מהו מאיפה בא כפל בהצלבה?

כפל בהצלבה אינו טריק - הוא נובע ישירות מתכונות שוויון. אם \frac=\frac, אפשר לכפול את שני הצדדים ב-b\cdot d. בצד השמאלי מתקבל \frac\cdot bd=ad. בצד הימני \frac\cdot bd=cb. לכן ad=cb. זוהי הצורה ה'מצולבת' של אותו שוויון. ההיגיון הזה תקף בכל זמן (כש-b,d\ne 0).

פרופורציה ומשוואות יחס

שוויון בין יחסים ופתרון ערך חסר

פותחים את הרעיון

פרופורציה היא טענה ששני יחסים שקולים. כאשר אחד המספרים חסר, אפשר לפתור בעזרת גורם כפל או כפל בהצלבה.

במודול הזה נבנה הגדרה מדויקת, נעבוד דרך דוגמה פתורה, נזהה טעות נפוצה ונעבור לתרגול שמכריח לבדוק משמעות.

טוען סימולציה...

פרופורציה היא שוויון בין שתי מנות

בקטע הזה נעמיק את המושג שכבר פגשנו ונקשר אותו לשאלות שבהן צריך לבחור דרך פתרון, לא רק לבצע חישוב.

פרופורציה היא שוויון בין שתי מנות

$\frac{3}{5} = \frac{12}{20}$ היא פרופורציה כי שני היחסים מצטמצמים ל- $3 : 5$ .

כפל בהצלבה הוא כלי נוח, אבל בסוף צריך לבדוק שהערך שמצאנו באמת יוצר יחס שקול.

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} ⟺ a d = b c$

המשמעות קובעת איזו פעולה מתאימה, והמספרים מאשרים את המשמעות.

כפל בהצלבה

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} ⟺ a \cdot d = b \cdot c

(8)

רעיונות שחייבים להחזיק בראש

שוויון יחסים

שתי מנות שוות מתארות פרופורציה.

גורם כפל

אם קל לראות פי כמה, משתמשים בהרחבת יחס.

כפל בהצלבה

בפרופורציה $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ , המכפלות באלכסון שוות.

בדיקה

מציבים את הערך שמצאנו ורואים שהיחסים שקולים.

שיטת עבודה

כאן הופכים את הרעיון לשגרת פתרון. המטרה היא שתוכלו לחזור על אותם צעדים גם בשאלה חדשה ולא להסתמך על זיהוי מהיר בלבד.

$math/030-equation$ איך פותרים בלי לנחש

מנסים גורם

דרך קצרה

אם מספר אחד מוכפל לגודל ידוע, מכפילים גם את בן זוגו.

זו הדרך הנוחה בטבלאות פשוטות.

כפל בהצלבה

דרך כללית

מכפילים באלכסונים.

פותרים משוואה חד-שלבית.

מציבים חזרה

בדיקה

בודקים שהיחסים מצטמצמים לאותו יחס.

בודקים שהיחידות והסדר לא התחלפו.

שתי דרכים לפתור ערך חסר

פרופורציה	גורם כפל	כפל בהצלבה
$\frac{3}{5} = \frac{x}{20}$	$5 \cdot 4 = 20$ , לכן $x = 12$	$5 x = 60$
$\frac{4}{7} = \frac{16}{x}$	$4 \cdot 4 = 16$ , לכן $x = 28$	$4 x = 112$
$\frac{6}{x} = \frac{9}{12}$	פחות נוח	$9 x = 72$ , לכן $x = 8$

* כאשר הגורם ברור, אין חובה להשתמש בכפל בהצלבה. כאשר לא ברור, כפל בהצלבה עוזר.

דוגמה - ערך חסר בפרופורציה

שלב 1 מתוך 3

פתרו:

\frac{3}{5} = \frac{x}{20}

בדיקה לפני שממשיכים

לפני כפל בהצלבה ציירו קו קצר בין המספרים המתאימים. כך לא תכפילו זוגות לא קשורים.

בדקו את סדר המילים.
בדקו יחידות.
בדקו שהפעולה מתאימה למשמעות.

פרופורציה היא שוויון שצריך לבדוק

כפל בהצלבה הוא כלי חזק, אבל הוא אינו המטרה. המטרה היא למצוא ערך שהופך שני יחסים לשקולים, ואז להציב בחזרה כדי לוודא שהשוויון אמיתי.

שלוש דוגמאות קצרות שמחדדות את הרעיון

גורם כפל

$\frac{3}{5} = \frac{x}{20}$ : מ- $5$ ל- $20$ פי $4$ , לכן $x = 12$ .

כפל בהצלבה

$\frac{4}{7} = \frac{x}{21}$ נותן $7 x = 84$ , ולכן $x = 12$ .

בדיקת הצבה

אחרי שמצאנו $x = 12$ , בודקים $\frac{4}{7} = \frac{12}{21}$ . שני היחסים מצטמצמים ל- $4 : 7$ .

דוגמה נוספת - פתרון בשתי דרכים

שלב 1 מתוך 3

פתרו את הפרופורציה

\frac{5}{8} = \frac{x}{32}

מלכודות נפוצות ואיך יוצאים מהן

כפל בהצלבה תמיד קצר יותר

לא בהכרח. כאשר גורם ההרחבה ברור, הוא לעיתים שקוף יותר.

