מהו רדיוס למשיק?

נקודת ההשקה היא המקום שבו המעגל והישר נפגשים. אם PT משיק למעגל בנקודה T, והרדיוס OT מגיע ממרכז המעגל אל נקודת ההשקה, אז OT\perp PT. המשפט ההפוך מאפשר לזהות משיק: ישר המאונך לרדיוס בקצה שעל המעגל הוא משיק. בכל הוכחת משיק מסמנים קודם את המרכז, נקודת ההשקה והרדיוס אליה.

משיק ורדיוס

נקודת השקה, מאונכות, משפט הפוך ושני משיקים מנקודה

מה נלמד במודול

המודול הזה בונה ידע הוכחתי מלא בנושא משיק ורדיוס. המטרה היא לא רק לזכור משפטים, אלא לדעת מתי מותר להשתמש בהם, איך מוכיחים אותם, ואיך בודקים שהנתונים מספיקים.

הגדרה

להגדיר משיק כקו ישר שנוגע במעגל בנקודה אחת.

מאונכות

להשתמש ברדיוס לנקודת ההשקה כמאונך למשיק.

משפט הפוך

לזהות משיק מקו מאונך לרדיוס בקצהו.

משיקים שווים

להשתמש בשוויון משיקים מאותה נקודה חיצונית.

הגדרה

להגדיר משיק כקו ישר שנוגע במעגל בנקודה אחת.

מאונכות

להשתמש ברדיוס לנקודת ההשקה כמאונך למשיק.

משפט הפוך

לזהות משיק מקו מאונך לרדיוס בקצהו.

משיקים שווים

להשתמש בשוויון משיקים מאותה נקודה חיצונית.

הרעיון המרכזי

משיק נראה כמו קו שנוגע במעגל בקצה, אבל המשפט החשוב הוא מאונכות: הרדיוס לנקודת ההשקה מאונך למשיק. זה הופך שאלות משיק לשאלות על זוויות ישרות ומשולשים ישרי זווית.

רדיוס למשיק

נקודת ההשקה היא המקום שבו המעגל והישר נפגשים.

אם $P T$ משיק למעגל בנקודה $T$ , והרדיוס $O T$ מגיע ממרכז המעגל אל נקודת ההשקה, אז $O T ⊥ P T$ . המשפט ההפוך מאפשר לזהות משיק: ישר המאונך לרדיוס בקצה שעל המעגל הוא משיק.

O T ⊥ P T

בכל הוכחת משיק מסמנים קודם את המרכז, נקודת ההשקה והרדיוס אליה.

משפטים ותנאי שימוש

מצב	מה מותר להסיק	איך מנמקים
ישר משיק בנקודה $T$	הרדיוס $O T$ מאונך למשיק	מקבלים זווית ישרה ומשולש ישר זווית.
ישר מאונך לרדיוס בקצה שעל המעגל	הישר משיק למעגל	זה המשפט ההפוך לזיהוי משיק.
שני משיקים מאותה נקודה חיצונית	אורכי המשיקים שווים	משווים קטעים ופותרים משוואות.
רדיוסים באותו מעגל	שווים	משמשים בחפיפת משולשים עם משיקים.
נקודת השקה	המאונכות מתרחשת שם בלבד	אין להסיק מאונכות בנקודה אחרת על הישר.

* כל משפט משתמשים בו רק אחרי שבודקים שהתנאים שלו באמת נתונים או כבר הוכחו.

$math/044-geometry$ שרטוט מפתח

תמונה הממחישה רדיוס המאונך למשיק בנקודת ההשקה במעגל — הרדיוס לנקודת ההשקה מאונך למשיק, ולכן מתקבל משולש ישר זווית שימושי לחישוב ולהוכחה.

השרטוט אינו הוכחה בפני עצמו, אבל הוא עוזר לסמן נתונים, להבין אילו משולשים או קטעים כדאי להשוות, ולבדוק אם המשפט שבחרנו מתאים.

משיק ורדיוס לנקודת השקה

הרדיוס לנקודת ההשקה $T$ מאונך למשיק בנקודה $T$ .

איך כותבים הוכחה

לפני כל הוכחה כדאי לכתוב שלוש שורות קצרות: מה נתון, מה צריך להוכיח, ואיזה משפט מגשר בין הנתון למטרה. כך נמנעים מקפיצה ישירה למסקנה.

מפת עבודה להוכחה

סמנו נקודת השקה

העוגן

נקודת ההשקה היא הנקודה היחידה המשותפת למשיק ולמעגל.

העבירו רדיוס אליה.

שם מתקבלת המאונכות.

$math/009-pythagoras$

השתמשו בפיתגורס

משולש ישר

רדיוס ומשיק יוצרים זווית ישרה.

הקטע מהמרכז לנקודה חיצונית הוא לעיתים היתר.

