ריבוע כחיתוך בין משפחות

חיבור משפחות

להבין שכל ריבוע הוא גם מלבן וגם מעוין.

תכונות

להשתמש בכל תכונות הצלעות, הזוויות והאלכסונים.

זיהוי

לבחור מסלול זיהוי קצר לפי הנתונים.

תנאי ישיר

להכיר דרך ישירה: כל הצלעות שוות וכל הזוויות ישרות.

הרעיון המרכזי

ריבוע הוא נקודת מפגש של שתי משפחות: מלבן ומעוין. לכן הוא יורש את כל תכונות שתיהן, אבל כדי להוכיח ריבוע צריך להראות גם צד של מלבן וגם צד של מעוין.

שרטוט מפתח

השרטוט אינו הוכחה בפני עצמו, אבל הוא עוזר לסמן נתונים, להבין אילו משולשים או קטעים כדאי להשוות, ולבדוק אם המשפט שבחרנו מתאים.

איך כותבים הוכחה

לפני כל הוכחה כדאי לכתוב שלוש שורות קצרות: מה נתון, מה צריך להוכיח, ואיזה משפט מגשר בין הנתון למטרה. כך נמנעים מקפיצה ישירה למסקנה.

מפת עבודה להוכחה

מתוך מלבן

הוסיפו צלעות שוות

הוכיחו מלבן.

הראו שתי צלעות סמוכות שוות.

מלבן כזה הוא ריבוע.

מתוך מעוין

הוסיפו זווית ישרה

הוכיחו מעוין.

הראו זווית ישרה או אלכסונים שווים.

מעוין כזה הוא ריבוע.

מתוך מקבילית

שני תנאי אלכסונים

אלכסונים שווים נותנים מלבן.

אלכסונים מאונכים נותנים מעוין.

שילוב המסקנות נותן ריבוע.

דרך ישירה

הגדרה מלאה

הראו ארבע צלעות שוות.

הראו ארבע זוויות ישרות.

זה מספיק גם בלי לעבור דרך שמות המשפחה.

דוגמאות פתורות

הדוגמאות הבאות מדגימות לא רק חישוב, אלא בחירת משפט והצדקת תנאי השימוש בו.

מלבן עם צלעות סמוכות שוות

במלבן $ABCD$ נתון $AB=BC$. הוכיחו שהוא ריבוע.

פתרו יחד

מקבילית עם שני תנאי אלכסונים

במקבילית $ABCD$ נתון $AC=BD$ וגם $AC\perp BD$. הוכיחו שהיא ריבוע.

פתרו יחד

דוגמה 3 - מעוין עם אלכסונים שווים

נתון שמרובע הוא מעוין ואלכסוניו שווים. הוכיחו שהוא ריבוע.

פתרו יחד

תרגול מדורג

התרגילים מסודרים מהפעלת משפט בסיסית עד בחירת מסלול הוכחה. נסו קודם לזהות את המשפט לפני שאתם מחשבים.

שטח ריבוע

בסיסי

אורך צלע ריבוע הוא $11$. מצאו שטח והיקף.

$$S=11^2,P=4\cdot 11$$

רמז (1/2)

הצג פתרון

זיהוי מתוך מעוין

בסיסי

במעוין נתון שיש זווית ישרה אחת. מה סוג המרובע?

$$\angle A=90^{\circ }$$

רמז (1/1)

הצג פתרון

דרך ישירה

בינוני

במרובע כל הצלעות שוות וכל הזוויות ישרות. האם צריך להוכיח קודם מקבילית?

$$AB=BC=CD=DA,A=B=C=D=90^{\circ }$$

רמז (1/1)

הצג פתרון

אלכסונים ומסקנות

בינוני

במקבילית האלכסונים מאונכים אך אינם שווים. מה אפשר להסיק?

$$AC\perp BD,AC\ne BD$$

רמז (1/2)

הצג פתרון

בחירת הוכחה קצרה

מאתגר

נתון שמרובע הוא מלבן, ואלכסוניו מאונכים. הוכיחו שהוא ריבוע במסלול קצר.

$$AC\perp BD$$

רמז (1/2)

הצג פתרון

מלבן עם אלכסונים מאונכים

מאתגר

נתון שמרובע הוא מלבן ואלכסוניו מאונכים. הוכיחו שהוא ריבוע.

$$\text{מלבן}+AC\perp BD$$

רמז (1/3)

הצג פתרון

חידון קצר

החידון בודק הגדרות, חישובים, בחירת משפט ודוגמאות נגדיות. אם טעיתם, חזרו בעיקר לסעיף "משפטים ותנאי שימוש".

שאלה 1 מתוך 14

בריבוע צלע $6$. מה אורך האלכסון?

א

$12$

ב

$6\sqrt{2}$

ג

$3\sqrt{2}$

ד

$6$

פוסטר סיכום

ריבוע כחיתוך בין משפחות

מקביליות, מרובעים ומעגל

למדו ריבוע כחיתוך בין משפחות במתמטיקה לכיתה ט׳: מקבילית, מלבן, מעוין, ריבוע, דלתון, מיתרים ומשיקים. שיעור אינטראקטיבי עם הסברים, דוגמאות, חידון ותרגול למבחן.