דלתון ושטח עם אלכסונים מאונכים

הגדרה מדויקת

להגדיר דלתון עם שני זוגות נפרדים של צלעות סמוכות שוות.

אלכסון ראשי

להשתמש באלכסון הסימטריה הראשי שמאונך לאלכסון השני וחוצה אותו.

שטח

להוכיח וליישם $S=\frac{d_1{d}_2}{2}$.

זהירות

להבחין בין דלתון, מעוין ומרובע מאונך אלכסונים.

הרעיון המרכזי

בפרק זה הדלתון חוזר בעיקר כדי ללמד נוסחת שטח רחבה יותר: כל מרובע שאלכסוניו מאונכים ניתן לפרק לארבעה משולשים ישרי זווית, והשטח שלו הוא חצי מכפלת האלכסונים.

שרטוט מפתח

השרטוט אינו הוכחה בפני עצמו, אבל הוא עוזר לסמן נתונים, להבין אילו משולשים או קטעים כדאי להשוות, ולבדוק אם המשפט שבחרנו מתאים.

איך כותבים הוכחה

לפני כל הוכחה כדאי לכתוב שלוש שורות קצרות: מה נתון, מה צריך להוכיח, ואיזה משפט מגשר בין הנתון למטרה. כך נמנעים מקפיצה ישירה למסקנה.

מפת עבודה להוכחה

זהו דלתון

זוגות סמוכים

חפשו שני זוגות נפרדים של צלעות סמוכות שוות.

סמוכים פירושו צלעות שנפגשות בקודקוד.

הימנעו מסימון זוגות נגדיים.

סמנו אלכסון ראשי

ציר סימטריה

הוא מחבר את הקודקודים שבהם נפגשות הצלעות השוות.

הוא מאונך לאלכסון השני.

הוא חוצה את האלכסון השני.

שטח

אלכסונים מאונכים

בדקו $d_1\perp d_2$.

כפלו את אורכי האלכסונים.

חלקו ב-$2$.

לא כל מאונך הוא דלתון

משפטים נפרדים

אלכסונים מאונכים נותנים נוסחת שטח.

הם לא מוכיחים לבד דלתון.

צריך נתוני צלעות או סימטריה.

דוגמאות פתורות

הדוגמאות הבאות מדגימות לא רק חישוב, אלא בחירת משפט והצדקת תנאי השימוש בו.

הוכחת נוסחת השטח

במרובע שאלכסוניו מאונכים ואורכיהם $d_1$, $d_2$, הסבירו מדוע השטח הוא $\frac{d_1{d}_2}{2}$.

פתרו יחד

זיהוי האלכסון הראשי

בדלתון $ABCD$ נתון $AB=AD$ וגם $CB=CD$. איזה אלכסון הוא הראשי?

הצג פתרון

דוגמה 3 - אלכסון חסר מתוך שטח

בדלתון אלכסוניו מאונכים. השטח הוא $96$ סמ״ר ואורך אלכסון אחד הוא $16$ ס״מ. מצאו את אורך האלכסון השני.

פתרו יחד

תרגול מדורג

התרגילים מסודרים מהפעלת משפט בסיסית עד בחירת מסלול הוכחה. נסו קודם לזהות את המשפט לפני שאתם מחשבים.

שטח דלתון

בסיסי

אלכסוני דלתון הם $9$ ו-$16$. מצאו את השטח.

$$S=\frac{9\cdot 16}{2}$$

רמז (1/2)

הצג פתרון

חציית האלכסון השני

בסיסי

בדלתון האלכסון הראשי חותך את האלכסון השני בנקודה $O$. אם $BO=7$, מה $OD$?

$$BO=OD$$

רמז (1/1)

הצג פתרון

מרובע שאינו דלתון

בינוני

מרובע שאלכסוניו מאונכים. האם אפשר להסיק שהוא דלתון?

$$d_1\perp d_2$$

רמז (1/1)

הצג פתרון

מציאת אלכסון חסר

בינוני

שטח מרובע שאלכסוניו מאונכים הוא $90$. אלכסון אחד הוא $12$. מצאו את השני.

$$90=\frac{12d}{2}$$

רמז (1/1)

הצג פתרון

דלתון ומעוין

מאתגר

האם מעוין מקיים את נוסחת שטח האלכסונים? הסבירו.

$$S=\frac{d_1{d}_2}{2}$$

רמז (1/2)

הצג פתרון

אלכסון חסר בדלתון

מאתגר

שטח דלתון הוא $135$ סמ״ר ואחד מאלכסוניו הוא $18$ ס״מ. מצאו את האלכסון השני.

$$135=\frac{18\cdot d}{2}$$

רמז (1/2)

הצג פתרון

חידון קצר

החידון בודק הגדרות, חישובים, בחירת משפט ודוגמאות נגדיות. אם טעיתם, חזרו בעיקר לסעיף "משפטים ותנאי שימוש".

שאלה 1 מתוך 14

האלכסון הראשי בדלתון קמור עם זוגות סמוכים נפרדים...

א

הוא קוטר

ב

אינו חשוב

ג

שווה תמיד לאלכסון השני

ד

מאונך לאלכסון השני וחוצה אותו

פוסטר סיכום

דלתון ושטח עם אלכסונים מאונכים

מקביליות, מרובעים ומעגל

למדו דלתון ושטח עם אלכסונים מאונכים במתמטיקה לכיתה ט׳: מקבילית, מלבן, מעוין, ריבוע, דלתון, מיתרים ומשיקים. שיעור אינטראקטיבי עם הסברים, דוגמאות, חידון ותרגול.