מלבן: תכונות וזיהוי

תכונות

להשתמש בזוויות ישרות ובאלכסונים שווים במלבן.

זיהוי

להוכיח מלבן דרך מקבילית עם זווית ישרה או אלכסונים שווים.

מסלול ישיר

להוכיח מלבן ממרובע עם שלוש זוויות ישרות.

זהירות

לא להסיק מלבן מאלכסונים שווים במרובע כללי.

הרעיון המרכזי

מלבן הוא מקבילית שקיבלה תנאי נוסף: זווית ישרה. מכאן כל תכונות המקבילית נשארות, ובנוסף כל הזוויות ישרות והאלכסונים שווים.

שרטוט מפתח

השרטוט אינו הוכחה בפני עצמו, אבל הוא עוזר לסמן נתונים, להבין אילו משולשים או קטעים כדאי להשוות, ולבדוק אם המשפט שבחרנו מתאים.

איך כותבים הוכחה

לפני כל הוכחה כדאי לכתוב שלוש שורות קצרות: מה נתון, מה צריך להוכיח, ואיזה משפט מגשר בין הנתון למטרה. כך נמנעים מקפיצה ישירה למסקנה.

מפת עבודה להוכחה

דרך מקבילית

זווית אחת

הוכיחו קודם מקבילית.

הראו זווית ישרה אחת.

סכמו: מקבילית עם זווית ישרה היא מלבן.

דרך אלכסונים

שווים

הוכיחו קודם מקבילית.

הראו $AC=BD$.

רק במקבילית אלכסונים שווים מזהים מלבן.

שלוש זוויות

מסלול ישיר

אם במרובע יש שלוש זוויות ישרות, הרביעית גם ישרה.

לכן כל הזוויות ישרות.

זה מספיק להגדרת מלבן.

בדיקת יתר

לא להתבלבל

אלכסונים שווים במרובע כללי אינם מספיקים.

צריך מקבילית או הגדרת מלבן.

טרפז שווה שוקיים הוא דוגמה נגדית חשובה.

דוגמאות פתורות

הדוגמאות הבאות מדגימות לא רק חישוב, אלא בחירת משפט והצדקת תנאי השימוש בו.

מזווית ישרה אחת למלבן

במקבילית $ABCD$ נתון $\angle A=90^{\circ }$. הוכיחו שהמקבילית היא מלבן.

פתרו יחד

שלוש זוויות ישרות

במרובע $ABCD$ נתון $\angle A=\angle B=\angle C=90^{\circ }$. הוכיחו שהמרובע מלבן.

פתרו יחד

דוגמה 3 - זיהוי מלבן מאלכסונים שווים

נתון שמרובע $ABCD$ הוא מקבילית ואלכסוניו שווים: $AC=BD$. הוכיחו שהוא מלבן.

פתרו יחד

תרגול מדורג

התרגילים מסודרים מהפעלת משפט בסיסית עד בחירת מסלול הוכחה. נסו קודם לזהות את המשפט לפני שאתם מחשבים.

חצי אלכסון במלבן

בסיסי

במלבן $AC=18$. האלכסונים נחתכים ב-$O$. מצאו את $AO$.

$$AO=\frac{AC}{2}$$

רמז (1/2)

הצג פתרון

אלכסונים שווים

בסיסי

במלבן $AC=24$. מה אורך $BD$?

$$AC=BD$$

רמז (1/1)

הצג פתרון

האם מספיק?

בינוני

במרובע כללי האלכסונים שווים. האם אפשר להסיק שהמרובע מלבן?

$$AC=BD$$

רמז (1/2)

הצג פתרון

שלוש זוויות

בינוני

במרובע שלוש זוויות הן $90^{\circ }$. מצאו את הרביעית וסווגו את המרובע.

$$D=360^{\circ }-270^{\circ }$$

רמז (1/1)

הצג פתרון

בחירת מסלול

מאתגר

במקבילית נתון $AC=BD$. איזה משפט מזהה מלבן, ומה אסור לכתוב לפני שמזכירים שהצורה מקבילית?

$$AC=BD$$

רמז (1/2)

הצג פתרון

האם האלכסונים מספיקים?

מאתגר

נתון שמרובע הוא מקבילית, $AC=BD$, ו-$\angle A=70^{\circ }$. האם הנתונים עקביים? נמקו.

$$ABCD\text{מקבילית},AC=BD$$

רמז (1/3)

הצג פתרון

חידון קצר

החידון בודק הגדרות, חישובים, בחירת משפט ודוגמאות נגדיות. אם טעיתם, חזרו בעיקר לסעיף "משפטים ותנאי שימוש".

שאלה 1 מתוך 14

מה ייחודי באלכסוני מלבן לעומת מקבילית כללית?

א

הם קצרים יותר מהצלעות

ב

הם אינם נחצים

ג

הם גם שווים, לא רק חוצים זה את זה

ד

הם מאונכים זה לזה

פוסטר סיכום

מלבן: תכונות וזיהוי

מקביליות, מרובעים ומעגל

למדו מלבן: תכונות וזיהוי במתמטיקה לכיתה ט׳: מקבילית, מלבן, מעוין, ריבוע, דלתון, מיתרים ומשיקים. שיעור אינטראקטיבי עם הסברים, דוגמאות, חידון ותרגול למבחן.