שכיחות יחסית כהערכה להסתברות

נתונים מניסוי עוזרים לאמוד סיכוי, אבל אינם מבטיחים תוצאה מדויקת

$math/011-statistics$ מה נלמד במודול?

הסתברות לא תמיד ניתנת מראש. לפעמים אוספים נתונים, מחשבים שכיחות יחסית, ומשתמשים בה כאומדן לסיכוי עתידי.

מחשבים יחס

נחשב שכיחות יחסית בעזרת

\frac{f}{n}

: מספר הצלחות מתוך מספר ניסיונות.

מפרשים אומדן

נשתמש במילים כמו בערך, משוער וצפוי, ולא נציג אומדן כהבטחה.

בודקים יציבות

נבין למה מדגם גדול בדרך כלל נותן אומדן יציב יותר ממדגם קטן.

$math/020-math book$ מהניסוי אל ההסתברות

אם שחקנית קלעה $46$ מתוך $80$ זריקות, אין לנו הוכחה שהיא תקלע בדיוק באותו יחס בעתיד. יש לנו מידע טוב יותר מניחוש. השכיחות היחסית היא גשר בין נתונים לבין הסתברות.

שכיחות יחסית היא אומדן

מסמנים אומדן הסתברות לעיתים ב- $\hat{P} (A)$ . הסימן מזכיר שזהו ערך שנמדד מנתונים.

מחלקים את מספר הפעמים שהמאורע קרה במספר הניסויים הכולל. ככל שהמדגם גדול ומייצג יותר, האומדן נוטה להיות אמין יותר.

\hat{P} (A) = \frac{f _{A}}{n}

אומדן טוב עוזר לתכנן, להשוות ולחזות, אבל לא קובע בדיוק מה יקרה בכל רצף ניסויים.

האות $f$ מייצגת שכיחות, כלומר כמה פעמים המאורע הופיע. האות $n$ מייצגת את מספר הניסויים הכולל.

אומדן הסתברות מניסוי

\hat{P} (A) = \frac{מספר הופעות של A}{מספר ניסויים}

אותו ניסוי בגדלי מדגם שונים

מספר ניסויים	הצלחות	שכיחות יחסית
$20$	$11$	$\frac{11}{20} = 0.55$
$100$	$57$	$\frac{57}{100} = 0.57$
$500$	$281$	$\frac{281}{500} = 0.562$

* האומדן אינו חייב להיות זהה בכל מדגם, אבל במדגם גדול התנודות היחסיות בדרך כלל קטנות יותר.

דוגמה פתורה

בדוגמה הפתורה נחשב גם אומדן וגם צפי. הצפי הוא שימוש באומדן כדי לתאר בערך כמה הצלחות צפויות במספר ניסיונות חדש.

קליעות עונשין כאומדן

שלב 1 מתוך 4

שחקנית קלעה

46

מתוך

80

זריקות עונשין. העריכו את הסתברות הקליעה ואת מספר הקליעות הצפוי מתוך

200

זריקות.

מהו מספר הניסיונות?

דוגמה שנייה: בודקים הבנה

השוואה בין קבוצות מחייבת יחס, לא רק ספירה. קבוצה גדולה יותר יכולה להציג יותר הצלחות אבל הסתברות נמוכה יותר.

משווים שתי קבוצות

שלב 1 מתוך 3

קבוצה א הצליחה

35

פעמים מתוך

50

. קבוצה ב הצליחה

78

פעמים מתוך

120

. לאיזו קבוצה אומדן הסתברות גבוה יותר?

מה צריך לחשב ולא רק להשוות?

אסטרטגיית עבודה

בכל שאלה על נתונים ניסיוניים צריך להפריד בין שלושה דברים: מה נספר, כמה ניסויים נערכו, ומה מותר להסיק.

איך מפרשים אומדן

סופרים

זהו הצלחות וניסיונות.

בדקו שהמונה אינו גדול מהמכנה.

$math/030-equation$

מחלקים

כתבו שבר או עשרוני.

אפשר להמיר לאחוזים אם זה ברור יותר.

מפרשים

אמרו בערך או משוער.

אל תבטיחו תוצאה מדויקת ברצף הבא.

