האם מידע חדש משנה הסתברות?

מה משתנה כשמקבלים מידע?

כשאומרים ידוע שהתלמיד בחוג רובוטיקה, כבר לא בוחרים מתוך כל הכיתה. בוחרים רק מתוך תלמידי רובוטיקה. לכן הטעות הנפוצה ביותר היא להשאיר את המכנה הישן במקום לעבור למכנה של התנאי.

הנוסחה חשובה, אבל הלב של הרעיון הוא מילולי: התנאי קובע את השלם החדש. רק אחרי שמצאנו את השלם החדש מותר לחשב.

דוגמה פתורה

בדוגמה הפתורה נראה איך אותה טבלה נותנת שתי הסתברויות שונות, כי פעם אחת שואלים על כל הכיתה ופעם אחת שואלים מתוך תנאי.

דוגמה שנייה: בודקים הבנה

כעת נראה מצב שבו אותו מידע דווקא לא משנה את ההסתברות. זה חשוב כי לא כל תנאי יוצר שינוי.

אסטרטגיית עבודה

לפני כל חישוב מותנה כדאי לעצור לשלוש שאלות קצרות. הן מונעות כמעט את כל טעויות המכנה.

שלוש שאלות לפני חישוב

מה רוצים?

זהו את המאורע המבוקש.

סמנו אותו במילים לפני נוסחה.

מה ידוע?

זהו את התנאי.

התנאי קובע את המכנה החדש.

מה גם וגם?

המונה חייב לקיים גם את המאורע וגם את התנאי.

בדקו שהמונה לא גדול מהמכנה.

דוגמה שלישית: אותו מונה, מכנה אחר

בכיתה $30$ תלמידים. $18$ משתתפים בחוג מדעים, ומתוכם $12$ גם מגישים עבודת חקר. מהי ההסתברות שתלמיד מגיש עבודת חקר, אם ידוע שהוא בחוג מדעים?

פתרו יחד

תרגול מודרך

בתרגילים הבאים התחילו תמיד במילים: השלם החדש הוא.... רק אחר כך כתבו שבר.

חוג מוזיקה וגיטרה

בסיסי

בכיתה יש $24$ תלמידים. $8$ מהם בחוג מוזיקה, ומתוכם $5$ מנגנים בגיטרה. אם ידוע שהתלמיד בחוג מוזיקה, מה ההסתברות שהוא מנגן בגיטרה?

$$P(\text{גיטרה}\mid \text{מוזיקה})$$

רמז (1/2)

פתרו את התרגיל

כרטיס כחול עם כוכב

בסיסי

בשק יש $7$ כרטיסים כחולים ו-$5$ ירוקים. על $4$ מהכחולים יש כוכב. אם ידוע שהכרטיס כחול, מה ההסתברות שיש עליו כוכב?

$$P(\text{כוכב}\mid \text{כחול})$$

רמז (1/2)

פתרו את התרגיל

השוואה לפני ואחרי תנאי

בינוני

בחוג מדעים יש $12$ תלמידים, $9$ מהם הגישו עבודה בזמן. מחוץ לחוג יש $18$ תלמידים, $10$ מהם הגישו בזמן. חשבו והשוו $P(\text{בזמן})$ ו-$P(\text{בזמן}\mid \text{חוג מדעים})$.

$$P(T),P(T\mid S)$$

רמז (1/2)

פתרו את התרגיל

קוראים דיגיטליים ופודקאסטים

מאתגר

במדגם של $40$ תלמידים, $16$ קוראים ספרים דיגיטליים. מתוך הקוראים הדיגיטליים $10$ גם שומעים פודקאסטים. בסך הכל $18$ שומעים פודקאסטים. מה גדול יותר: $P(\text{פודקאסט})$ או $P(\text{פודקאסט}\mid \text{ספרים דיגיטליים})$?

$$P(P)\text{מול}P(P\mid D)$$

רמז (1/2)

פתרו את התרגיל

משנים מכנה לפי התנאי

מאתגר

בסקר $50$ תלמידים. $20$ מגיעים באוטובוס, ומתוכם $8$ גרים מחוץ לשכונה. מהי ההסתברות שתלמיד גר מחוץ לשכונה, אם ידוע שהוא מגיע באוטובוס?

$$P(A\mid B)=\frac{8}{20}$$

רמז (1/3)

הצג פתרון

מבט קדימה

לחץ להרחבה למתקדמים

↓

הסתברות מותנית מופיעה גם בקריאת נתונים אמיתיים: סקרי בחירה, בדיקות איכות, חיזוי מזג אוויר וניתוח הרגלי למידה. בכל מקום כזה השאלה הראשונה היא תמיד מהו השלם החדש.

שאלה 1 מתוך 14

האם תמיד $P(A\mid B)=P(B\mid A)$?

א

רק בקובייה

ב

כן

ג

לא

ד

רק כאשר יש שני מאורעות

פוסטר סיכום

האם מידע חדש משנה הסתברות?

הסתברות מותנית ומאורעות

למדו האם מידע חדש משנה הסתברות במתמטיקה לכיתה ט׳: מידע חדש, שכיחות יחסית, עצים, טבלאות וקשרי מאורעות. שיעור אינטראקטיבי עם הסברים, דוגמאות, חידון ותרגול.