אימון מתמטיקה מודרך

תרגול: משיק ורדיוס

תרגלו משיק ורדיוס בכיתה ט: מאונכות בנקודת השקה, משפט הפוך, שני משיקים מנקודה חיצונית ושימוש בפיתגורס עם פתרונות להכנה למבחן בגאומטריה.

להתחלת התרגול חזרה להסבר

תרגילים: 14
כיתה: כיתה ט׳
פרק: מקביליות, מרובעים ומעגל

דף תרגולתרגול: משיק ורדיוס

ניקוד0

התקדמות0/14

ציון0/0

תרגול: משיק ורדיוס

המשפט המרכזי - מאונכות.

O T ⊥ P T

זווית מאונכת

בסיסי

משיק בנקודה $T$ ורדיוס $O T$ . מה גודל הזווית ביניהם?

∠ O T P

חזרה לרעיון המרכזי

הרדיוס, המשיק והקו לנקודה החיצונית - יוצרים משולש ישר זווית.

O P^{2} = O T^{2} + P T^{2}

מציאת אורך משיק

בסיסי

$P T$ משיק, $O T = 5$ , $O P = 13$ . מצאו $P T$ .

P T^{2} = O P^{2} - O T^{2}

חזרה לדוגמאות פתורות

פיתגורס בכיוון אחר.

מציאת רדיוס

בינוני

מנקודה חיצונית $P$ משיק $P T = 8$ , מרחק $O P = 10$ . מצאו את הרדיוס.

O T^{2} = O P^{2} - P T^{2}

חזרה לתרגול מדורג

שני משיקים מאותה נקודה שווים זה לזה.

P T = P Q

השוואת משיקים

בסיסי

מנקודה חיצונית $P$ יוצאים שני משיקים $P T$ ו- $P Q$ . נתון $P T = 3 x + 2$ , $P Q = 20$ . מצאו $x$ .

3 x + 2 = 20

חזרה לדוגמאות פתורות

בעיה אלגברית מעט יותר מורכבת.

שני ביטויים אלגבריים

בינוני

מהנקודה $P$ יוצאים שני משיקים למעגל, $P A$ ו- $P B$ . נתון $P A = 3 x + 2$ ו- $P B = 5 x - 4$ . מצאו את $x$ ואת אורך המשיקים.

3 x + 2 = 5 x - 4

חזרה לתרגול מדורג

תרגיל אלגברי קצר.

מציאת x מתוך משיקים

בסיסי

שני משיקים מאותה נקודה הם $2 x + 1$ ו- $15$ . מצאו $x$ .

2 x + 1 = 15

חזרה לדוגמאות פתורות

מאונך לרדיוס בקצהו = משיק.

זיהוי משיק

בסיסי

נקודה $T$ על המעגל, $O T$ רדיוס, וישר $ℓ$ עובר דרך $T$ ומאונך ל- $O T$ . מה אפשר להסיק על $ℓ$ ?

O T ⊥ ℓ \land T \in מעגל

חזרה לרעיון המרכזי

המאונכות חייבת להיות בקצה הרדיוס שעל המעגל.

מאונך לא במקום הנכון

בינוני

ישר מאונך לרדיוס, אבל לא בקצה הרדיוס שעל המעגל. האם הוא בהכרח משיק?

ℓ ⊥ O T, T \in / מעגל

חזרה למשפטים

פיתגורס + מאונכות = משיק.

מאימות פיתגורס למשיק

במעגל שמרכזו

O

, הנקודה

T

על המעגל ו-

P

מחוץ למעגל. נתון

O T = 5

P T = 12

O P = 13

. הוכיחו ש-

P T

משיק למעגל.

חזרה לדוגמאות פתורות

סמנו את התשובה הנכונה.

שאלה 1 מתוך 3

שני משיקים מנקודה חיצונית אחת:

חזרה למפת משפטים

יישום אדריכלי - מעגל הפנימי.

טבעת על משטח

בינוני

טבעת בעלת רדיוס $r = 4$ מונחת על משטח. ממרחק $O P = 5$ מהמרכז שולחים קרן ישר שמשיקה לטבעת. מה אורך הקרן מהנקודה החיצונית עד נקודת ההשקה?

P T^{2} = O P^{2} - r^{2}

חזרה לתרגול מדורג

O P A P

כמרובע מיוחד.

שני משיקים ומרובע

מאתגר

מהנקודה $P$ שני משיקים: $P A$ ו- $P B$ . מה הקשר בין $∠ A P B$ לבין $∠ A O B$ ?

∠ A P B + ∠ A O B = 18 0^{\circ}

חזרה לתרגול מדורג

משפטי משיק - סיכום.

מה הזווית בין רדיוס למשיק בנקודת ההשקה?

לחצו לגלות

$9 0^{\circ}$ .

לחצו לחזור

שני משיקים מנקודה חיצונית אחת?

לחצו לגלות

שווים זה לזה.

לחצו לחזור

המשפט ההפוך?

לחצו לגלות

ישר העובר דרך נקודה על המעגל ומאונך לרדיוס בה - הוא משיק.

לחצו לחזור

פיתגורס במשיק?

לחצו לגלות

$O P^{2} = O T^{2} + P T^{2} (O P$ יתר).

לחצו לחזור

במרובע $O A P B$ (שני משיקים)?

לחצו לגלות

שתי זוויות ישרות; $∠ A P B + ∠ A O B = 18 0^{\circ}$ .

לחצו לחזור

מאונך לרדיוס במקום שאינו על המעגל?

לחצו לגלות

לא בהכרח משיק.

לחצו לחזור

חזרה למפת משפטים

ענו לעצמכם לפני פתיחת התשובה.

שאלה לחשיבה

למה משפט המאונכות של רדיוס למשיק כל כך שימושי בפתרון בעיות?

כי הרדיוס למשיק יוצר זווית ישרה, ואז מופיע משולש ישר זווית שאפשר לחשב בו אורכים. זה הופך בעיות מעגל - שלכאורה דורשות כלים מתקדמים - לבעיות פיתגורס פשוטות. למעשה, רוב בעיות החישוב במשיקים נפתרות בעזרת זיהוי המשולש הישר זווית שיוצר הרדיוס עם המשיק, ושימוש בפיתגורס או בשלשות פיתגוריות מוכרות.

חזרה לרעיון המרכזי