מהו למה a^0 שווה 1?

אם a\ne0, אפשר להגיע ל-a^0 בשתי דרכים עקביות. מצד אחד, בחילוק חזקות בעלות בסיס שווה מקבלים \frac=a^=a^0. מצד שני, כל מספר שאינו אפס חלקי עצמו שווה 1. לכן a^0=1. הערך 1 אינו נבחר במקרה. הוא הערך היחיד ששומר על חוקי החזקות ועל משמעות החילוק.

מהו מעריך שלילי הוא מעבר להופכי?

אם ממשיכים לרדת בסולם החזקות אחרי a^0, כל צעד נוסף מחלק שוב ב-a. לכן a^ הוא \frac, ו-a^ הוא \frac. הסימן השלילי נמצא במעריך, והוא מתאר כיוון בסולם, לא סימן של התוצאה. הכלל תקף לבסיס מספרי או אלגברי, כל עוד הבסיס עצמו אינו אפס.

מעריך אפס ומעריך שלילי

הדפוס של החזקות ממשיך גם כאשר המעריכים יורדים מתחת לאפס

לא טריק, המשך של אותו סולם

מעריך אפס ומעריך שלילי נראים מוזרים רק אם חושבים על חזקה רק ככפל חוזר. בכיתה ט מרחיבים את הרעיון בעזרת דפוס קבוע: כשמורידים את המעריך ב-

1

, מחלקים בבסיס.

מעריך אפס

לכל בסיס שאינו אפס מתקיים

a^{0} = 1

. זה שומר על עקביות חוקי החזקות.

מעריך שלילי

מעריך שלילי אינו אומר שהתוצאה שלילית. הוא אומר שעוברים להופכי:

a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

אפס כבסיס

הכללים האלה דורשים

a \neq = 0

. אחרת מגיעים לחילוק באפס, שאינו מוגדר.

הסולם שממשיך שמאלה

נביט על רצף חזקות של אותו בסיס. כשעוברים משורה לשורה כלפי מטה, המעריך קטן ב- $1$ , ולכן הערך מתחלק בבסיס. הדפוס הזה מסביר גם את $a^{0}$ וגם את המעריכים השליליים.

סולם חזקות של 2

חזקה	ערך	מה קרה מהשורה הקודמת
$2^{4}$	$16$	התחלה
$2^{3}$	$8$	חילקנו ב- $2$
$2^{2}$	$4$	חילקנו ב- $2$
$2^{1}$	$2$	חילקנו ב- $2$
$2^{0}$	$1$	חילקנו ב- $2$
$2^{- 1}$	$\frac{1}{2}$	חילקנו ב- $2$
$2^{- 2}$	$\frac{1}{4}$	חילקנו ב- $2$

* הטבלה אינה רשימת תשובות. היא מראה דפוס עקבי: ירידה אחת במעריך פירושה חילוק אחד בבסיס.

תמונה הממחישה את דפוס החילוק בחזקות של 2 עם מעריך אפס ושלילי — כשיורדים במעריך צעד אחד, מחלקים בבסיס, ולכן הדפוס ממשיך גם אל מעריכים שליליים.

למה $a^{0}$ שווה $1$

אם $a \neq = 0$ , אפשר להגיע ל- $a^{0}$ בשתי דרכים עקביות.

מצד אחד, בחילוק חזקות בעלות בסיס שווה מקבלים $\frac{a ^{1}}{a ^{1}} = a^{1 - 1} = a^{0}$ . מצד שני, כל מספר שאינו אפס חלקי עצמו שווה $1$ . לכן $a^{0} = 1$ .

\frac{a ^{1}}{a ^{1}} = a^{1 - 1} = a^{0} = 1 (a \neq = 0)

הערך $1$ אינו נבחר במקרה. הוא הערך היחיד ששומר על חוקי החזקות ועל משמעות החילוק.

מעריך אפס

a^{0} = 1 (a \neq = 0)

הסייג $a \neq = 0$ חשוב. אי אפשר להסיק מ- $a^{0} = 1$ ש- $0^{0} = 1$ . במקרה של בסיס אפס החוק אינו תקף במסגרת הלימוד שלנו.

מעריך שלילי הוא מעבר להופכי

אם ממשיכים לרדת בסולם החזקות אחרי $a^{0}$ , כל צעד נוסף מחלק שוב ב- $a$ .

לכן $a^{- 1}$ הוא $\frac{1}{a}$ , ו- $a^{- n}$ הוא $\frac{1}{a ^{n}}$ . הסימן השלילי נמצא במעריך, והוא מתאר כיוון בסולם, לא סימן של התוצאה.

a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}} (a \neq = 0)

הכלל תקף לבסיס מספרי או אלגברי, כל עוד הבסיס עצמו אינו אפס.

מעריך שלילי

a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}} (a \neq = 0)

טוען סימולציה...

איך מפשטים בפועל

בתרגילים לא מספיק לזכור נוסחה. צריך לבחור מסלול: לזהות בסיס, לבדוק אם הבסיס אפס, להחליט אם כדאי להשתמש בחוקי חזקות או להמיר להופכי.

מסלול עבודה עם מעריך שלילי

זהו את הבסיס

הבסיס הוא מה שהמעריך פועל עליו.

