חזרה חכמה על חזקה

לפני חוקי חזקות חדשים, בונים קריאה מדויקת של בסיס, מעריך וסימן

$math/031-summation$ למה החזרה הזו חשובה בכיתה ט

חזקה היא כתיב קצר, אבל בכיתה ט היא הופכת לכלי אלגברי. כל חוק שנלמד בהמשך עובד רק אם מזהים נכון את הבסיס, את המעריך, את הסימן ואת סדר הפעולות.

קוראים לפני שמחשבים

בודקים מה בדיוק חוזר על עצמו במכפלה. ב-

(- 2)^{4}

הבסיס הוא

- 2

, אבל ב-

- 2^{4}

הבסיס הוא

2

מחברים בין כתיב למשמעות

המעריך אינו מספר שמכפילים בו את הבסיס. הוא מספר הגורמים במכפלה חוזרת.

מכינים את הקרקע לחוקים

כפל חזקות, חילוק חזקות, מעריך אפס ומעריך שלילי נשענים כולם על אותה הבנה בסיסית.

שפת החזקה

נתחיל מהמילים. כשמזהים את התפקיד של כל חלק בביטוי, קל יותר להבין את החישוב וגם לזהות טעויות נפוצות.

$math/025-numbers$ חזקה היא כפל חוזר של אותו בסיס

בביטוי $a^{n}$ , המספר או הביטוי $a$ נקרא בסיס, והמספר $n$ נקרא מעריך.

כאשר $n$ הוא מספר טבעי, המשמעות היא מכפלה של $n$ גורמים, וכל גורם שווה לבסיס. למשל $2^{4} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$ .

a^{n} = n גורמים a \cdot a \cdot \dots \cdot a

המעריך עונה על השאלה כמה גורמים יש, לא על השאלה בכמה להכפיל את הבסיס.

הגדרת חזקה למעריך טבעי

a^{n} = n גורמים a \cdot a \cdot \dots \cdot a

הנוסחה אומרת: קודם מזהים את הבסיס, ואז כותבים אותו שוב ושוב לפי המעריך. זו פעולה פשוטה, אבל היא מונעת את הטעות הנפוצה $5^{2} = 10$ .

טוען סימולציה...

סימן וסוגריים

עכשיו עוברים לחלק שבו רוב הטעויות קורות: הסימן השלילי. השאלה החשובה היא לא האם יש מינוס בביטוי, אלא האם המינוס הוא חלק מהבסיס.

קוראים את הבסיס לפני שמחשבים

$(- 4)^{2}$

הבסיס הוא $- 4$ . לכן $(- 4)^{2} = (- 4) \cdot (- 4) = 16$ . מה שכדאי לשים לב אליו: הסוגריים מכניסים את המינוס אל תוך הבסיס.

$- 4^{2}$

הבסיס של החזקה הוא $4$ . מחשבים קודם $4^{2} = 16$ , ואז המינוס החיצוני נותן $- 16$ . כאן המינוס אינו חוזר על עצמו.

$(- 4)^{3}$

יש שלושה גורמים שליליים: $(- 4) \cdot (- 4) \cdot (- 4) = - 64$ . מעריך אי זוגי משאיר סימן שלילי כאשר הבסיס שלילי.

מה שונה בין הביטויים

המינוס בתוך הסוגריים

ב- $(- a)^{n}$ הבסיס הוא $- a$ . אם $n$ זוגי התוצאה חיובית, ואם $n$ אי זוגי התוצאה שלילית.

דוגמה: $(- 3)^{2} = 9$ , אבל $(- 3)^{3} = - 27$ .

המינוס מחוץ לחזקה

ב- $- a^{n}$ החזקה פועלת רק על $a$ . המינוס מחכה מחוץ לחזקה ומופיע בסוף.

דוגמה: $- 3^{2} = - 9$ , וגם $- 3^{3} = - 27$ .

הדרך הבטוחה: הרחיבו למכפלה ושאלו מה בדיוק מופיע שוב ושוב.

דוגמה פתורה: אותו מספר, תוצאה אחרת

נפתור זוג ביטויים שנראים כמעט זהים. המטרה היא לראות איך שינוי קטן במיקום הסוגריים משנה את הבסיס ולכן משנה את התוצאה.

סוגריים סביב בסיס שלילי

שלב 1 מתוך 3

(- 3)^{4} לעומת - 3^{4}

כמה גורמים שליליים יש במכפלה של $(- 3)^{4}$ ?

תרגיל 1: מי הבסיס

בסיסי

חשבו את שני הביטויים והסבירו מה הבסיס בכל אחד.

