מודל שטח להסתברות של שני מאורעות

רואים שני מאורעות כחלקים של שלם אחד

מה נלמד במודול?

המודול הופך הסתברות לציור של מלבן יחידה. כך רואים איך חיתוך, משלים והסתברות מותנית הם חלקים שונים של אותו שלם.

מזהים את המבנה

נחליט אם מדובר בתנאי, חיתוך, איחוד, תלות או רצף ניסויים.

כותבים ייצוג מתאים

נשתמש בטבלה, שטח, עץ או נוסחה לפי הצורך ולא לפי הרגל.

בודקים משמעות

נפרש כל תוצאה במילים ונזהה טעויות אופייניות.

$math/020-math book$ השלם הוא מלבן בשטח $1$

במודל שטח השלם הוא מלבן בשטח $1$ . חיתוך הוא שטח בתוך רצועה, והסתברות מותנית היא חלק יחסי בתוך אותה רצועה.

חיתוך הוא שטח בתוך רצועה

במודל שטח, רצועת $A$ מקבלת רוחב לפי $P (A)$ , והחלק של $B$ בתוכה נקבע לפי $P (B ∣ A)$ .

במודל שטח השלם הוא מלבן בשטח $1$ . חיתוך הוא שטח בתוך רצועה, והסתברות מותנית היא חלק יחסי בתוך אותה רצועה.

P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)

כדי להצליח בפרק, צריך לחבר בין שפה, ייצוג וחישוב.

תמונה הממחישה את מודל השטח להסתברות של שני מאורעות — במודל שטח, כל תא הוא חיתוך, וסכום התאים של $B$ נותן את ההסתברות הכוללת.

הציור עוזר להבדיל בין הסתברות מותנית, שהיא חלק בתוך רצועה, לבין חיתוך, שהוא שטח מתוך כל המלבן.

נוסחה מרכזית

P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)

ארבעה חלקים במלבן יחידה

חלק	$B$	$\overline{B}$	סך הכל
$A$	$P (A \cap B)$	$P (A \cap \overline{B})$	$P (A)$
$\overline{A}$	$P (\overline{A} \cap B)$	$P (\overline{A} \cap \overline{B})$	$P (\overline{A})$
סך הכל	$P (B)$	$P (\overline{B})$	$1$

* כל החלקים הקטנים יחד מסתכמים ל- $1$ .

דוגמה פתורה

בדוגמה הפתורה נחשב שני שטחים נפרדים ונחבר אותם כדי לקבל הסתברות כוללת.

העדפת אימון בוקר

שלב 1 מתוך 3

60%

מהתלמידים בחוג ספורט. מתוכם

70%

מעדיפים בוקר. מבין מי שלא בחוג,

40%

מעדיפים בוקר. מצאו

P (בוקר)

מה צריך לעשות לפני החישוב?

דוגמה שנייה: בודקים הבנה

נוסיף דוגמה קצרה שמדגישה נקודת החלטה שתלמידים נוטים לפספס.

חוזרים מהשטח אל התנאי

שלב 1 מתוך 3

נתון

P (A) = 0.4

ו-

P (A \cap B) = 0.12

. מצאו

P (B ∣ A)

והסבירו את המשמעות במודל שטח.

מה מייצג החיתוך במודל שטח?

אסטרטגיית עבודה

במודל שטח כל פעולה מקבלת משמעות חזותית: כפל יוצר שטח קטן, חילוק חוזר מהשטח אל השיעור בתוך הרצועה.

שלבי פתרון

קוראים

סמנו מילים כמו ידוע ש, או, וגם, לפחות.

החליטו מה נשאל.

מייצגים

בחרו טבלה, עץ, שטח או נוסחה.

כתבו מונה ומכנה לפני חישוב.

בודקים

ודאו שהתשובה בין $0$ ל- $1$ .

כתבו משפט מסכם בעברית.

מה רואים במלבן

ידוע ש

מחפשים הסתברות מותנית ומכנה חדש.

