מעגל: זוויות, מיתרים וקשתות

זווית מרכזית, זווית היקפית, אותה קשת ומיתרים מתאימים

מה נלמד במודול

המודול הזה בונה ידע הוכחתי מלא בנושא מעגל: זוויות, מיתרים וקשתות. המטרה היא לא רק לזכור משפטים, אלא לדעת מתי מותר להשתמש בהם, איך מוכיחים אותם, ואיך בודקים שהנתונים מספיקים.

מושגים

להבחין בין מרכז, רדיוס, קוטר, מיתר וקשת.

זוויות

להשתמש בקשר בין זווית מרכזית והיקפית על אותה קשת.

מיתרים

לקשר בין מיתרים שווים לקשתות הקטנות המתאימות.

דיוק

לזהות תמיד על איזו קשת נשענת הזווית.

מושגים

להבחין בין מרכז, רדיוס, קוטר, מיתר וקשת.

זוויות

להשתמש בקשר בין זווית מרכזית והיקפית על אותה קשת.

מיתרים

לקשר בין מיתרים שווים לקשתות הקטנות המתאימות.

דיוק

לזהות תמיד על איזו קשת נשענת הזווית.

הרעיון המרכזי

במעגל, השאלה החשובה היא לא רק מה גודל הזווית אלא על איזו קשת היא נשענת. אותה קשת מחברת בין זוויות, מיתרים וקשתות.

אותה קשת, מידע שונה

זווית מרכזית וזווית היקפית יכולות "להסתכל" על אותה קשת.

זווית מרכזית שקודקודה במרכז המעגל שווה למידת הקשת שעליה היא נשענת. זווית היקפית שקודקודה על המעגל ונשענת על אותה קשת שווה למחצית הזווית המרכזית. לכן זיהוי הקשת הוא תנאי השימוש במשפט.

∠_{היקפית} = \frac{1}{2} ∠_{מרכזית}

אם שתי זוויות היקפיות נשענות על אותה קשת, הן שוות זו לזו.

משפטים ותנאי שימוש

מצב	מה מותר להסיק	איך מנמקים
רדיוסים באותו מעגל	שווים	משווים קטעים ויוצרים משולשים שווי שוקיים.
זווית היקפית וזווית מרכזית על אותה קשת	ההיקפית חצי מהמרכזית	חישובי זוויות.
זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת	שוות	בודקים שהקשת היא אותה קשת.
זווית היקפית הנשענת על קוטר	זווית ישרה	הקשת היא חצי מעגל, כלומר $18 0^{\circ}$ .
מיתרים שווים באותו מעגל	הקשתות הקטנות המתאימות שוות	מדייקים באיזו קשת של כל מיתר משתמשים.

* כל משפט משתמשים בו רק אחרי שבודקים שהתנאים שלו באמת נתונים או כבר הוכחו.

$math/044-geometry$ שרטוט מפתח

השרטוט אינו הוכחה בפני עצמו, אבל הוא עוזר לסמן נתונים, להבין אילו משולשים או קטעים כדאי להשוות, ולבדוק אם המשפט שבחרנו מתאים.

זוויות על אותה קשת

הזוויות $∠ A C B$ ו- $∠ A D B$ נשענות על אותה קשת קטנה $A B$ , ולכן הן שוות.

איך כותבים הוכחה

לפני כל הוכחה כדאי לכתוב שלוש שורות קצרות: מה נתון, מה צריך להוכיח, ואיזה משפט מגשר בין הנתון למטרה. כך נמנעים מקפיצה ישירה למסקנה.

מפת עבודה להוכחה

זהו את הקשת

לפני חישוב

סמנו את שתי נקודות הקצה של המיתר או הזווית.

בדקו אם מדובר באותה קשת.

רק אז השתמשו במשפט.

$math/029-angle$

מרכזית מול היקפית

פי שניים

מרכזית על אותה קשת כפולה מההיקפית.

היקפית על אותה קשת חצי מהמרכזית.

לא מערבבים קשתות שונות.

קוטר

חצי מעגל

קוטר יוצר קשת של $18 0^{\circ}$ .

זווית היקפית על קוטר היא $9 0^{\circ}$ .

זה יוצר משולש ישר זווית.

מיתרים שווים

קשתות מתאימות

מיתרים שווים באותו מעגל מתאימים לקשתות קטנות שוות.

גם הזוויות המרכזיות המתאימות שוות.

ציינו "מתאימות" כדי למנוע בלבול.

זווית היקפית מול מרכזית

α = \frac{1}{2} θ

דוגמאות פתורות

הדוגמאות הבאות מדגימות לא רק חישוב, אלא בחירת משפט והצדקת תנאי השימוש בו.

חישוב זווית היקפית

במעגל זווית מרכזית הנשענת על קשת

A B

היא

12 4^{\circ}

. מה גודל זווית היקפית הנשענת על אותה קשת?

