יחס בין שלוש קבוצות

כשיש יותר משני חלקים, השלם כולל את כולם

פותחים את הרעיון

יחס לא חייב לכלול רק שני חלקים. בתערובות, קבוצות, תקציבים וצבעים מופיעים לעיתים שלושה חלקים או יותר.

במודול הזה נבנה הגדרה מדויקת, נעבוד דרך דוגמה פתורה, נזהה טעות נפוצה ונעבור לתרגול שמכריח לבדוק משמעות.

טוען סימולציה...

השלם כולל את כל החלקים

בקטע הזה נעמיק את המושג שכבר פגשנו ונקשר אותו לשאלות שבהן צריך לבחור דרך פתרון, לא רק לבצע חישוב.

השלם כולל את כל החלקים

ביחס $2 : 3 : 5$ יש $10$ יחידות יחס בסך הכול. כל שאלה על חלק מתוך השלם או על חלוקה חייבת להשתמש בכל $10$ היחידות.

הטעות הנפוצה היא לחבר רק שני חלקים מתוך שלושה. כאשר יש שלושה חלקים, כל חלק משפיע על גודל יחידת היחס.

$a : b : c כולל a + b + c יחידות$

המשמעות קובעת איזו פעולה מתאימה, והמספרים מאשרים את המשמעות.

שלושה חלקים

סכום יחידות = a + b + c

(7)

רעיונות שחייבים להחזיק בראש

כל החלקים

ביחס $2 : 3 : 5$ מחברים $2 + 3 + 5$ .

$math/003-pie chart$

חלק מתוך שלם

החלק השלישי מתוך השלם הוא $\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ .

חלוקה לשלושה

מוצאים יחידת יחס אחת ואז מכפילים בשלושת המספרים.

בדיקת סכום

שלושת החלקים חייבים להסתכם לשלם.

שיטת עבודה

כאן הופכים את הרעיון לשגרת פתרון. המטרה היא שתוכלו לחזור על אותם צעדים גם בשאלה חדשה ולא להסתמך על זיהוי מהיר בלבד.

איך פותרים בלי לנחש

מונים חלקים

לא משאירים חלק בחוץ

כותבים את כל מספרי היחס.

מסמנים איזה חלק מתאים לכל קבוצה.

מחברים

סכום יחידות

מחברים את כל החלקים.

הסכום הוא מכנה לחלק מתוך שלם.

מכפילים

אם יש שלם נתון

מחלקים את השלם בסכום היחידות.

מכפילים כל חלק ביחידת היחס.

יחס של שלושה חלקים

יחס	סכום יחידות	חלק שלישי מתוך השלם
$1 : 2 : 3$	$6$	$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$2 : 3 : 5$	$10$	$\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
$4 : 1 : 3$	$8$	$\frac{3}{8}$

* כאשר שואלים על חלק מסוים, המונה הוא החלק שלו והמכנה הוא סכום כל החלקים.

דוגמה - תערובת צבעים

שלב 1 מתוך 3

מערבבים צבעים ביחס אדום:צהוב:לבן

2 : 3 : 5

. יש

200

מ״ל תערובת. כמה מ״ל מכל צבע?

בדיקה לפני שממשיכים

כשיש שלושה חלקים, כתבו מעליהם סוגריים גדולים וחברו את כולם לפני כל חישוב אחר.

בדקו את סדר המילים.
בדקו יחידות.
בדקו שהפעולה מתאימה למשמעות.

שלושה חלקים פירושם שלם גדול יותר

ביחס תלת-חלקי צריך לשמור על כל שלושת החלקים בו זמנית. פתרון שמסתכל רק על שני חלקים מפספס יחידות יחס ולכן משנה את השלם.

שלוש דוגמאות קצרות שמחדדות את הרעיון

שלושה צבעים

ביחס $2 : 3 : 5$ יש $10$ יחידות יחס. החלקים הם $\frac{2}{10}$ , $\frac{3}{10}$ , $\frac{5}{10}$ .

חלוקת כמות

$200$ ביחס $2 : 3 : 5$ : יחידה אחת $20$ , החלקים $40, 60, 100$ .

טעות זוגית

אם מחברים רק $2 + 3$ , מתעלמים מהחלק השלישי ומקבלים יחידה גדולה מדי.

דוגמה נוספת - שלוש קבוצות

שלב 1 מתוך 3

חלקו

180

תלמידים לשלוש פעילויות ביחס

2 : 4 : 3

מלכודות נפוצות ואיך יוצאים מהן

יחס תלת-חלקי הוא שתי בעיות נפרדות

לא. שלושת החלקים חולקים אותו שלם.

דוגמה: $2 : 3 : 5$ חייב להישאר יחד.

מספיק לדעת את שני החלקים הראשונים

לא כאשר מחלקים שלם.

דוגמה: החלק השלישי משנה את יחידת היחס.

כאשר אתם מזהים מלכודת, אל תמשיכו לחשב. עצרו וכתבו משפט משמעות קצר.

בדיקת איכות לפתרון

פתרון טוב בפרק יחס כולל גם תשובה מספרית וגם בדיקת משמעות. הרשימה הקצרה הזאת נועדה למנוע טעויות של סדר, יחידות ושלם.

חברו את כל החלקים.
מצאו יחידת יחס אחת.
חשבו שלושה חלקים ובדקו סכום.

