הגדרה ותכונות מקבילית

הגדרה

לזהות מקבילית לפי שני זוגות צלעות נגדיות מקבילות.

תכונות

להסיק שוויון צלעות, שוויון זוויות וחציית אלכסונים רק אחרי שהמקבילית הוכחה.

חישוב

לפתור שאלות זוויות, קטעים ושטח במקבילית.

הוכחה

לבנות שרשרת נתון, משפט, מסקנה בלי לדלג על תנאים.

הרעיון המרכזי

מקבילית מתחילה מהגדרה אחת קצרה: שני זוגות צלעות נגדיות מקבילות. כל שאר המשפטים הם תוצאות של ההגדרה, ולכן בהוכחה אסור להשתמש בהם לפני שהוכחנו שהמרובע הוא מקבילית.

שרטוט מפתח

השרטוט אינו הוכחה בפני עצמו, אבל הוא עוזר לסמן נתונים, להבין אילו משולשים או קטעים כדאי להשוות, ולבדוק אם המשפט שבחרנו מתאים.

איך כותבים הוכחה

לפני כל הוכחה כדאי לכתוב שלוש שורות קצרות: מה נתון, מה צריך להוכיח, ואיזה משפט מגשר בין הנתון למטרה. כך נמנעים מקפיצה ישירה למסקנה.

מפת עבודה להוכחה

בדקו הגדרה

לפני תכונות

חפשו שני זוגות מקבילים.

כתבו את שתי המקבילויות במפורש.

רק אחר כך השתמשו בצלעות, זוויות או אלכסונים.

העבירו אלכסון

כלי הוכחה

אלכסון יוצר שני משולשים.

מקבילים נותנים זוויות מתחלפות.

חפיפה נותנת שוויון צלעות וזוויות.

חישוב זוויות

סכום סמוכות

זוויות סמוכות במקבילית משלימות ל-$180^{\circ }$.

זוויות נגדיות שוות.

בדקו אם השאלה מבקשת סמוכה או נגדית.

שטח

בסיס וגובה

בחרו בסיס.

מצאו גובה מאונך לאותו בסיס.

הציבו $S=a\cdot h$.

דוגמאות פתורות

הדוגמאות הבאות מדגימות לא רק חישוב, אלא בחירת משפט והצדקת תנאי השימוש בו.

הוכחת צלעות נגדיות שוות

במרובע $ABCD$ נתון $AB\parallel CD$ וגם $AD\parallel BC$. הוכיחו ש-$AB=CD$ ו-$AD=BC$.

פתרו יחד

הוכחת חציית האלכסונים

במקבילית $ABCD$ האלכסונים נחתכים ב-$O$. הוכיחו ש-$AO=OC$ וגם $BO=OD$.

פתרו יחד

דוגמה 3 - זוויות נגדיות שוות

במקבילית $ABCD$ הוכיחו כי $\angle A=\angle C$.

פתרו יחד

תרגול מדורג

התרגילים מסודרים מהפעלת משפט בסיסית עד בחירת מסלול הוכחה. נסו קודם לזהות את המשפט לפני שאתם מחשבים.

זווית סמוכה

בסיסי

במקבילית זווית אחת היא $68^{\circ }$. מצאו את הזווית הסמוכה לה.

$$180^{\circ }-68^{\circ }$$

רמז (1/2)

פתרו את התרגיל

אלכסונים חוצים

בסיסי

במקבילית $ABCD$ האלכסונים נחתכים ב-$O$. נתון $AO=3x+2$ ו-$OC=17$. מצאו את $x$.

$$3x+2=17$$

רמז (1/2)

הצג פתרון

שטח וגובה מתאים

בינוני

שטח מקבילית הוא $84$ סמ״ר והבסיס שנבחר הוא $12$ ס״מ. מה הגובה המתאים?

$$84=12h$$

רמז (1/2)

הצג פתרון

מה מותר להסיק?

בינוני

נתון רק שמרובע $ABCD$ נראה כמו מקבילית בשרטוט. האם מותר להסיק ש-$AB=CD$? נמקו.

$$AB?CD$$

רמז (1/2)

הצג פתרון

תכנון הוכחה

מאתגר

נתון $AB\parallel CD$ ו-$AD\parallel BC$. איזה אלכסון כדאי להעביר כדי להוכיח שצלעות נגדיות שוות, ומה יהיה רעיון ההוכחה?

$$AB\parallel CD,AD\parallel BC$$

רמז (1/2)

הצג פתרון

הוכחת זווית נגדית

מאתגר

במקבילית $ABCD$ נתון $\angle B=68^{\circ }$. מצאו את $\angle D$ ונמקו במשפט מתאים.

$$\angle B=68^{\circ }$$

רמז (1/2)

הצג פתרון

חידון קצר

החידון בודק הגדרות, חישובים, בחירת משפט ודוגמאות נגדיות. אם טעיתם, חזרו בעיקר לסעיף "משפטים ותנאי שימוש".

שאלה 1 מתוך 14

במקבילית זווית אחת היא $70^{\circ }$. מה גודל הזווית הסמוכה לה?

א

$70^{\circ }$

ב

$110^{\circ }$

ג

$20^{\circ }$

ד

$140^{\circ }$

פוסטר סיכום

הגדרה ותכונות מקבילית

מקביליות, מרובעים ומעגל

למדו הגדרה ותכונות מקבילית במתמטיקה לכיתה ט׳: מקבילית, מלבן, מעוין, ריבוע, דלתון, מיתרים ומשיקים. שיעור אינטראקטיבי עם הסברים, דוגמאות, חידון ותרגול למבחן.