יחס והיחס ההפוך

אותם מספרים בסדר אחר מתארים השוואה אחרת

פותחים את הרעיון

שני יחסים יכולים להשתמש באותם מספרים ועדיין לומר דברים שונים. היחס בנים לבנות והיחס בנות לבנים הם שתי השוואות שונות.

במודול הזה נבנה הגדרה מדויקת, נעבוד דרך דוגמה פתורה, נזהה טעות נפוצה ונעבור לתרגול שמכריח לבדוק משמעות.

טוען סימולציה...

היפוך יחס משנה את נקודת המבט

בקטע הזה נעמיק את המושג שכבר פגשנו ונקשר אותו לשאלות שבהן צריך לבחור דרך פתרון, לא רק לבצע חישוב.

היפוך יחס משנה את נקודת המבט

אם היחס בנים לבנות הוא $2 : 3$ , היחס בנות לבנים הוא $3 : 2$ . אלו אינם שני ניסוחים לאותה תשובה, אלא תשובות לשאלות שונות.

יחס והיחס ההפוך יהיו שווים רק במקרה מיוחד שבו שני החלקים שווים. בכל מקרה אחר ההיפוך משנה את המנה ואת המשמעות.

$a : b \neq = b : a בדרך כלל$

המשמעות קובעת איזו פעולה מתאימה, והמספרים מאשרים את המשמעות.

יחס והיפוכו

a : b = \frac{a}{b}, b : a = \frac{b}{a}

(2)

רעיונות שחייבים להחזיק בראש

שאלה אחרת

בנים לבנות ובנות לבנים מתארים אותה כיתה, אבל שתי השוואות שונות.

אותם מספרים, סדר אחר

$5 : 8$ ו- $8 : 5$ אינם שקולים כי המנות $\frac{5}{8}$ ו- $\frac{8}{5}$ שונות.

מקרה שוויון

אם היחס הוא $4 : 4$ , ההיפוך עדיין $4 : 4$ . זה מקרה מיוחד של חלקים שווים.

כותרת חובה

תשובה טובה כוללת גם מספרים וגם מילים: למשל בנים:בנות $2 : 3$ .

שיטת עבודה

כאן הופכים את הרעיון לשגרת פתרון. המטרה היא שתוכלו לחזור על אותם צעדים גם בשאלה חדשה ולא להסתמך על זיהוי מהיר בלבד.

איך פותרים בלי לנחש

מסמנים חצים במילים

מי ראשון ומי שני

מסמנים את הקבוצה הראשונה בשאלה.

כותבים לידה את המספר הראשון ביחס.

מצמצמים רק אחרי הסדר

לא לפני הקריאה

קודם כותבים יחס מלא.

אחר כך מחלקים בשני הצדדים באותו גורם.

בודקים היפוך

שאלה חדשה

אם ביקשו את היחס ההפוך, מחליפים את סדר הקבוצות.

לא משאירים את אותה תשובה רק כי המספרים זהים.

אותו מצב, שתי שאלות

נתונים	שאלה	תשובה
$12$ בנים, $18$ בנות	בנים:בנות	$12 : 18 = 2 : 3$
$12$ בנים, $18$ בנות	בנות:בנים	$18 : 12 = 3 : 2$
$9$ אדומים, $9$ כחולים	אדומים:כחולים וההיפוך	$1 : 1$ בשני הסדרים

* היפוך היחס אינו טעות כאשר השאלה עצמה מבקשת נקודת מבט הפוכה.

דוגמה - קבוצת רובוטיקה

שלב 1 מתוך 2

בקבוצת רובוטיקה יש

10

תלמידות ו-

15

תלמידים. כתבו תלמידות:תלמידים וגם תלמידים:תלמידות.

איזה יחס מתאים לתלמידות:תלמידים?

בדיקה לפני שממשיכים

בכל שאלה סמנו קו קצר מתחת למילה הראשונה ביחס. הסימון הקטן הזה חוסך רוב טעויות ההיפוך.

בדקו את סדר המילים.
בדקו יחידות.
בדקו שהפעולה מתאימה למשמעות.