בדקו מי הצלעות.

משפט הפוך

זיהוי משיק

אם ישר מאונך לרדיוס בקצה שעל המעגל, הוא משיק.

צריך שהנקודה תהיה על המעגל.

מאונכות לרדיוס שאינו בקצה לא מספיקה.

שני משיקים

שוויון אורכים

מאותה נקודה חיצונית, אורכי המשיקים שווים.

כתבו משוואה בין הקטעים.

פתרו ובדקו שהאורך חיובי.

משיקים מאותה נקודה

P T = P Q

דוגמאות פתורות

הדוגמאות הבאות מדגימות לא רק חישוב, אלא בחירת משפט והצדקת תנאי השימוש בו.

משיק יוצר זווית ישרה

P T

משיק למעגל בנקודה

T

, ו-

O T

רדיוס. מה גודל

∠ O T P

שני משיקים מאותה נקודה

מנקודה חיצונית

P

יוצאים שני משיקים

P T

ו-

P Q

. נתון

P T = 3 x + 2

P Q = 20

. מצאו

x

דוגמה 3 - בדיקה הפוכה למשיק בעזרת פיתגורס

במעגל שמרכזו

O

, הנקודה

T

על המעגל ו-

P

מחוץ למעגל. נתון

O T = 5

P T = 12

O P = 13

. הוכיחו ש-

P T

משיק למעגל.

תרגול מדורג

התרגילים מסודרים מהפעלת משפט בסיסית עד בחירת מסלול הוכחה. נסו קודם לזהות את המשפט לפני שאתם מחשבים.

זווית משיק

בסיסי

משיק בנקודה $T$ ורדיוס $O T$ . מה גודל הזווית ביניהם?

O T ⊥ P T

פיתגורס עם משיק

בינוני

$P T$ משיק, $O T = 5$ , $O P = 13$ . מצאו $P T$ .

P T^{2} = 1 3^{2} - 5^{2}

משפט הפוך

בינוני

נקודה $T$ על המעגל, $O T$ רדיוס, וישר $ℓ$ עובר דרך $T$ ומאונך ל- $O T$ . מה אפשר להסיק על $ℓ$ ?

ℓ ⊥ O T

משיקים שווים

בינוני

שני משיקים מאותה נקודה הם $2 x + 1$ ו- $15$ . מצאו $x$ .

2 x + 1 = 15

מה לא מספיק לזיהוי משיק

מאתגר

ישר מאונך לרדיוס, אבל לא בקצה הרדיוס שעל המעגל. האם הוא בהכרח משיק?

ℓ ⊥ O T

שני משיקים מאותה נקודה

מאתגר

מהנקודה $P$ יוצאים שני משיקים למעגל, $P A$ ו- $P B$ . נתון $P A = 3 x + 2$ ו- $P B = 5 x - 4$ . מצאו את $x$ ואת אורך המשיקים.

3 x + 2 = 5 x - 4

בדיקות מהירות ודוגמאות נגדיות

נקודת השקה

סמנו אותה מיד. היא המקום שבו מתקבלת הזווית הישרה.

משולש ישר

מרכז, נקודת השקה ונקודה חיצונית יוצרים לעיתים משולש ישר זווית שימושי.

משפט הפוך

מאונכות לרדיוס בקצה שעל המעגל מאפשרת להוכיח שהישר משיק.

שני משיקים

אם שני משיקים יוצאים מאותה נקודה, אפשר להשוות את אורכיהם ולפתור משוואה.

המאונכות היא בנקודת ההשקה

טעות מפתה: אם ישר הוא משיק, הוא מאונך לכל רדיוס במעגל.

תיקון: המשיק מאונך רק לרדיוס שמגיע אל נקודת ההשקה.

בשרטוטים סמנו תמיד את נקודת ההשקה לפני חישוב הזווית.

שאלה לחשיבה

למה משפט המשיק הופך בעיות מעגל לבעיות פיתגורס?

כי הרדיוס למשיק יוצר זווית ישרה, ואז מופיע משולש ישר זווית שאפשר לחשב בו אורכים.

חידון קצר

החידון בודק הגדרות, חישובים, בחירת משפט ודוגמאות נגדיות. אם טעיתם, חזרו בעיקר לסעיף "משפטים ותנאי שימוש".

שאלה 1 מתוך 14

מנקודה חיצונית יוצאים שני משיקים לאותו מעגל. מה נכון על אורכיהם?

המשך קריאה

עוד עמודים שיכולים לחבר את מה שלמדתם עכשיו

בפרקמעגל: זוויות, מיתרים וקשתות בפרקדלתון ושטח עם אלכסונים מאונכים קשורשטח עיגול קשורתכונות המלבן

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של משיק ורדיוס כבר מוכן.

פתחו תרגול