מאורעות זרים ואיחוד מאורעות

מתי אפשר לחבר הסתברויות בלי לחסר חפיפה?

$math/049-venn diagram$ מה נלמד במודול?

המודול מפריד בין שתי שאלות שתלמידים נוטים לערבב: האם שני מאורעות יכולים לקרות יחד, והאם מידע על אחד משנה את הסיכוי של השני.

מזהים את המבנה

נחליט אם מדובר בתנאי, חיתוך, איחוד, תלות או רצף ניסויים.

כותבים ייצוג מתאים

נשתמש בטבלה, שטח, עץ או נוסחה לפי הצורך ולא לפי הרגל.

בודקים משמעות

נפרש כל תוצאה במילים ונזהה טעויות אופייניות.

$math/020-math book$ זרים פירושו אין חפיפה

מאורעות זרים אינם יכולים לקרות יחד. איחוד פירושו לפחות אחד מהמאורעות. אם יש חפיפה, צריך לחסר אותה כדי לא לספור פעמיים.

$math/049-venn diagram$ איחוד בלי ספירה כפולה

מאורעות זרים אינם נפגשים. אם יש חפיפה, איחוד דורש חיסור של החלק שנספר פעמיים.

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)

כדי להצליח בפרק, צריך לחבר בין שפה, ייצוג וחישוב.

המילה או בהסתברות פירושה לפחות אחד. היא אינה אומרת בהכרח בדיוק אחד.

נוסחה מרכזית

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)

שפת הסתברות של מאורעות

ביטוי	משמעות	מה בודקים
$A \cap B$	גם $A$ וגם $B$	חפיפה
$A \cup B$	$A$ או $B$	לפחות אחד
זרים	לא יכולים יחד	$P (A \cap B) = 0$
משלימים	זרים ומכסים את הכול	סכום $1$

* כל זוג מאורעות משלימים הוא זוג מאורעות זרים, אבל לא כל זוג מאורעות זרים הוא זוג מאורעות משלימים.

דוגמה פתורה

בדוגמה הפתורה נשתמש בקובייה כדי לראות מדוע חפיפה קטנה יכולה לשנות את כל חישוב האיחוד.

קובייה: זוגי או גדול מ- $4$

שלב 1 מתוך 3

מטילים קובייה הוגנת.

A

: מספר זוגי.

B

: מספר גדול מ-

4

. מצאו

P (A \cup B)

מה צריך לעשות לפני החישוב?

דוגמה שנייה: בודקים הבנה

נוסיף דוגמה קצרה שמדגישה נקודת החלטה שתלמידים נוטים לפספס.

בודקים אם מותר לחבר

שלב 1 מתוך 3

נתון

P (A) = 0.25

P (B) = 0.35

. מתי מותר לחשב את האיחוד כחיבור פשוט, ומתי צריך לחסר חפיפה?

מה צריך להיות נכון כדי לחבר בפשטות?

אסטרטגיית עבודה

לפני חיבור הסתברויות, מחפשים חפיפה. אם אין חפיפה, החיבור פשוט. אם יש חפיפה, מחסרים אותה פעם אחת.

שלבי פתרון

קוראים

סמנו מילים כמו ידוע ש, או, וגם, לפחות.

החליטו מה נשאל.

$math/049-venn diagram$

מייצגים

בחרו טבלה, עץ, שטח או נוסחה.

כתבו מונה ומכנה לפני חישוב.

בודקים

ודאו שהתשובה בין $0$ ל- $1$ .

כתבו משפט מסכם בעברית.

מילים שמגלות חפיפה

ידוע ש

מחפשים הסתברות מותנית ומכנה חדש.

גם וגם

מחפשים חיתוך, לעיתים באמצעות כפל במסלול או במודל שטח.

או

מחפשים איחוד, ובודקים אם יש חפיפה.

לפחות

לעיתים המשלים קצר וברור יותר.

איזה ייצוג מתאים לאיחוד וחפיפה

טבלה

כאשר הנתונים מחולקים לפי שתי תכונות.

עץ

כאשר יש שלבים וסדר.

שטח או דיאגרמת ון

כאשר רוצים לראות חיתוך, איחוד ומשלים.

בחירה נכונה של כלי מקצרת את הדרך ומקטינה טעויות.

דוגמה שלישית: מחברים רק אחרי שמחסרים חפיפה

בסקר

40

תלמידים,

18

אוהבים מדע,

16

אוהבים ספורט, ו-

7

אוהבים את שניהם. מהי ההסתברות לאהוב מדע או ספורט?

תרגול מודרך

התרגילים מדורגים: תחילה זיהוי ישיר, אחר כך חישוב, ולבסוף שילוב עם ניסוח מסקנה.

אי זוגי או זוגי

בסיסי

$A$ אי זוגי, $B$ זוגי בהטלת קובייה. מצאו $P (A \cup B)$ וקבעו אם המאורעות זרים או משלימים.

P (A \cup B) = 1

חפיפה בקובייה

בינוני

$A$ זוגי, $B$ גדול מ- $4$ . מצאו את ההסתברות של האיחוד.

\frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{2}{3}

סקר חוגים

בינוני

נתון $P (C) = 0.30$ , $P (S) = 0.40$ , $P (C \cap S) = 0.10$ . מצאו $P (C \cup S)$ .

0.30 + 0.40 - 0.10 = 0.60

זרים

מאתגר

אם $P (A) = 0.25$ , $P (B) = 0.35$ , והמאורעות זרים, מצאו את החיתוך ואת האיחוד.

P (A \cap B) = 0, P (A \cup B) = 0.60

או עם חפיפה

מאתגר

מתוך $60$ תלמידים, $25$ בחרו תיאטרון, $22$ בחרו מוזיקה, ו- $9$ בחרו את שניהם. מהי ההסתברות שבחרו תיאטרון או מוזיקה?

\frac{25 + 22 - 9}{60}

לא כל 'או' הוא חיבור פשוט

כאשר מאורעות חופפים, חיבור $P (A) + P (B)$ סופר את החפיפה פעמיים. לכן מחסרים $P (A \cap B)$ .

סמנו מילים חשובות.
בחרו ייצוג.
חשבו ורק אז פרשו.

שאלה לחשיבה

איך יודעים שהפתרון לא רק נכון מספרית אלא גם מתאים לשאלה?

בודקים שהמונה והמכנה מייצגים את מה שנשאל, שהפעולה מתאימה למילים, ושהמשפט הסופי עונה בדיוק על ההקשר.

המשמעות קודמת לנוסחה.

אותם כלים מופיעים גם בסטטיסטיקה, במדעי המחשב, בתכנון ניסויים ובקריאת נתונים בתקשורת. לכן פרק 6 הוא פרק של אוריינות מתמטית ולא רק של חישוב.

שאלה 1 מתוך 14

בקובייה, $A$ : קטן מ- $3$ , $B$ : גדול מ- $4$ . מה נכון?

המשך קריאה

עוד עמודים שיכולים לחבר את מה שלמדתם עכשיו

בפרקמאורעות תלויים ובלתי תלויים בפרקניסויים חוזרים בלתי תלויים קשורשכיחות יחסית והסתברות ניסויית קשורתחום הגדרה

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של מאורעות זרים ואיחוד מאורעות כבר מוכן.

פתחו תרגול