גם וגם

מחפשים חיתוך, לעיתים באמצעות כפל במסלול או במודל שטח.

או

מחפשים איחוד, ובודקים אם יש חפיפה.

לפחות

לעיתים המשלים קצר וברור יותר.

שטח, טבלה ועץ

טבלה

כאשר הנתונים מחולקים לפי שתי תכונות.

עץ

כאשר יש שלבים וסדר.

שטח או דיאגרמת ון

כאשר רוצים לראות חיתוך, איחוד ומשלים.

בחירה נכונה של כלי מקצרת את הדרך ומקטינה טעויות.

דוגמה שלישית: מוצאים תא חסר ממודל שטח

במודל שטח נתון

P (B) = 0.5

ו-

P (A \cap B) = 0.2

. מהו

P (A ∣ B)

ומהו השטח של

B

שאינו

A

תרגול מודרך

התרגילים מדורגים: תחילה זיהוי ישיר, אחר כך חישוב, ולבסוף שילוב עם ניסוח מסקנה.

חיתוך בסיסי

בסיסי

נתון $P (A) = 0.5$ , $P (B ∣ A) = 0.4$ . מצאו $P (A \cap B)$ .

0.5 \cdot 0.4 = 0.2

סך הכול של $B$

בינוני

נתון $P (A) = 0.3$ , $P (B ∣ A) = 0.8$ , $P (B ∣ \overline{A}) = 0.2$ . מצאו $P (B)$ .

0.3 \cdot 0.8 + 0.7 \cdot 0.2 = 0.38

חזרה מתא לשיעור מותנה

בינוני

אם $P (A) = 0.4$ ו- $P (A \cap B) = 0.12$ , מצאו $P (B ∣ A)$ .

\frac{0.12}{0.4} = 0.3

סימן לאי תלות

מאתגר

נתון $P (A) = 0.25$ , $P (B ∣ A) = 0.6$ , $P (B ∣ \overline{A}) = 0.6$ . מצאו $P (B)$ ומה מיוחד בתוצאה.

0.25 \cdot 0.6 + 0.75 \cdot 0.6 = 0.6

תא חסר במודל שטח

מאתגר

במודל שטח $P (B) = 0.6$ ו- $P (A \cap B) = 0.18$ . מצאו את $P (A ∣ B)$ ואת השטח של $B$ שאינו $A$ .

\frac{0.18}{0.6}

אל תחברו שיעורים מותנים מרצועות שונות

שיעור מותנה הוא גובה יחסי בתוך רצועה. לפני שמחברים, צריך להפוך אותו לשטח מתוך כל המלבן.

סמנו מילים חשובות.
בחרו ייצוג.
חשבו ורק אז פרשו.

שאלה לחשיבה

איך יודעים שהפתרון לא רק נכון מספרית אלא גם מתאים לשאלה?

בודקים שהמונה והמכנה מייצגים את מה שנשאל, שהפעולה מתאימה למילים, ושהמשפט הסופי עונה בדיוק על ההקשר.

המשמעות קודמת לנוסחה.

אותם כלים מופיעים גם בסטטיסטיקה, במדעי המחשב, בתכנון ניסויים ובקריאת נתונים בתקשורת. לכן פרק 6 הוא פרק של אוריינות מתמטית ולא רק של חישוב.

שאלה 1 מתוך 14

נתון $P (A) = 0.55$ , $P (B) = 0.40$ , $P (A \cap B) = 0.25$ . מהו $P (A \cup B)$ ?

המשך קריאה

עוד עמודים שיכולים לחבר את מה שלמדתם עכשיו

בפרקטבלה דו-ממדית והסתברות מותנית בפרקמאורעות תלויים ובלתי תלויים קשורשכיחות יחסית והסתברות ניסויית קשורתחום הגדרה

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של מודל שטח להסתברות של שני מאורעות כבר מוכן.

פתחו תרגול