איך אומדן מופיע בשאלות

אומדן ישיר

$42$ הצלחות מתוך $60$ : $\hat{P} = \frac{42}{60} = 0.7$ .

צפי

אם $\hat{P} = 0.7$ , מתוך $200$ ניסיונות מצפים בערך ל- $140$ הצלחות.

משלים

אם אומדן הפגמים הוא $0.06$ , אומדן התקינים הוא $1 - 0.06 = 0.94$ .

יציבות

תוצאה של $3$ מתוך $4$ מרשימה, אבל מדגם של $400$ ניסיונות בדרך כלל מלמד יותר.

שכיחות, שכיחות יחסית והסתברות

שכיחות

כמה פעמים קרה המאורע, למשל $46$ קליעות.

$math/011-statistics$ שכיחות יחסית

החלק מתוך כל הניסיונות, למשל $\frac{46}{80}$ .

הסתברות משוערת

שימוש בשכיחות יחסית כדי להעריך סיכוי עתידי.

המעבר משכיחות להסתברות דורש גם חישוב וגם ניסוח זהיר.

דוגמה שלישית: אומדן שמתעדכן אחרי עוד ניסויים

בבדיקה ראשונה מכונה הצליחה ב-

42

מתוך

60

ניסיונות. אחר כך נוספו

70

הצלחות מתוך

100

ניסיונות. מהו אומדן ההסתברות לאחר כל הנתונים?

תרגול מודרך

התרגילים משלבים חישוב אומדן, המרה לאחוזים, צפי והשוואת קבוצות בגדלים שונים.

אומדן בסיסי

בסיסי

ב- $60$ ניסיונות התקבלו $42$ הצלחות. מה אומדן ההסתברות?

\hat{P} = \frac{42}{60}

צפי מתוך אומדן

בינוני

אם אומדן ההסתברות הוא $0.7$ , לכמה הצלחות מצפים בערך מתוך $200$ ניסיונות?

0.7 \cdot 200

השוואת קבוצות

בינוני

קבוצה א: $35$ הצלחות מתוך $50$ . קבוצה ב: $78$ הצלחות מתוך $120$ . לאיזו קבוצה אומדן גבוה יותר?

\frac{35}{50} מול \frac{78}{120}

פגומים ותקינים

מאתגר

בבדיקת איכות נמצאו $9$ פגומים מתוך $150$ מוצרים. העריכו הסתברות לפגם והסתברות למוצר תקין.

\hat{P} (D) = \frac{9}{150}

אומדן משוקלל משתי בדיקות

מאתגר

ביום ראשון התקבלו $18$ הצלחות מתוך $30$ . ביום שני התקבלו $48$ הצלחות מתוך $80$ . מהו אומדן ההסתברות הכולל?

\frac{18 + 48}{30 + 80}

אומדן אינו נבואה

שכיחות יחסית מתארת מה קרה במדגם. היא כלי מצוין לחיזוי, אבל כל רצף חדש יכול לסטות מהצפי.

כתבו לפי הנתונים.
השתמשו במילים בערך או צפוי.
העדיפו מדגם גדול ומייצג כשיש בחירה.

שאלה לחשיבה

למה מדגם קטן יכול להטעות גם כשהחישוב נכון?

כי במדגם קטן תוצאה מקרית אחת משנה מאוד את היחס. במדגם גדול כל תוצאה יחידה משפיעה פחות על השכיחות היחסית.

החישוב יכול להיות נכון, והמסקנה עדיין חלשה.

במדעי הנתונים משתמשים באותו רעיון כדי להעריך שיעורי הצלחה, תקלות, הקלקות או העדפות. המתמטיקה של השכיחות היחסית היא התחלה של חשיבה סטטיסטית.

שאלה 1 מתוך 14

מהו אומדן של $18$ הצלחות מתוך $45$ ?

המשך קריאה

עוד עמודים שיכולים לחבר את מה שלמדתם עכשיו

בפרקהסתברות מותנית - אינטואיציה בפרקדיאגרמת עץ לניסוי דו-שלבי קשורשכיחות יחסית והסתברות ניסויית קשוריחס בין חלקים ויחס לשלם

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של שכיחות יחסית כהערכה להסתברות כבר מוכן.

פתחו תרגול