היחס ההפוך אינו טעות, הוא שאלה אחרת

כאשר מחליפים את סדר הקבוצות, מקבלים יחס תקין אבל שונה. לכן השאלה החשובה היא לא רק מה המספרים, אלא מי נמצא במונה של ההשוואה.

שלוש דוגמאות קצרות שמחדדות את הרעיון

אותה כיתה, שתי תשובות

אם יש $10$ בנות ו- $15$ בנים, בנות:בנים הוא $2 : 3$ , ובנים:בנות הוא $3 : 2$ .

בדיקת מנה

$2 : 3$ מתאים למנה $\frac{2}{3}$ ; היחס ההפוך מתאים למנה $\frac{3}{2}$ . אלו מספרים שונים.

מתי ההיפוך לא משנה?

רק כאשר שני החלקים שווים, למשל $4 : 4 = 1 : 1$ . אז היחס וההפוך נראים אותו דבר.

דוגמה נוספת - קבוצות ספורט

שלב 1 מתוך 3

בקבוצה יש

18

שחקניות ו-

12

שחקנים. מצאו את היחס שחקניות לשחקנים ואת היחס ההפוך.

איזו כתיבה מתאימה לשחקניות לשחקנים?

מלכודות נפוצות ואיך יוצאים מהן

היחס ההפוך הוא תמיד שגוי

הוא שגוי רק אם השאלה ביקשה את הסדר המקורי.

דוגמה: $3 : 5$ ו- $5 : 3$ יכולים שניהם להיות נכונים לשאלות שונות.

יחסים הפוכים קרובים כי יש אותם מספרים

המנה משתנה מאוד.

דוגמה: $\frac{3}{5}$ קטן מ- $1$ , אבל $\frac{5}{3}$ גדול מ- $1$ .

כאשר אתם מזהים מלכודת, אל תמשיכו לחשב. עצרו וכתבו משפט משמעות קצר.

בדיקת איכות לפתרון

פתרון טוב בפרק יחס כולל גם תשובה מספרית וגם בדיקת משמעות. הרשימה הקצרה הזאת נועדה למנוע טעויות של סדר, יחידות ושלם.

סמנו חץ מילולי: קבוצה ראשונה ← קבוצה שנייה.
כתבו את היחס המקורי.
רק אם ביקשו היפוך, החליפו סדר.

מתי יחס שווה להיפוכו?

במקרה אחד מיוחד, היחס $a : b$ שווה לחלוטין ליחס ההפוך $b : a$ . נחקור מתי זה קורה ולמה.

המקרה היחיד של סימטריה

יחס $a : b$ שווה ליחס ההפוך $b : a$ רק כאשר $a = b$ .

במקרה הזה $a : b = b : a = 1 : 1$ , מה שמייצג שוויון מוחלט בין שתי הקבוצות. זה היחיד מקרה שבו לא משנה איזה סדר לוקחים. בכל יחס אחר, הסדר משנה את המנה ואת המשמעות.

$a : b = b : a ⟺ a = b$

כל בדיקה של זהות בין יחס להיפוכו צריכה להוביל למסקנה: או $a = b$ , או שהיחסים אינם שווים.

הקשר בין יחס להיפוכו במנה

כאשר רושמים יחס בצורת מנה, ההיפוך מקבל משמעות נוספת: זוהי המנה ההופכית. נראה שהקשר בין שתי המנות חזק במיוחד.

מכפלת המנות שווה תמיד $1$

אם נכפיל את היחס במספרים בהיפוכו, נקבל תמיד $1$ .

המנה $\frac{a}{b}$ כפול ההופכית $\frac{b}{a}$ שווה ל- $\frac{ab}{ab} = 1$ . זה כלל בסיסי של מספרים הופכיים: כל מספר שונה מאפס יש לו מספר הופכי, ומכפלתם היא $1$ .

$\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = 1$

אם בודקים שני יחסים ומכפלת המנות שלהם היא $1$ , אלו יחסים הפוכים זה לזה.

זוגות של יחס וההיפוך

יחס ובינוני

$3 : 4$ והיפוכו $4 : 3$ . $\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} = 1$ .

יחס קטן

$1 : 8$ והיפוכו $8 : 1$ . $\frac{1}{8} \cdot 8 = 1$ .