ניתוח עומק של יחס תלת-חלקי

כשעובדים עם יחס תלת-חלקי, יש כבר שלושה סוגי שאלות שיכולות להופיע: שאלה על שלם, על חלק בודד, או על קשר בין זוגות חלקים. נחקור כל אחת.

מיחס {m}2:3:5{/m} - כל החישובים

מה מחפשים	ערך	הסבר
סכום יחידות	$10$	$2 + 3 + 5$
חלק ראשון מהשלם	$\frac{2}{10} = \frac{1}{5}$	$20%$
חלק שני מהשלם	$\frac{3}{10}$	$30%$
חלק שלישי מהשלם	$\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$	$50%$
יחס ראשון לשני	$2 : 3$	מתעלמים מהשלישי
יחס ראשון לשלישי	$2 : 5$	מתעלמים מהשני
יחס שני לשלישי	$3 : 5$	מתעלמים מהראשון

* ביחס תלת-חלקי אפשר לדלג בין שאלות, אבל תמיד עם אותו חישוב בסיסי של היחידה.

פירוק לזוגות

מיחס תלת-חלקי אפשר לחלץ שלושה יחסים זוגיים, שכולם נושאים את אותה אינפורמציה.

מ- $a : b : c$ מקבלים: $a : b$ , $a : c$ , ו- $b : c$ . כל אחד נכון ושימושי במצב שונה. אם השאלה מבקשת רק את היחס בין שני חלקים, אפשר להשתמש בזוג המתאים בלבד.

$a : b : c ⟹ a : b, a : c, b : c$

אבל אם רוצים לחלק שלם, חייבים לעבוד עם כל היחס יחד.

יחסים תלת-חלקיים בעולם האמיתי

תערובת מלט

מלט מתערב במים, חול ואבנים ביחס $1 : 3 : 5$ . בכל בנייה משתמשים ביחס דומה כדי להבטיח חוזק.

ארוחה מאוזנת

תזונאי ממליץ על יחס $3 : 2 : 5$ בין חלבון, שומן ופחמימות. היחס מבטיח מאזן תזונתי.

תערובת צבע

כדי להגיע לסגול עתיק: $2$ חלקים אדום, $1$ חלק כחול, $3$ חלקים לבן. היחס $2 : 1 : 3$ שומר על הגוון.

תקציב משפחתי

תקציב חודשי מחולק ביחס $5 : 2 : 3$ לדיור, אוכל וחיסכון. שינוי באחד החלקים משפיע על השאר.

מלכודות יחס תלת-חלקי

השלם הוא סכום שלושת החלקים, לא רק שניים.
אסור לחשב חלק לחלק כחלק לשלם.
יחס תלת-חלקי מצמצמים על ידי $g cd$ של שלושת המספרים.
אם רוצים יחס בין שני חלקים בלבד - מתעלמים מהחלק השלישי בכתיבת היחס.
אבל לחישוב כמויות ממקור משותף - חייבים את השלם של כל היחס.

יחס $a : b : c$ משווה שלוש קבוצות בו זמנית.
השלם: $a + b + c$ יחידות יחס.
כל חלק מהשלם: $\frac{a}{a + b + c}$ , וכך הלאה.
אפשר לחלץ שלושה יחסים זוגיים: $a : b$ , $a : c$ , $b : c$ .
צמצום נעשה לפי $g cd (a, b, c)$ .
חלוקה של שלם נעשית על ידי ערך יחידה כפול מספר היחידות בכל חלק.

התקדמות בפרק

במודול הבא נעבור לרעיון חדש ועוצמתי - פרופורציה. נלמד לכתוב משוואות מיחסים שווים ולפתור אותן.

שאלה 1 מתוך 16

חלקו $120$ ביחס $3 : 4 : 5$ . מה יחידת היחס?

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של יחס בין שלוש קבוצות כבר מוכן.

פתחו תרגול

יחס בין שלוש קבוצות

פותחים את הרעיון

השלם כולל את כל החלקים

השלם כולל את כל החלקים

רעיונות שחייבים להחזיק בראש

כל החלקים

חלק מתוך שלם

חלוקה לשלושה

בדיקת סכום

שיטת עבודה

איך פותרים בלי לנחש

מונים חלקים

מחברים

מכפילים

יחס של שלושה חלקים

דוגמה - תערובת צבעים

בדיקה לפני שממשיכים

שלושה חלקים פירושם שלם גדול יותר

שלוש דוגמאות קצרות שמחדדות את הרעיון

שלושה צבעים

חלוקת כמות

טעות זוגית

דוגמה נוספת - שלוש קבוצות

מלכודות נפוצות ואיך יוצאים מהן

יחס תלת-חלקי הוא שתי בעיות נפרדות

מספיק לדעת את שני החלקים הראשונים

בדיקת איכות לפתרון

ניתוח עומק של יחס תלת-חלקי

מיחס {m}2:3:5{/m} - כל החישובים

פירוק לזוגות

יחסים תלת-חלקיים בעולם האמיתי

תערובת מלט

ארוחה מאוזנת

תערובת צבע

תקציב משפחתי

מלכודות יחס תלת-חלקי

התקדמות בפרק

חלקו 120 ביחס 3:4:5. מה יחידת היחס?