(- 5)^{2} ו - 5^{2}

תרגיל 2: זוגיות המעריך קובעת את הסימן

בסיסי

חשבו והשוו בין שתי חזקות של אותו בסיס שלילי.

(- 2)^{6} ו (- 2)^{7}

חזקה וסדר פעולות

חזקה מחושבת לפני כפל, חילוק, חיבור וחיסור, אלא אם סוגריים משנים את הסדר. לכן בביטויים מעורבים כדאי לסמן קודם את החזקות, ורק אחר כך להמשיך.

מסלול בדיקה לפני חישוב

זהו את הבסיס

שאלו: מה חוזר על עצמו במכפלה?

סוגריים יכולים לשנות את הבסיס.

אל תחשבו לפני שהבסיס ברור.

בדקו את הסימן

בסיס שלילי עם מעריך זוגי נותן חיובי.

בסיס שלילי עם מעריך אי זוגי נותן שלילי.

מינוס חיצוני נשאר מחוץ לחזקה.

שמרו על סדר פעולות

סוגריים תחילה.

אחר כך חזקות.

רק אז כפל, חילוק, חיבור וחיסור.

דוגמה מודרכת: חזקות בתוך ביטוי מעורב

שלב 1 מתוך 3

6 - 2^{3} \cdot (- 1)^{4}

למה $(- 1)^{4}$ שווה $1$ ?

תרגיל 3: סדר פעולות

בינוני

חשבו לפי סדר פעולות.

18 - 3 \cdot 2^{3}

תרגיל 4: השוואה בלי מחשבון

בינוני

קבעו איזה ביטוי גדול יותר.

3^{4} או 4^{3}

דוגמה נוספת: סדר פעולות עם סימן שלילי

חשבו את

- 2^{4} + (- 2)^{3}

סימן וסדר פעולות

מאתגר

חשבו את $(- 3)^{2} - 3^{2} - (- 3)^{3}$ .

(- 3)^{2} - 3^{2} - (- 3)^{3}

אבחון טעויות נפוצות

טעויות בחזקות כמעט תמיד מתחילות במודל מחשבתי לא מדויק. במקום לשנן רשימת אזהרות, נבדוק מה התלמיד חשב, למה זה מפתה, ואיך מתקנים.

הטעות ומה בודקים במקום

מעריך אינו כפל

$5^{2}$ אינו $5 \cdot 2$ . המעריך אומר כמה פעמים הבסיס מופיע.

דוגמה: בדיקה: $5^{2} = 5 \cdot 5 = 25$ , לא $10$ .

סוגריים אינם קישוט

$(- 2)^{4}$ ו- $- 2^{4}$ אינם אותו ביטוי, כי הבסיס שונה.

דוגמה: הראשון שווה $16$ , והשני שווה $- 16$ .

חזקה אינה סימטרית

בדרך כלל $a^{b} \neq = b^{a}$ . הבסיס והמעריך הם תפקידים שונים.

דוגמה: $2^{5} = 32$ , אבל $5^{2} = 25$ .

כל טעות כאן נעלמת אם חוזרים לשאלה: מה הבסיס וכמה גורמים יש.

בדיקת 10 שניות לפני תשובה

לפני שכותבים תשובה סופית, עברו על שלוש שאלות. הן קצרות, אבל הן מצילות רוב טעויות החזקות.

מה הבסיס המדויק של החזקה?
האם המינוס נמצא בתוך הבסיס או מחוץ לחזקה?
האם ביצעתי קודם חזקות ורק אחר כך פעולות אחרות?

שאלה לחשיבה

למה לדעתכם מתמטיקאים המציאו כתיב חזקות ולא הסתפקו בכפל חוזר?

כתיב חזקות חוסך מקום, אבל חשוב מכך, הוא חושף מבנה. כשכותבים $2^{10}$ , מיד רואים כמה פעמים מכפילים, איך להשוות ל- $2^{8}$ , ואיך להכין את הקרקע לחוקי חזקות. הכתיב אינו רק קיצור, הוא כלי לחשיבה על תבניות.

שאלה 1 מתוך 15

איזו טענה נכונה לגבי $2^{5}$ ו- $5^{2}$ ?

המשך קריאה

עוד עמודים שיכולים לחבר את מה שלמדתם עכשיו

בפרקמעריך אפס ומעריך שלילי בפרקחוקי חזקות באותו בסיס קשורסדר פעולות עם חזקות קשוראומדן שורשים

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של חזרה חכמה על חזקה, בסיס ומעריך כבר מוכן.

פתחו תרגול