יחס מצומצם

$5 : 6$ והיפוכו $6 : 5$ . $\frac{5}{6} \cdot \frac{6}{5} = 1$ .

היחס ההפוך במציאות

בעיות במציאות לעיתים שואלות אותה שאלה משתי כיוונים שונים. החליפן בין יחס לזה ההפוך עוזרת להתאים לשאלה.

דוגמאות מהעולם

מתכון - מים לקמח

במתכון: $3$ כוסות מים על $5$ כוסות קמח. יחס מים לקמח $3 : 5$ . יחס קמח למים $5 : 3$ . שני הניסוחים תקפים בהתאם לשאלה.

כיתה - בנים לבנות

בכיתה $12$ בנים ו- $18$ בנות. יחס בנים לבנות $2 : 3$ . יחס בנות לבנים $3 : 2$ . אותה כיתה, שתי תיאורים.

מסחר - יבוא ליצוא

מדינה ייבאה ב- $80$ מיליארד וייצאה ב- $120$ מיליארד. יחס יבוא ליצוא $2 : 3$ . יחס יצוא ליבוא $3 : 2$ . שני המבטים חשובים בכלכלה.

ספורט - ניצחונות להפסדים

קבוצה ניצחה $15$ משחקים והפסידה $9$ . יחס ניצחונות להפסדים $5 : 3$ . יחס הפסדים לניצחונות $3 : 5$ .

סיכום מלכודות בהיפוך

אסור להפוך יחס בלי שהשאלה מבקשת.
ההיפוך משנה את המנה ואת המשמעות.
סדר היחס הוא חלק מהתשובה, לא רק המספרים.
כל יחס $a : b$ (כש- $a \neq = b$ ) שונה מהיפוכו.

ההיפוך של $a : b$ הוא $b : a$ .
המנות הן הופכיות: $\frac{a}{b}$ ו- $\frac{b}{a}$ .
מכפלת המנות תמיד $1$ (כש- $a, b \neq = 0) .$
יחס שווה להיפוכו רק כאשר $a = b$ .
הניסוח המילולי חייב להיות עקבי עם סדר היחס.

התקדמות בפרק

הבנו שסדר היחס הוא חלק חיוני מהמשמעות. במודול הבא נדבר על יחסים שווים - מתי שני יחסים שונים בכתיבה אבל מתארים את אותה תבנית.

שאלה 1 מתוך 16

איזו מנה מתאימה ליחס $6 : 11$ ?

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של יחס והיחס ההפוך כבר מוכן.

פתחו תרגול

יחס והיחס ההפוך

פותחים את הרעיון

היפוך יחס משנה את נקודת המבט

היפוך יחס משנה את נקודת המבט

רעיונות שחייבים להחזיק בראש

שאלה אחרת

אותם מספרים, סדר אחר

מקרה שוויון

כותרת חובה

שיטת עבודה

איך פותרים בלי לנחש

מסמנים חצים במילים

מצמצמים רק אחרי הסדר

בודקים היפוך

אותו מצב, שתי שאלות

דוגמה - קבוצת רובוטיקה

בדיקה לפני שממשיכים

היחס ההפוך אינו טעות, הוא שאלה אחרת

שלוש דוגמאות קצרות שמחדדות את הרעיון

אותה כיתה, שתי תשובות

בדיקת מנה

מתי ההיפוך לא משנה?

דוגמה נוספת - קבוצות ספורט

מלכודות נפוצות ואיך יוצאים מהן

היחס ההפוך הוא תמיד שגוי

יחסים הפוכים קרובים כי יש אותם מספרים

בדיקת איכות לפתרון

מתי יחס שווה להיפוכו?

המקרה היחיד של סימטריה

הקשר בין יחס להיפוכו במנה

מכפלת המנות שווה תמיד 1

זוגות של יחס וההיפוך

יחס ובינוני

יחס קטן

יחס מצומצם

היחס ההפוך במציאות

דוגמאות מהעולם

מתכון - מים לקמח

כיתה - בנים לבנות

מסחר - יבוא ליצוא

ספורט - ניצחונות להפסדים

סיכום מלכודות בהיפוך

התקדמות בפרק

איזו מנה מתאימה ליחס 6:11?