת לזיהוי מבנה. פתרון מלא עדיין דורש כתיבה מסודרת ובדיקה.

פרשנות גרפית - הפרבולה וציר x

כל משוואה ריבועית $a x^{2} + b x + c = 0$ מתארת את נקודות החיתוך של הפרבולה $y = a x^{2} + b x + c$ עם ציר $x$ . סימן הדיסקרימיננטה $Δ$ קובע בדיוק כמה חיתוכים יש - ולכן גם את מספר הפתרונות. שלושת המקרים מוצגים להלן.

מקרה 1: $Δ > 0$ - שני חיתוכים

הפרבולה חותכת את ציר $x$ בשתי נקודות שונות. המשוואה $x^{2} - 5 x + 4 = 0$ מניבה $Δ = 25 - 16 = 9 > 0$ , ולכן שני פתרונות: $x = 1$ ו- $x = 4$ .

y = x² - 5x + 4, שני חיתוכים

מקרה 2: $Δ = 0$ - חיתוך משיק אחד

הפרבולה נוגעת בציר $x$ בנקודה אחת בלבד - הקדקוד. המשוואה $x^{2} - 4 x + 4 = 0$ מניבה $Δ = 16 - 16 = 0$ , ולכן שורש כפול אחד: $x = 2$ .

y = x² - 4x + 4, שורש כפול

מקרה 3: $Δ < 0$ - אין חיתוך

הפרבולה אינה נוגעת בציר $x$ כלל - כולה מעליו (כשפתוחה כלפי מעלה). המשוואה $x^{2} - 4 x + 6 = 0$ מניבה $Δ = 16 - 24 = - 8 < 0$ , ולכן אין פתרון ממשי.

y = x² - 4x + 6, אין חיתוך

שאלה לחשיבה

מה הקשר בין פתרון המשוואה $x^{2} - 5 x + 4 = 0$ לבין הגרף שראיתם?

הפתרונות $x = 1$ ו- $x = 4$ הם בדיוק ערכי $x$ שבהם הגרף חותך את ציר $x$ , כלומר שבהם $y = 0$ . הגרף ממחיש בצורה חזותית מה שהנוסחה מחשבת אלגברית.

קשר זה יפורט בפרק הפונקציה הריבועית (פרק 4).

שיטה מסודרת

מסלול עבודה מומלץ

מסדרים

המשוואה חייבת להיות באגף אחד.

קוראים מקדמים עם סימנים.

מזהים $a \neq = 0$ .

מחשבים $Δ$

ריבוע של $b$ תמיד לא שלילי.

שומרים על סימן $c$ .

אין צורך לפתור אם נשאלים רק כמה.

מנסחים מסקנה

$> 0$ : שניים.

$= 0$ : אחד.

$< 0$ : אין ממשיים.

דוגמאות פתורות

דוגמה: שורש כפול

x^{2} - 6 x + 9 = 0

דוגמה: אין פתרון ממשי

x^{2} + 2 x + 5 = 0

תרגול עצמי

כמה פתרונות?

בינוני

קבעו כמה פתרונות ממשיים יש למשוואה $3 x^{2} - 2 x + 4 = 0$ .

3 x^{2} - 2 x + 4 = 0

שאלה לחשיבה

איך אפשר לראות פתרון אחד בלי לחשב את כל הנוסחה?

אם המשוואה היא ריבוע מושלם כמו $(x - 3)^{2} = 0$ , שני הגורמים זהים ולכן מתקבל שורש כפול אחד.

בדיסקרימיננטה זה יופיע כ- $Δ = 0$ .

העמקה ותרגול מדורג

מספר הפתרונות נקבע לפני פתרון מלא בעזרת סימן הדיסקרימיננטה. זהו כלי שמונע עבודה מיותרת ומחבר בין אלגברה לבין נקודות חיתוך עם ציר $x$ .

שלושה סימנים שכדאי לשים לב אליהם

דיסקרימיננטה חיובית

$Δ > 0$ פירושו שני פתרונות ממשיים שונים.

דיסקרימיננטה אפס

$Δ = 0$ פירושו שורש כפול אחד.

דיסקרימיננטה שלילית

$Δ < 0$ פירושו שאין פתרונות ממשיים.

