מעוין: תכונות וזיהוי
כל הצלעות שוות, אלכסונים מאונכים וחוצי זוויות
מה נלמד במודול
הגדרה
אלכסונים
זיהוי
שטח
הרעיון המרכזי
מעוין הוא מקבילית שבה השוויון של הצלעות מוסיף סימטריה חזקה. האלכסונים לא רק נחצים כמו בכל מקבילית, אלא גם מאונכים וחוצים זוויות.
מקבילית שכל צלעותיה שוות
מעוין שייך למשפחת המקביליות, ולכן מתחילים ממנו כאל מקבילית עם תוספת.
אם במקבילית שתי צלעות סמוכות שוות, אז בגלל תכונות המקבילית גם שאר הצלעות שוות. מכאן מתקבל מעוין. במעוין האלכסונים יוצרים ארבעה משולשים ישרי זווית קטנים, ולכן הם כלי חזק לחישובי שטח ואורך.
הבדיקה המרכזית היא האם יש לנו מקבילית ועוד סימן שמכריח את כל הצלעות להיות שוות.
משפטים ותנאי שימוש
| מצב | מה מותר להסיק | איך מנמקים |
|---|---|---|
| מעוין | כל הצלעות שוות | חישובי היקף ושוויון צלעות. |
| מעוין | האלכסונים מאונכים וחוצים זה את זה | נקודת החיתוך היא גם אמצע וגם זווית ישרה. |
| מעוין | האלכסונים חוצים את זוויות המעוין | מתאים לחישובי זוויות ולהוכחות. |
| מקבילית עם שתי צלעות סמוכות שוות | מעוין | שאר הצלעות שוות לפי תכונות מקבילית. |
| מקבילית עם אלכסונים מאונכים | מעוין | משפט זיהוי יעיל בשאלות עם . |
* כל משפט משתמשים בו רק אחרי שבודקים שהתנאים שלו באמת נתונים או כבר הוכחו.
שרטוט מפתח
השרטוט אינו הוכחה בפני עצמו, אבל הוא עוזר לסמן נתונים, להבין אילו משולשים או קטעים כדאי להשוות, ולבדוק אם המשפט שבחרנו מתאים.
מעוין ואלכסונים מאונכים
במעוין האלכסונים מאונכים וגם נחצים, ולכן שטח המעוין הוא .
איך כותבים הוכחה
לפני כל הוכחה כדאי לכתוב שלוש שורות קצרות: מה נתון, מה צריך להוכיח, ואיזה משפט מגשר בין הנתון למטרה. כך נמנעים מקפיצה ישירה למסקנה.
מפת עבודה להוכחה
צלע סמוכה
מקבילית ועוד שוויון
הוכיחו מקבילית.
הראו שתי צלעות סמוכות שוות.
מכאן כל הצלעות שוות.
אלכסונים מאונכים
מסלול קצר
הוכיחו מקבילית.
הראו שהאלכסונים מאונכים.
סכמו לפי משפט זיהוי מעוין.
חוצה זווית
סימן נוסף
במעוין האלכסונים חוצים זוויות.
במקבילית, אלכסון שחוצה זווית יכול לזהות מעוין.
צריך לציין שזה בתוך מקבילית.
שטח
אלכסונים
במעוין האלכסונים מאונכים.
לכן .
זו גם נוסחה לכל מרובע שאלכסוניו מאונכים.
שטח מעוין לפי אלכסונים
דוגמאות פתורות
הדוגמאות הבאות מדגימות לא רק חישוב, אלא בחירת משפט והצדקת תנאי השימוש בו.
מקבילית עם צלעות סמוכות שוות
זיהוי לפי אלכסונים מאונכים
דוגמה 3 - מעוין עם אלכסונים מאונכים וחישוב היקף
תרגול מדורג
התרגילים מסודרים מהפעלת משפט בסיסית עד בחירת מסלול הוכחה. נסו קודם לזהות את המשפט לפני שאתם מחשבים.
שטח לפי אלכסונים
במעוין האלכסונים הם ו-. מצאו את השטח.
חישוב זווית
אלכסון במעוין חוצה זווית לשתי זוויות של . מה גודל הזווית המקורית?
תנאי לא מספיק
האם אלכסונים מאונכים במרובע כללי מספיקים כדי להוכיח מעוין?
היקף מעוין
היקף מעוין הוא . מה אורך כל צלע?
השוואת משפחות
במקבילית האלכסונים גם שווים וגם מאונכים. מה אפשר להסיק?
היקף מעוין מאלכסונים
במעוין האלכסונים הם ו-. מצאו את אורך הצלע ואת ההיקף.
בדיקות מהירות ודוגמאות נגדיות
מעוין אינו תמיד מלבן
במעוין האלכסונים מאונכים, אבל לא חייבות להיות זוויות ישרות.
מעוין יכול להיות ריבוע
אם נוסף גם תנאי של זווית ישרה או אלכסונים שווים, המעוין הופך לריבוע.
דלתון דומה אבל שונה
לדלתון יש זוגות צלעות סמוכות שוות, אבל הוא לא חייב להיות מקבילית.
אלכסונים כשטח
הנוסחה עם אלכסונים נוחה במיוחד כשאין גובה מפורש.
מאונכים לבד אינם מספיקים
טעות מפתה: כל מרובע שאלכסוניו מאונכים הוא מעוין.
תיקון: במקבילית, אלכסונים מאונכים מזהים מעוין. במרובע כללי יכולים לקבל דלתון או מרובע אחר.
משפטי זיהוי רבים מתחילים במילים "במקבילית". אל תשמיטו אותן.
שאלה לחשיבה
למה במעוין אפשר לחשב שטח גם כמו מקבילית וגם לפי אלכסונים?
כי הוא גם מקבילית וגם מרובע שאלכסוניו מאונכים. כל אחת מהמשפחות נותנת כלי אחר.
חידון קצר
החידון בודק הגדרות, חישובים, בחירת משפט ודוגמאות נגדיות. אם טעיתם, חזרו בעיקר לסעיף "משפטים ותנאי שימוש".