זווית הנשענת על קוטר

הנקודות

A

B

C

על המעגל ו-

A B

קוטר. מצאו את

∠ A C B

דוגמה 3 - שרשרת קשת, מיתר וזווית

במעגל שמרכזו

O

, הזווית ההיקפית

∠ A C B = 4 2^{\circ}

נשענת על הקשת הקטנה

A B

. בנוסף

A B = D E

. מצאו את הזווית המרכזית

∠ D O E

הנשענת על הקשת הקטנה

D E

דוגמה 4 - מזוויות שוות לקשתות שוות

באותו מעגל, הזווית ההיקפית

∠ A P B

נשענת על הקשת הקטנה

A B

, והזווית ההיקפית

∠ C Q D

נשענת על הקשת הקטנה

C D

. נתון

∠ A P B = ∠ C Q D = 3 5^{\circ}

. מה אפשר לומר על הקשתות הקטנות

A B

ו-

C D

תרגול מדורג

התרגילים מסודרים מהפעלת משפט בסיסית עד בחירת מסלול הוכחה. נסו קודם לזהות את המשפט לפני שאתם מחשבים.

מרכזית להיקפית

בסיסי

זווית מרכזית היא $8 6^{\circ}$ . מצאו זווית היקפית על אותה קשת.

\frac{8 6 ^{\circ}}{2}

היקפית למרכזית

בסיסי

זווית היקפית היא $3 7^{\circ}$ . מצאו את המרכזית על אותה קשת.

2 \cdot 3 7^{\circ}

אותה קשת?

בינוני

שתי זוויות היקפיות, $∠ A C B$ ו- $∠ A D B$ , נשענות על הקשת הקטנה $A B$ . אם $∠ A C B = 5 8^{\circ}$ , מה גודל $∠ A D B$ ?

∠ A C B = ∠ A D B

מיתרים וקשתות

בינוני

באותו מעגל המיתרים $A B$ ו- $C D$ שווים. מה אפשר לומר על הקשתות הקטנות המתאימות?

A B = C D

קוטר ומשולש

מאתגר

במעגל $A B$ קוטר, $A C = 6$ , $B C = 8$ . מצאו את $A B$ .

A B^{2} = 6^{2} + 8^{2}

שרשרת קשת, מיתר וזווית

מאתגר

במעגל, הזווית ההיקפית $∠ A P B = 3 1^{\circ}$ נשענת על הקשת הקטנה $A B$ . נתון גם $A B = C D$ . מצאו את הזווית המרכזית $∠ C O D$ הנשענת על הקשת הקטנה $C D$ .

A B = C D, ∠ A P B = 3 1^{\circ}

אותו מיתר, קשת אחרת

מאתגר

במעגל, הנקודה $C$ נמצאת על הקשת הגדולה $A B$ , ולכן $∠ A C B = 4 0^{\circ}$ נשענת על הקשת הקטנה $A B$ . הנקודה $D$ נמצאת על הקשת הקטנה $A B$ . מצאו את $∠ A D B$ .

∠ A C B = 4 0^{\circ}

אנך אמצעי של מיתר ומרכז המעגל

עד כה עסקנו בזוויות ובקשתות. עכשיו נוסיף משפט עוצמתי שמקשר בין מיתר לבין מרכז המעגל: האנך האמצעי של כל מיתר עובר דרך מרכז המעגל.

האנך האמצעי של מיתר עובר דרך המרכז

נתון מיתר $A B$ במעגל שמרכזו $O$ . האנך האמצעי של $A B$ הוא הישר שעובר דרך נקודת האמצע של $A B$ ומאונך ל- $A B$ .

מאחר ש- $O A = O B$ (רדיוסים באותו מעגל), המרכז $O$ נמצא על מקום הגיאומטרי של כל הנקודות השוות-מרחק מ- $A$ ו- $B$ , שהוא בדיוק האנך האמצעי של $A B$ . לכן $O$ שייך לאנך האמצעי.

O A = O B \Rightarrow O על האנך האמצעי של A B

כלל זה פועל גם בכיוון ההפוך: האנך מהמרכז אל מיתר חוצה את המיתר (המרכז שוכן על האנך האמצעי, ולכן הרגל של האנך מ- $O$ אל $A B$ היא גם נקודת האמצע של $A B) .$

שני כיוונים למשפט

כיוון ישיר: האנך האמצעי של מיתר במעגל עובר דרך מרכז המעגל.

כיוון הפוך: האנך מהמרכז אל מיתר חוצה את המיתר. כלומר אם $O M ⊥ A B$ ו- $M$ על $A B$ , אז $A M = M B$ .

שני הכיוונים יחד אומרים: המרכז, נקודת האמצע של המיתר, והנקודה בה האנך מהמרכז פוגש את המיתר - כולן אותה נקודה.

שימוש: מציאת מרכז המעגל

נתונים שני מיתרים

A B

ו-

C D

במעגל. מה אפשר לומר על האנכים האמצעיים שלהם?

שימוש: מציאת אורך מיתר

מרכז מעגל

O

, רדיוס

r = 10

. האנך מ-

O

אל המיתר

A B

הוא

O M = 6

. מה אורך

A B

אנך אמצעי ומרכז

בינוני

מרכז מעגל $O$ , רדיוס $r = 13$ . האנך מ- $O$ למיתר $A B$ פוגש אותו בנקודה $M$ והמרחק $O M = 5$ . מה אורך המיתר?

r = 13, O M = 5

שאלה לחשיבה

האם האנך האמצעי של מיתר בהכרח עובר גם בנקודה שמחלקת את הקשת לשני חצאים? הסבירו.

כן. כיוון שהאנך האמצעי עובר דרך המרכז, הוא מחלק את המעגל לשניים בצורה סימטרית, ולכן הוא חוצה גם את הקשת הקטנה ואת הקשת הגדולה שקובע המיתר. נקודת החיתוך עם הקשת הקטנה נמצאת אמצעה של הקשת.