דוגמה: פתרון אחד בלי לפתור הכול

x^{2} - 6 x + 9 = 0

תרגול עם בחירה ונימוק

התרגילים הבאים מוסיפים החלטה קטנה בכל פעם: איזו שיטה מתאימה, איזה סימן נשמר, ואיך בודקים את התוצאה.

החלטה ללא פתרון מלא

בינוני

קבעו כמה פתרונות ממשיים יש ל- $2 x^{2} - 4 x + 5 = 0$ .

2 x^{2} - 4 x + 5 = 0

ערך פרמטר לפתרון יחיד

בינוני

מצאו ערכי $k$ שעבורם ל- $x^{2} + k x + 4 = 0$ יש פתרון ממשי אחד.

x^{2} + k x + 4 = 0

שורש כפול לפי דיסקרימיננטה

בינוני

קבעו כמה פתרונות ממשיים יש ל- $9 x^{2} + 6 x + 1 = 0$ .

9 x^{2} + 6 x + 1 = 0

תנאי לשני פתרונות

מאתגר

עבור אילו ערכי $k$ למשוואה $x^{2} - 6 x + k = 0$ יש שני פתרונות ממשיים שונים?

x^{2} - 6 x + k = 0

טעות נפוצה מול דרך בטוחה

טעות נפוצה

מבלבלים בין ערך הדיסקרימיננטה לבין הפתרונות עצמם.

דרך בטוחה

קודם קובעים מספר פתרונות לפי הסימן של $Δ$ ; רק אחר כך פותרים אם צריך.

בכל פעם שמופיע ספק, חוזרים לשורה הקודמת ובודקים שקילות.

שאלה לחשיבה

איך ייתכן שלמשוואה ריבועית יש פתרון ממשי אחד?

כאשר שני השורשים מתלכדים לאותו ערך. אלגברית זה קורה כש- $Δ = 0$ .

המטרה אינה לבחור תמיד אותה שיטה, אלא לשלוט בכמה דרכים.

בדיקת איכות לפני שממשיכים

נסו לומר בקול מה הייתה הפעולה הראשונה, למה היא הייתה מותרת, ואיך תדעו שהתשובה נכונה.

האם המשוואה סודרה לאפס כשצריך?
האם שמרתם על שני סימני השורש?
האם בדקתם פתרון או קבילות?

שאלה 1 מתוך 14

ל- $x^{2} - 6 x + 9 = 0$ יש...

המשך קריאה

עוד עמודים שיכולים לחבר את מה שלמדתם עכשיו

בפרקנוסחת השורשים בפרקשאלות מילוליות ריבועיות קשורמכפלה אפס ומשוואות

a x^{2} + b x = 0

קשורייצוג כמכפלה ונקודות אפס

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של כמה פתרונות יש למשוואה ריבועית כבר מוכן.

פתחו תרגול

כמה פתרונות יש למשוואה ריבועית

מה נבנה במודול הזה

הרעיון המרכזי

הסימן של Δ קובע את מספר החיתוכים

מה חייבים לדעת לעשות?

לקבוע מספר פתרונות לפי Δ

לזהות שורש כפול

לחבר בין משוואה לגרף פרבולה

להסביר את המסקנה במילים

מספר פתרונות לפי חישוב קצר

פרשנות גרפית - הפרבולה וציר x

מקרה 1: Δ>0 - שני חיתוכים

מקרה 2: Δ=0 - חיתוך משיק אחד

מקרה 3: Δ<0 - אין חיתוך

שאלה לחשיבה

שיטה מסודרת

מסלול עבודה מומלץ

מסדרים

מחשבים Δ

מנסחים מסקנה

דוגמאות פתורות

דוגמה: שורש כפול

דוגמה: אין פתרון ממשי

תרגול עצמי

כמה פתרונות?

שאלה לחשיבה

העמקה ותרגול מדורג

שלושה סימנים שכדאי לשים לב אליהם

דיסקרימיננטה חיובית

דיסקרימיננטה אפס

דיסקרימיננטה שלילית

דוגמה: פתרון אחד בלי לפתור הכול

תרגול עם בחירה ונימוק

החלטה ללא פתרון מלא

ערך פרמטר לפתרון יחיד

שורש כפול לפי דיסקרימיננטה

תנאי לשני פתרונות

טעות נפוצה מול דרך בטוחה

טעות נפוצה

דרך בטוחה

שאלה לחשיבה

בדיקת איכות לפני שממשיכים

ל-x2−6x+9=0 יש...