תלות ואי תלות

אי תלות היא יציבות של הסתברות

מאורעות בלתי תלויים הם מאורעות שבהם ידיעה על אחד מהם אינה משנה את ההסתברות של האחר. אם המידע משנה את הסיכוי, המאורעות תלויים.

הבדיקה יכולה להיעשות בעזרת הסתברות מותנית או בעזרת מכפלת הסתברויות. שתי הדרכים צריכות לספר אותו סיפור.

דוגמה פתורה

בדוגמה הפתורה נראה איך הוצאה בלי החזרה משנה את ההרכב ולכן משנה את הסיכוי בשלב השני.

דוגמה שנייה: בודקים הבנה

נוסיף דוגמה קצרה שמדגישה נקודת החלטה שתלמידים נוטים לפספס.

אסטרטגיית עבודה

כדי לבדוק תלות, מחשבים הסתברות לפני המידע ואחריו. אם הן שוות, אין שינוי הסתברותי.

שלבי פתרון

קוראים

סמנו מילים כמו ידוע ש, או, וגם, לפחות.

החליטו מה נשאל.

מייצגים

בחרו טבלה, עץ, שטח או נוסחה.

כתבו מונה ומכנה לפני חישוב.

בודקים

ודאו שהתשובה בין $0$ ל-$1$.

כתבו משפט מסכם בעברית.

דוגמה שלישית: בודקים אי תלות בשתי דרכים

נתון $P(A)=0.4$, $P(B)=0.5$, ו-$P(A\cap B)=0.2$. האם המאורעות בלתי תלויים?

פתרו יחד

תרגול מודרך

התרגילים מדורגים: תחילה זיהוי ישיר, אחר כך חישוב, ולבסוף שילוב עם ניסוח מסקנה.

מטבע פעמיים

בסיסי

האם $H_1$ ו-$H_2$ בלתי תלויים? מצאו $P(H_1\cap H_2)$.

$$\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$$

רמז (1/2)

פתרו את התרגיל

עם החזרה

בינוני

בשק $4$ אדומים ו-$6$ כחולים. מוציאים עם החזרה. מצאו $P(R\text{ ואז }B)$.

$$\frac{4}{10}\cdot \frac{6}{10}=\frac{6}{25}$$

רמז (1/2)

פתרו את התרגיל

בלי החזרה

בינוני

באותו שק מוציאים בלי החזרה. מצאו $P(R\text{ ואז }B)$.

$$\frac{4}{10}\cdot \frac{6}{9}=\frac{4}{15}$$

רמז (1/2)

פתרו את התרגיל

מבחן מכפלה

מאתגר

נתון $P(A)=0.4$, $P(B)=0.5$, $P(A\cap B)=0.18$. האם בלתי תלויים?

$$0.4\cdot 0.5=0.2\ne 0.18$$

רמז (1/2)

פתרו את התרגיל

מבחן מכפלה לאי תלות

מאתגר

נתון $P(A)=0.3$, $P(B)=0.6$, ו-$P(A\cap B)=0.12$. האם המאורעות בלתי תלויים?

$$0.3\cdot 0.6?0.12$$

רמז (1/2)

הצג פתרון

מבט קדימה

לחץ להרחבה למתקדמים

↓

אותם כלים מופיעים גם בסטטיסטיקה, במדעי המחשב, בתכנון ניסויים ובקריאת נתונים בתקשורת. לכן פרק 6 הוא פרק של אוריינות מתמטית ולא רק של חישוב.

שאלה 1 מתוך 14

נתון $P(A)=0.4$, $P(B)=0.5$, $P(A\cap B)=0.18$. האם בלתי תלויים?

א

לא

ב

אי אפשר לדעת

ג

$1$

ד

$0$

פוסטר סיכום

תלות ואי תלות

הסתברות מותנית ומאורעות

למדו תלות ואי תלות במתמטיקה לכיתה ט׳: מידע חדש, שכיחות יחסית, עצים, טבלאות וקשרי מאורעות. שיעור אינטראקטיבי עם הסברים, דוגמאות, חידון ותרגול למבחן.