מפת משפחת המרובעים
הכלה, זרות, חיתוך חלקי, תנאים ודוגמאות נגדיות
מה נלמד במודול
מפה
קשרים
לוגיקה
הוכחה
הרעיון המרכזי
מפת המשפחות עוזרת לא רק לזכור שמות אלא לדעת אילו תכונות יורשות צורות מיוחדות. טענה כמו "כל ריבוע הוא מלבן" היא טענת הכלה; טענה כמו "כל מלבן הוא ריבוע" דורשת דוגמה נגדית.
משפחה בגאומטריה
משפחה היא קבוצה של צורות שמקיימות תנאי משותף.
אם משפחה אחת נמצאת בתוך משפחה אחרת, כל תכונה של המשפחה הרחבה עוברת לצורה שבפנים. אבל לא כל קשר הוא הכלה: יש משפחות זרות, ויש משפחות שנחתכות רק בחלק מהמקרים.
השפה המדויקת של קשרים מונעת טעויות נפוצות בהוכחות.
משפטים ותנאי שימוש
| מצב | מה מותר להסיק | איך מנמקים |
|---|---|---|
| הכלה | כל צורה במשפחה הקטנה שייכת גם לגדולה | כל ריבוע הוא מלבן; כל מלבן הוא מקבילית. |
| זרות | אין צורה שמשותפת לשתי משפחות | בדוגמה מחמירה, טרפז עם זוג מקבילים אחד בלבד זר למקבילית. |
| חיתוך חלקי | יש צורות משותפות ויש שאינן משותפות | דלתון ומעוין נחתכים בחלקם: מעוין הוא דלתון לפי הגדרה רחבה. |
| תנאי מספיק | אם הוא מתקיים, המסקנה מובטחת | מקבילית עם זווית ישרה מספיקה למלבן. |
| תנאי הכרחי | חייב להתקיים, אבל לא תמיד מספיק | זוג צלעות מקבילות הכרחי למקבילית, אבל זוג אחד בלבד לא מספיק. |
* כל משפט משתמשים בו רק אחרי שבודקים שהתנאים שלו באמת נתונים או כבר הוכחו.
שרטוט מפתח
השרטוט אינו הוכחה בפני עצמו, אבל הוא עוזר לסמן נתונים, להבין אילו משולשים או קטעים כדאי להשוות, ולבדוק אם המשפט שבחרנו מתאים.
מפת משפחות סכמטית
התרשים סכמטי: משפחות פנימיות יורשות תכונות של משפחות חיצוניות, אבל לא כל הקשרים הם הכלה מלאה.
איך כותבים הוכחה
לפני כל הוכחה כדאי לכתוב שלוש שורות קצרות: מה נתון, מה צריך להוכיח, ואיזה משפט מגשר בין הנתון למטרה. כך נמנעים מקפיצה ישירה למסקנה.
מפת עבודה להוכחה
בדקו כיוון
כל או קיים
"כל ריבוע הוא מלבן" נכון.
"כל מלבן הוא ריבוע" לא נכון.
הכיוון משנה את האמת.
חפשו דוגמה נגדית
להפריך כל
לטענת "כל" שגויה מספיקה דוגמה אחת.
בחרו צורה שמקיימת את ההתחלה אך לא את הסוף.
הסבירו במילים מה חסר.
הכלה
ירושת תכונות
ריבוע בתוך מלבן ומעוין.
מלבן ומעוין בתוך מקביליות.
מקבילית בתוך מרובעים.
חיתוך חלקי
לא הכל או כלום
חלק מהדלתונים הם מעוינים לפי הגדרה רחבה.
חלק מהמלבנים הם ריבועים.
חלק מהמעוינים הם ריבועים.
קשרי הכלה מרכזיים
דוגמאות פתורות
הדוגמאות הבאות מדגימות לא רק חישוב, אלא בחירת משפט והצדקת תנאי השימוש בו.
בדיקת טענת כל
תנאי מספיק מול הכרחי
דוגמה 3 - סיווג ממשפחה רחבה למשפחה צרה
תרגול מדורג
התרגילים מסודרים מהפעלת משפט בסיסית עד בחירת מסלול הוכחה. נסו קודם לזהות את המשפט לפני שאתם מחשבים.
טענת הכלה נכונה
השלימו: כל ריבוע הוא גם...
דוגמה נגדית
מצאו דוגמה נגדית לטענה: כל מקבילית היא מלבן.
חיתוך חלקי
הסבירו את הקשר בין מלבנים לריבועים.
תנאי מספיק
האם "מקבילית עם אלכסונים מאונכים" הוא תנאי מספיק למעוין?
סיווג לפי נתונים
מרובע הוא גם מלבן וגם מעוין. מה הסיווג המדויק ביותר?
יחס בין דלתון ומעוין
לפי ההגדרה שבה דלתון הוא מרובע עם שני זוגות צלעות סמוכות שוות, האם כל מעוין הוא דלתון?
סיווג מדויק לפי תנאים
מרובע הוא גם מלבן וגם מעוין. מהו הסיווג המדויק ביותר? נמקו בעזרת מפת המשפחות.
בדיקות מהירות ודוגמאות נגדיות
הכלה מלאה
ריבוע בתוך מלבן: כל ריבוע הוא מלבן, אך לא להפך.
דוגמה נגדית
מקבילית נטויה מפריכה "כל מקבילית היא מלבן".
חיתוך חלקי
חלק מהמלבנים הם ריבועים, אבל רוב המלבנים אינם ריבועים.
תנאי הכרחי
אם צורה היא מלבן, חייבות להיות בה זוויות ישרות. אבל זווית ישרה אחת במרובע כללי אינה מספיקה לבדה.
הכיוון של "כל" קובע
טעות מפתה: אם כל ריבוע הוא מלבן, אז כל מלבן הוא ריבוע.
תיקון: הכלה אינה סימטרית. המשפחה הקטנה בתוך הגדולה אינה אומרת שהגדולה בתוך הקטנה.
קראו טענות מההתחלה לסוף, ובנו דוגמה נגדית אם הכיוון חשוד.
שאלה לחשיבה
למה דוגמה נגדית אחת מספיקה להפריך טענת "כל"?
כי טענת "כל" מתחייבת לכל המקרים. מקרה אחד שמקיים את ההתחלה ולא את הסוף שובר את ההתחייבות.
חידון קצר
החידון בודק הגדרות, חישובים, בחירת משפט ודוגמאות נגדיות. אם טעיתם, חזרו בעיקר לסעיף "משפטים ותנאי שימוש".