דוגמה: $\frac{2}{3} = \frac{x}{12}$ נפתר מיד לפי פי $4$ .

הפתרון הוא המספר שחסר לידו

לא. הפתרון הוא הערך שהופך את שני היחסים לשקולים.

דוגמה: חייבים להציב חזרה.

כאשר אתם מזהים מלכודת, אל תמשיכו לחשב. עצרו וכתבו משפט משמעות קצר.

בדיקת איכות לפתרון

פתרון טוב בפרק יחס כולל גם תשובה מספרית וגם בדיקת משמעות. הרשימה הקצרה הזאת נועדה למנוע טעויות של סדר, יחידות ושלם.

חפשו קודם גורם כפל ברור.
אם אין, השתמשו בכפל בהצלבה.
הציבו את התשובה ובדקו שקילות.

כפל בהצלבה - הוכחה ומשמעות

כפל בהצלבה הוא טכניקה רב-עוצמה. נחקור למה היא עובדת ומתי כדאי להשתמש בה.

מאיפה בא כפל בהצלבה

כפל בהצלבה אינו טריק - הוא נובע ישירות מתכונות שוויון.

אם $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ , אפשר לכפול את שני הצדדים ב- $b \cdot d$ . בצד השמאלי מתקבל $\frac{a}{b} \cdot b d = a d$ . בצד הימני $\frac{c}{d} \cdot b d = c b$ . לכן $a d = c b$ . זוהי הצורה ה'מצולבת' של אותו שוויון.

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} ⟺ a d = b c$

ההיגיון הזה תקף בכל זמן (כש- $b, d \neq = 0) .$

פרופורציות בעולם האמיתי

פרופורציות אינן רק תרגיל. הן מופיעות בכל פעם שצריך לשמר יחס בעת שינוי כמות. נראה דוגמאות קלאסיות.

בעיות פרופורציה במציאות

ארוחה למספר אנשים

$\frac{גרם}{אנשים} = קבוע$ . אם ל- $4$ אנשים צריך $600$ גרם, ל- $10$ : $\frac{600}{4} = \frac{x}{10}$ , $x = 1500$ .

מהירות קבועה

$\frac{מרחק}{זמן} = קבוע$ . אם ב- $2$ שעות עוברים $160$ ק״מ, ב- $5$ שעות: $\frac{160}{2} = \frac{x}{5}$ , $x = 400$ ק״מ.

המרת מטבעות

$\frac{שקלים}{דולר} = שער$ . אם $1$ דולר = $3.5$ ש״ח, אז $50$ דולר = $175$ ש״ח.

כיווץ תמונה

$\frac{רוחב}{גובה} = קבוע$ . תמונה $3000 \times 2000$ שמכווצים ל- $1500$ רוחב: $\frac{3000}{2000} = \frac{1500}{x}$ , $x = 1000$ .

מלכודות פרופורציה

אסור לחבר או לחסר במקום להכפיל.
סדר היחס משנה - $\frac{a}{b}$ שונה מ- $\frac{b}{a}$ .
כפל בהצלבה תמיד עובד, אבל לעיתים גורם הרחבה מהיר יותר.
תמיד מציבים בחזרה לבדיקה.
אם הנעלם במכנה, התוצאה אסורה להיות $0$ .

פרופורציה היא משוואת שוויון בין שני יחסים: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ .
כפל בהצלבה: $a d = b c$ (כש- $b, d \neq = 0) .$
אם הגורם ברור, מקצרים בכפל ישיר.
פרופורציה מתאימה לכל מקום שבו יחס נשמר תחת שינוי כמות.
תמיד מציבים חזרה לבדיקה.

$math/030-equation$ התקדמות בפרק

במודול הבא נחקור יחס ישר - מצב שבו שני גדלים גדלים יחד באותו גורם. נראה את הקשר בין יחס לפונקציה $y = k x$ .

שאלה 1 מתוך 16

פתרו $\frac{2}{3} = \frac{x}{12}$ .

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של פרופורציה ומשוואות יחס כבר מוכן.

פתחו תרגול

פרופורציה ומשוואות יחס

פותחים את הרעיון

פרופורציה היא שוויון בין שתי מנות

פרופורציה היא שוויון בין שתי מנות

רעיונות שחייבים להחזיק בראש

שוויון יחסים

גורם כפל

כפל בהצלבה

בדיקה

שיטת עבודה

איך פותרים בלי לנחש

מנסים גורם

כפל בהצלבה

מציבים חזרה

שתי דרכים לפתור ערך חסר

דוגמה - ערך חסר בפרופורציה

בדיקה לפני שממשיכים

פרופורציה היא שוויון שצריך לבדוק

שלוש דוגמאות קצרות שמחדדות את הרעיון

גורם כפל

כפל בהצלבה

בדיקת הצבה

דוגמה נוספת - פתרון בשתי דרכים

מלכודות נפוצות ואיך יוצאים מהן

כפל בהצלבה תמיד קצר יותר

הפתרון הוא המספר שחסר לידו

בדיקת איכות לפתרון

כפל בהצלבה - הוכחה ומשמעות

מאיפה בא כפל בהצלבה

פרופורציות בעולם האמיתי

בעיות פרופורציה במציאות

ארוחה למספר אנשים

מהירות קבועה

המרת מטבעות

כיווץ תמונה

מלכודות פרופורציה

התקדמות בפרק

פתרו 32​=12x​.