סוגריים יכולים לכלול סימן או ביטוי שלם.

בדקו שהבסיס אינו $0$ .

עברו להופכי

$a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ .

אם הבסיס הוא שבר, ההופכי מחליף מונה ומכנה.

הסימן השלילי במעריך אינו סימן התוצאה.

פשטו ובדקו

חשבו את החזקה החיובית.

צמצמו אם אפשר.

בדקו אם התוצאה הגיונית ביחס לבסיס.

דוגמה 1: מעריך שלילי פשוט

שלב 1 מתוך 2

3^{- 2}

מה המשמעות של המינוס במעריך $3^{- 2}$ ?

דוגמה 2: משלבים מעריך שלילי עם כפל חזקות

שלב 1 מתוך 3

3^{- 2} \cdot 3^{4}

תרגיל 1: ערך בסיסי של מעריך שלילי

בסיסי

חשבו את החזקה.

2^{- 4}

תרגיל 2: מנה שמייצרת מעריך שלילי

בינוני

פשטו את הביטוי וכתבו תשובה ללא מעריך שלילי.

\frac{5 ^{2}}{5 ^{5}}

תרגיל 3: בסיס שלילי עם מעריך שלילי

בינוני

חשבו בזהירות. שימו לב שהבסיס כולל את הסימן השלילי.

(- 2)^{- 3}

אפס כבסיס: איפה הכלל נעצר

הכללים $a^{0} = 1$ ו- $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ נאמרים רק עבור $a \neq = 0$ . אם הבסיס הוא אפס, חייבים לעצור ולבדוק האם הביטוי מוגדר בכלל.

מוגדר או לא מוגדר

$0^{4}$

מוגדר ושווה $0$ , כי זו מכפלה $0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0$ .

דוגמה: מעריך חיובי לא יוצר חילוק באפס.

$(- 4)^{0}$

מוגדר ושווה $1$ , כי הבסיס $- 4$ שונה מאפס.

דוגמה: הכלל $a^{0} = 1$ תקף גם לבסיס שלילי שאינו אפס.

$0^{- 2}$

לא מוגדר, כי הוא דורש $\frac{1}{0 ^{2}}$ .

דוגמה: הבעיה היא חילוק באפס.

לפני שמפעילים חוק, בודקים אם התנאי שלו מתקיים.

דוגמה 3: בדיקת הגדרה לפני חישוב

שלב 1 מתוך 3

0^{- 3} לעומת (- 3)^{0}

מה הבעיה בכתיבה $\frac{1}{0 ^{3}}$ ?

תרגיל 4: לזהות ביטויים לא מוגדרים

מאתגר

קבעו אילו ביטויים מוגדרים וחשבו את הערכים המוגדרים.

0^{- 1}, 8^{0}, (- 5)^{- 2}

מעריך אפס עם תחום הגדרה

מאתגר

פשטו את $(x - 2)^{0}$ וציינו מתי הביטוי מוגדר.

(x - 2)^{0}

אבחון טעות: שלילי במעריך אינו מספר שלילי

הרבה תלמידים קוראים את המינוס במעריך כאילו הוא מינוס לפני המספר. כדי לתקן את זה, משווים בין שתי מחשבות: מה מפתה לחשוב, ומה באמת אומר כלל ההופכי.

לא סימן, אלא הופכי

חשיבה שגויה

$3^{- 2} = - 9$ , כי ראיתי מינוס במעריך.

דוגמה: הבדיקה נכשלת מול סולם החזקות: אחרי $3^{0} = 1$ אמורים לחלק ב- $3$ , לא לקפוץ ל- $- 9$ .

חשיבה נכונה

$3^{- 2} = \frac{1}{3 ^{2}} = \frac{1}{9}$ .

דוגמה: המינוס במעריך אומר כיוון בסולם החזקות: למטה, להופכי.

אם הבסיס חיובי, חזקה עם מעריך שלילי עדיין חיובית. היא פשוט קטנה מ- $1$ .

שלוש בדיקות סיום

לפני שמסמנים תשובה, בדקו אם היא עומדת בשלושה מבחנים קצרים.

האם בדקתי שהבסיס אינו $0$ לפני שימוש במעריך אפס או שלילי?
האם המרתי מעריך שלילי להופכי ולא למספר שלילי?
אם התבקשתי לכתוב ללא מעריך שלילי, האם באמת סיימתי בהופכי או בשבר?

שאלה לחשיבה

איך אפשר להסביר לחבר שמעריך שלילי אינו אומר שהמספר שלילי?

אפשר להראות דוגמה פשוטה: $1 0^{- 2} = \frac{1}{100} = 0.01$ . התוצאה חיובית, אבל קטנה מ- $1$ . הסימן השלילי במעריך מתאר כיוון בסולם החזקות: במקום לכפול בבסיס, עוברים לחלוקה בבסיס.

שאלה 1 מתוך 14

כתבו עם מעריך חיובי: $x^{- 5}$

המשך קריאה

עוד עמודים שיכולים לחבר את מה שלמדתם עכשיו

בפרקחזרה על חזקות עם מעריך טבעי בפרקחוקי חזקות באותו בסיס קשורריבועים מושלמים קשוראומדן שורשים

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של מעריך אפס ומעריך שלילי שלם כבר מוכן.

פתחו תרגול